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2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件(浙江专版): 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)_图文

第一讲

集合、常用逻辑用语?选择、填空题型?

考点 集合的概念及运算

考情 1.高考对集合的考查主要是集合的含义、集合之间 的基本关系和集合的运算,并且以集合的运算为主.试 题往往与不等式的解集、函数的定义域和值域、方程的 解集、平面上的点集等相互交汇,如2013年浙江T2 等.试题难度不大,但涉及的知识面较广,同时还应注 意在集合中常以创新题的形式考查考生分析问题和解决 问题的能力. 2.高考对常用逻辑用语的考查主要是命题、充要条 件和逻辑联结词,并且以充要条件的判断、命题真假的 判断为主,如2013年安徽T4,湖北T3等.这两类问题通 常把逻辑的有关知识与具体数学知识结合在一起考查.

命题及逻辑联结词

充要条件

1.(2013· 重庆高考)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B ={2,3},则?U(A∪B)= A.{1,3,4} C.{3}
∪B)={4}.

( B.{3,4} D.{4}

)

解析:∵A={1,2},B={2,3},∴A∪B={1,2,3},∴?U(A

答案:D

2.(2013· 浙江高考)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x- 4≤0},则(?RS)∪T= A.(-2,1] C.(-∞,1] B.(-∞,-4] D.[1,+∞) ( )

解析: T= {x|-4≤x≤1},根据补集定义,?RS={x|x≤- 2},所以(?RS)∪T={x|x≤1}.

答案:C

3. (2013· 陕西高考)设全集为 R, 函数 f(x)= 1-x的定义域为 M, 则?RM 为 A.(-∞,1) C.(-∞,1] B.(1,+∞) D.[1,+∞) ( )

解析:选函数 f(x)的定义域 M=(-∞,1],则?RM=(1, +∞).

答案:B

4.(2013· 安徽高考)“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0, +∞)内单调递增”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

解析: f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)内单调递增等价于 f(x)=0 1 在区间(0,+∞)内无实根,即 a=0 或a<0,也就是 a≤0,故 “a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在(0, +∞)内单调递增”的 充要条件.

答案:C

5.(2013· 湖北高考)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一 次.设命题 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指 定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围” 可表示为 A.(綈 p)∨(綈 q) B.p∨(綈 q) ( )

C.(綈 p)∧(綈 q)

D.p∨q

解析:由题意可知,“至少有一位学员没有降落在指定范围” 意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”,使用“非”和 “或”联结词即可表示该复合命题为(綈 p)∨(綈 q).

答案:A

1.集合的运算性质与结论 (1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A. (2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A. (3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U. (4)A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A.

2.四种命题的关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有 关系. 3.充分条件与必要条件 (1)若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; 若 p?q,则 p,q 互为充要条件; (2)充要条件与集合的关系:设命题 p 对应集合 A,命题 q 对应集合 B,则 p?q 等价于 A?B,p?q 等价于 A=B.

4.复合命题真假的判断方法 命题p∧q,p∨q及綈p真假可以用下表来判定:

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

p∧q 真 假 假 假

p∨q 真 真 真 假

綈p 假 假 真 真

口诀记忆:p∨q,一真则真;p∧q,一假则假;綈p与p 真假相反.

集合的概念及运算
[例 1] (1)(2012· 山东高考)已知集合 A={0,1,2},则集合 B ( D.9 )

={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 A.1 B.3 C.5

(2)(2013· 原 模 拟 ) 已 知 全 集 U = 太 {0,1,2,3,4},A={1,2,3},B={2,4},则如图阴 影部分表示的集合为 A.{0,2} B.{0,1,3} ( C.{1,3,4} ) D.{2,3,4}

(3)(2013· 合肥模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈ R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R},若A∩B= [0,3],则实数m的值为________.

[自主解答]

(1)逐个列举可得.x=0,y=0,1,2时,x-y

=0,-1,-2;x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;x=2, y=0,1,2时,x-y=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为-2,-1,0,1,2,共5个. (2)由于?U(A∪B)={0},A∩B={2},故阴影部分所表示 集合为{0,2}.

