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2013年全国各省(市)高考数学试题分类汇编(解析几何) 2


2013 年全国各省 (市) 高考数学 (理) 分类汇编(解析几何)
1. (2013 年天津卷 18 题)(本小题满分 13 分) 设椭圆 x2 ? y2
a b
2 2

? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为

F, 离心率为
3 3

3 3

, 过点 F 且与 x 轴

垂直的直线被椭圆截得的线段长为 4 (Ⅰ) 求椭圆的方程;

.

(Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆
DB CB 交于 C, D 两点. 若 AC· ? AD· ? 8 , 求 k 的值. ???? ??? ? ???? ??? ?

解(1)设 F (?c, 0) ,由 ?

c a

3 ? a ? 3c ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x ? ?c . 3

( ?c ) 2 y 2 6b 6b 4 3 代入椭圆方程得 2 ? 2 ? 1 ? y ? ? ,于是 ? ?b? 2 a b 3 3 3

又 b2 ? a2 ? c2 ? a ? 3, c ? 1 .所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 3 2

(2)设点 C( x1, y1 ), D( x2 , y2 ) ,由 F (?1, 0) 得直线 CD 的方程为 y ? k ( x ? 1) .
? y ? k ( x ? 1) 由 ? x2 y 2 ? (3k 2 ? 2) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 , ? ?1 ? ? 2 ?3
? x1 ? x2 ? ? 6k 2 3k 2 ? 6 , x1 x2 ? 2 ,因为 A(? 3,0), B( 3,0) ,所以 3k 2 ? 2 3k ? 2

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? AC ? DB ? AD ? CB ? ( x1 ? 3, y1 ) ? ( 3 ? x2 , ? y2 ) ? ( x2 ? 3, y2 ) ? ( 3 ? x1, ? y1)
6 ? 2x1x2 ? 2 y1 y2 ? 6 ? 2x1x2 ? 2k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1)
2k 2 ? 12 ? 6 ? (2k ? 2) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? 6 ? 2 3k ? 2
2 2 2

由已知得 6 ?

2k 2 ? 12 ?8? k ? ? 2 3k 2 ? 2

1

2.(2013 年重庆卷 21 题) 如图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A, A? 两点, AA? ? 4 。 (1)求该椭圆的标准方程; (2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的 两点 P, P? ,过 P, P? 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上 的其余点均在圆 Q 外。若 PQ ? P?Q ,求圆 Q 的标 准方程。 解(1)依题意知点 A(?c, 2) 在椭圆上, 则
(?c)2 4 2 4 ? 2 ? 1 ?? e ? ? b2 ? ?8 2 a b 2 1 ? e2
b2 x2 y 2 ? 16 .故椭圆方程为 ? ?1 1 ? e2 16 8

2 ,过左焦 2

从而 a 2 ?

由椭圆对称性,可设 Q( x0 ,0) ,又设 M ( x, y) 是椭圆上任意一点,则
x2 QM ? ( x ? x0 ) ? y ? x ? 2 x0 x ? x ? 8(1 ? ) 16
2 2 2 2 2 0

?

1 2 ( x ? 2 x0 ) 2 ? x0 ? 8( x ? [?4, 4]) 2

设 P( x1 , y1 ) ,依题意, P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点,因此上式当 x ? x1 时 取最小值,又因为 x ?[?4, 4] ,所以上式当 x ? 2 x0 时去最小值,从而 x1 ? 2x0 , 且 QP ? 8 ? x02
2

因为 PQ ? P?Q ,且 P?( x1 , ? y1 ) ,所以 QP ? QP? ? ( x1 ? x0 , y1 ) ? ( x1 ? x0 , ? y1 ) ? 0 即 ( x1 ? x0 )2 ? y12 ? 0 ,由椭圆方程及 x1 ? 2x0
2

??? ???? ?

x12 x 1 2 4 6 2 6 得 x1 ? 8(1 ? ) ? 0 ? x1 ? ? , x0 ? 1 ? ? 4 16 3 2 3

从而 QP ? 8 ? x02 ?
2

16 3

故这样的园有两个,其标准方程分别为
(x ? 2 6 2 16 2 6 2 16 ) ? y2 ? , (x ? ) ? y2 ? . 3 3 3 3

3.(2013 安徽卷 18 题) (本小题满分 12 分) 设椭圆 E :
x2 y2 ? ? 1的焦点在 x 轴上 a2 1 ? a2

(Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, P 为椭圆 E 上的第一象限内 的点,直线 F2 P 交 y 轴与点 Q ,并且 F1P ? FQ ,证明:当 a 变化时,点 1
p 在某定直线上。

【解析】 (Ⅰ)
5 8x 2 8x 2 ? a 2 ? 1 ? a 2 ,2c ? 1, a 2 ? 1 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? ,椭圆方程为: ? ? 1. 8 5 3