(3)由已知得 A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}, 因为
?m-2=0, ? A∩B=[0,3],所以? ?m+2≥3, ? ?m=2, ? 即? ?m≥1, ?

故 m=2.

[答案]

(1)C

(2)A

(3)2

在本例(3)中,若A∩(?RB)=A,求m的取值范围.
解:因为A∩(?RB)=A,所以A??RB. 又?RB={x|x<m-2或x>m+2}, 所以m-2>3或m+2<-1, 即m>5或m<-3, 所以m的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).

——————————规律· 总结————————————
解答集合的概念及运算问题的一般思路 (1)正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性、代表的 意义. (2)根据集合中元素的性质化简集合. (3)依据元素的不同属性采用不同的方法求解,此时常用到以 下技巧: ①若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解; ②若已知的集合是点集,用数形结合法求解; ③若已知的集合是抽象集合,用 Venn 图求解.

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1.已知集合A={x∈R||x|≥2},B={x∈R|x2-x-2<0},且R为 实数集,则下列结论正确的是 A.A∪B=R C.A?(?RB) B.A∩B≠? D.A?(?RB) ( )

解析:集合A={x|x≥2或x≤-2},B={x|-1<x<2},所 以A?(?RB).

答案:C

2.设整数n≥4,集合X={1,2,3,?,n}.令集合S={(x,y, z)|x,y,z∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成 立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的 是 A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S ( )

解析:题目中x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立说明x, y,z是互不相等的三个正整数,可用特殊值法求解,不妨 取x=1,y=2,z=3,w=4满足题意,且(2,3,4)∈S,(1,2,4) ∈S,从而(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S成立.

答案:B

命题及逻辑联结词
[例2] (1)命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内 ( ) 是减函数,则loga2<0”的逆否命题是 不是减函数 B.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内 不是减函数 C.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内 是减函数 D.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内 是减函数

A.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内

?1? x ?1? -x (2)(2013· 贵阳模拟)已知命题p1:函数y= ?2? - ?2? 在R上 ? ? ? ? ?1? x ?1? -x 为减函数,p2:函数y= ?2? + ?2? 在R上为增函数,则在命题 ? ? ? ?

q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(綈p1)∨p2和q4:p1∧(綈p2)中,

真命题是 A.q1,q3 C.q1,q4 B.q2,q3 D.q2,q4

(

)

[自主解答]

(1)注意命题“若函数 f(x)=logax(a>0, a≠1)在其定

义域内是减函数, loga2<0”的条件与结论, 则 可知其逆否命题为“若 loga2≥0, 则函数 f(x)=logax(a>0, a≠1)在其定义域内不是减函数”.
?1?x (2)因为函数 y=?2? -2x 是 R 上的减函数, 所以命题 p1 是真命题; ? ? ?1?x 1 5 因为 x=1 和 x=-1 时,都有 y= +2= ,所以函数 y=?2? +2x 不 2 2 ? ?

是 R 上的增函数,故 p2 是假命题,所以 p1∨p2 是真命题,p1∧p2 是 假命题,(綈 p1)∨p2 是假命题,p1∧(綈 p2)是真命题,所以真命题是

[答案]
q1,q4.

(1)B

(2)C

——————————规律· 总结————————————

三步辨明“或”“且”“非”命题的真假性 (1)弄清构成命题的p和q的真假性; (2)弄清结构形式; (3)根据真值表判断构成新命题的真假性.
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3.已知命题p:对于x∈R,恒有2x+2-x≥2成立,命题q:奇函 数f(x)的图像必过原点,则下列结论正确的是 A.p∧q为真 C.(綈p)∨q为真 B.p∧(綈q)为真 D.綈p为真 ( )

解析:“命题 p:对于 x∈R,恒有 2x+2-x≥2 成立”为 真命题,“命题 q:奇函数 f(x)的图像必过原点”为假命 题,所以只有选项 B 正确.

答案:B

? x+a+2 <0,a ? 0? ,命题 p:2 0130∈A,命题 q: 4.设集合 A= x x-a ? ? ?

? ? ? ? ?

log24∈A,若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,则 a 的取值 范围是________.
x+a+2 解析:因为a>0,故由 <0,解得-a-2<x<a,即A= x-a {x|-a-2<x<a,a>0}. 由2 0130∈A,即1∈A,得-a-2<1<a,解得a>1,所以p: a>1;由log24∈A,即2∈A,得-a-2<2<a,解得a>2,即 q:a>2.

因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p真q假或p假q真. 当p真q假时,a的取值范围是{a|a>1}∩{a|a≤2}={a|1<a≤2}; 当p假q真时,a的取值范围是{a|a≤1}∩{a|a>2}=?. 所以a的取值范围是(1,2].

答案:(1,2]

充 要 条 件
(1)(2013· 浙江高考)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0, π ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=2”的 ( ) [例3] A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(2)已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a,且綈q的一个充 分不必要条件是綈p,则a的取值范围是 A.[1,+∞ ) C.[-1,+∞ ) B.(-∞ ,1] D.(-∞ ,-3] ( )

[自主解答]

π (1)若f(x)是奇函数,则φ= 2 +kπ(k∈Z),且

π 当φ=2时,f(x)为奇函数. (2)由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,故綈p:-3≤x≤1, 綈q:x≤a. 由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分 不必要条件,故a≥1.

[答案]

(1)B

(2)A

在本例(2)中, p 是 q 的既不充分也不必要条件, 若 求 a 的取值范围.
解:由 x2+2x-3>0,得 x<-3 或 x>1,借助数轴可 知,若 p 是 q 的既不充分也不必要条件,则 a<1,即 a 的 取值范围是(-∞,1).

——————————规律· 总结———————————— 判断充分、必要条件时应关注三点
(1)要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推 出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能 推出B,且B不能推出A. (2)要善于举出反例:当从正面判断或证明一个命题的正确或 错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明. (3)要注意转化:綈p是綈q的必要不充分条件?p是q的充分不 必要条件;綈p是綈q的充要条件?p是q的充要条件.

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5.设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件

(

)

D.既不充分也不必要条件

解析:若(a-b)a2<0,则a≠0,且a<b,所以充分性成立; 若a<b,则a-b<0,当a=0时,(a-b)a2=0,所以必要性不 成立.故“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件.

答案:A

6.命题p:(x-m)2>3(x-m)是命题q:x2+3x-4<0成立的必要 不充分条件,则实数m的取值范围为 A.(-∞,-7)∪(1,+∞) C.(-7,1) B.(1,+∞) D.(-∞,-7]∪[1,+∞) ( )

解析:解不等式(x-m)2>3(x-m),得x>m+3或x<m,解不 等式x2+3x-4<0,得-4<x<1.因为命题p是命题q成立的必 要不充分条件,所以命题q中不等式的解集是命题p中不等 式的解集的真子集,即m+3≤-4或m≥1,解得m≤-7或 m≥1.

答案:D

课题1
[典例]

集合中的新定义问题

(2013· 湖南高考)对于 E={a1,a2,?,a100}的

子集 X={ai1,a i2,?,aik},定义 X 的“特征数列”为 x1, x2,?,x100,其中 x i1=x i2=?=xik=1,其余项均为 0.例 如:子集{a2,a3}的“特征数列”为 0,1,1,0,0,?,0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前 3 项和等于 ________;

(2)若 E 的子集 P 的“特征数列”p1,p2,?,p100 满足 p1 =1,i+pi+1=1, 1≤i≤99; 的子集 Q 的“特征数列” q1,2, p E q ?, q100 满足 q1=1, j+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98, P∩Q 的元素个数 q 则 为________.

[考题揭秘]

本题主要考查新定义题型、集合子集的

概念,意在考查考生自学能力、数据处理能力和归纳推理 能力.

[审题过程] 定义.

第一步:审条件.题设给出了“特征数列”的

第二步:审结论.(1)求子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的 前3项和;(2)已知子集P和子集Q的“特征数列”的特征,求 P∩Q的元素个数. 第三步:建联系.根据“特征数列”的定义,分别用列举 法写出子集{a1,a3,a5}的“特征数列”即可解决问题(1);逆用 “特征数列”的定义即可求出子集P和Q,从而求出P∩Q的元素 的个数.

[规范解答]

由集合E={a1,a2,?,a100}的子集X={ai1,

ai2,?,aik}的“特征数列”的定义可知.子集X的“特征数 列”有三个特征:(ⅰ)项的个数与集合E中所含元素的个数相 同,即集合E的子集X的“特征数列”的项数为100;(ⅱ)子集X 中的元素ai1,ai2,?,aik所对应的项为1,其余项为0;(ⅲ)“特 征数列”的项与集合E中元素的排列顺序是对应的.???① (1)由上述分析可知,子集{a1,a3,a5}的“特征数列”为: 1,0,1,0,1,0,?,0.故其前3项和为2.

(2)由子集P的“特征数列”p1,p2,?,p100满足p1=1,pi +pi+1=1知“特征数列”的首项为1,且相邻两项的和为1,即 “特征数列”为1,0,1,0,?,1,0.故集合P={a1,a3,?,a99}; 同理可求集合Q={a1,a4,a7,?,a97}.????????② 则两个子集的公共元素为a1和100以内项数被6除余1的数对 应的项,??????????????????????③ 即a1,a7,?,a97,共17项.???????????④

[答案]

(1)2

(2)17

[模型归纳] 解决集合新定义问题的模型示意图如下:

明概念 准确理解新定义运算的规则,这是解决 此类问题的关键,如步骤① 定元素 确定题目中每个集合的所有元素,如步骤② 定运算 根据要求及新定义运算,将所求集合的运算问题 转化为集合的交、并、补的基本运算,或转化为 数的有关运算问题.常采用列举法或数形结合法 求解,如步骤③ 定结果 根据定义的运算进行求解,利用列举法写出所求 集合中的所有元素(或根据图形确定相关运算结 果),如步骤④

[变式训练] 1.设集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x
∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数是 A.7 B.10 ( )

C.25 D.52 解析:因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪

B={-1,0,1,2,3}. 因为x∈A∩B,所以x可取0,1; 因为y∈A∪B,所以y可取-1,0,1,2,3. 则(x,y)的可能取值如下表所示:

y

x
0

-1 (0,-1)

0 (0,0)

1 (0,1)

2 (0,2)

3 (0,3)

1

(1,-1)

(1,0)

(1,1)

(1,2)

(1,3)

故A*B中元素共有10个.

答案:B

2.(2013· 青岛模拟)用 C(A)表示非空集合 A 中的元素个数,定义
?C?A?-C?B?,C?A?≥C?B?, ? A*B= ? ?C?B?-C?A?,C?A?<C?B?, ?

若 A={1,2},B={x|(x2

+ax)(x2+ax+2)=0},且 A*B=1,设实数 a 的所有可能取 值构成的集合是 S,则 C(S)= A.4 C.2 B.3 D.1 ( )

解析:由A={1,2}得C(A)=2,由A*B=1,得C(B)=1或C(B)=3. 由(x2+ax)(x2+ax+2)=0得x2+ax=0或x2+ax+2=0.当C(B)= 1时,方程(x2+ax)(x2+ax+2)=0只有实根x=0,这时a=0.当 C(B)=3时,必有a≠0,这时x2+ax=0有两个不相等的实根x1= 0,x2=-a,方程x2+ax+2=0必有两个相等的实根,且异于x1 =0,x2=-a,由Δ=a2-8=0,得a=± 2 意,故S={-2 2,0,2 2},C(S)=3. 2 ,可验证均满足题

答案:B

预测演练提能