(Ⅱ) 设F1 (?c,0), F2 (c,0), P( x, y),Q(0, m),则F2 P ? x ? c, y),QF2 ? (c,?m) . ( 由 1 ? a 2 ? 0 ? a ? (0,1) ? x ? (0,1), y ? (0,1) .
?m(c ? x) ? yc F1 P ? ( x ? c, y), F1Q ? (c, m). F2 P // QF2 , F1 P ? F1Q得: 由 ? ?c( x ? c) ? my ? 0

? x2 y2 ? ?1 ? 2 a 1? a2 ? ? ? ( x ? c)(x ? c) ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 .联立? x 2 ? y 2 ? c 2 解得 ?a 2 ? 1 ? a 2 ? c 2 ? ? ?

3

?

2x 2 2y2 ? ? 1 ? x 2 ? ( y ? 1) 2 . ? x ? (0,1), y ? (0,1) ? x ? 1 ? y 2 2 2 2 x ? y ?1 1? x ? y

所以动点 P 过定直线 y ? x ? 1 ? 0 . 4.(2013 北京卷 19 题)(本小题共 14 分) 已知 A、B、C 是椭圆 W:
x2 ? y 2 ? 1上的三个点,O 是坐标原点. 4

(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形面积. (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并 说明理由. 解(1)线段 OB 的垂直平分线为 x ? 1 ,因此 AC ? 1,所以菱形面积为
S? 1 1 OB ? AC ? ? 2 ?1 ? 1 . 2 2

(2)四边形 OABC 不可能是菱形.只要证明 OA ? OC ,则 A 点与 C 点的横坐 标相等或互为相反数. 设 OA ? OC ? r ,则 A, C 为园 x2 ? y 2 ? r 2 与椭圆 因此
3x 2 ? r 2 ? 1 .于是结论得证. 4 x2 ? y 2 ? 1的交点. 4

5.(2013 福建卷 18 题) (本小题满分 13 分) 如图,在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为 (10, 0) ,点 C 的 坐 标 为 ( 0 , 1 0 ) 分 别 将 线 段 OA 和 AB 十 等 分 , 分 点 分 别 记 为 .
A1 , A2 , . . .A9和 B1 , B2 ,....B9 ,连结 OBi ,过 Ai 做 x 轴的垂线与 OBi 交于点 .

4

P (i ? N * ,1 ? i ? 9) . i

(1)求证:点 Pi (i ? N * ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程; (2)过点 C 做直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M , N ,若 ?OCM 与
?OCN 的面积比为 4 :1 ,求直线 l 的方程.

解: (Ⅰ)依题意,过 Ai (i ? N *,1 ? i ? 9) 且与 x 轴垂直的直线方程为 x ? i
? Bi (10, i ) ,? 直线 OBi 的方程为 y ?
i x 10

? x?i 1 2 ? 2 ( x , y ) ,由 ? 设 Pi 坐标为 i 得: y ? x ,即 x ? 10 y , 10 ? y ? 10 x ?

? P (i ? N *,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,且抛物线 E 方程为 x 2 ? 10 y i

(Ⅱ)依题意:直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 10 由?
? y ? kx ? 10 得 x 2 ? 10kx ? 100 ? 0 2 ? x ? 10 y

此时 ? ? 100k 2 +400 ? 0 ,直线 l 与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M , N 设: M ( x1, y1 ) N ( x2 , y2 ) ,则 ?
? S?OCM ? 4S?OCN ? x1 ? 4 x2
? x1 ? x2 ? 10k ? x1 ? x2 ? ?100

又? x1 ? x2 ? 0 ,? x1 ? ?4 x2 分别带入 ?
3 ? y ? kx ? 10 ,解得 k ? ? 2 2 ? x ? 10 y 3 2

直线 l 的方程为 y ? ? x +10 ,即 3x ? 2 y ? 20 ? 0 或 3x+2 y ? 20 ? 0

5

6.(2013 广东卷 20 题).(本小题满分 14 分) 已 知 抛 物 线 C 的 顶 点 为 原 点 , 其 焦 点 F ? 0 , c?? c 0 到 直 线 ? ?
l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为
3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两 2

条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x2 ? 4cy ,由 合c ? 0, 解得 c ? 1 . 所以抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y . (Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ,即 y ? x 2 ,求导得 y? ? x 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? (其中 y1 ? 为 x1 , x2 , 所以切线
x1 x ? 2 y ? 2 y1 ? 0
PA

0?c?2 2

?

3 2 结 2

1 4

1 2

x12 x2 , y2 ? 2 ),则切线 PA, PB 的斜率分别 4 4

1 2

1 2

的 方 程 为 y ? y1 ?

x x2 x1 ? x ? x1 ? , 即 y ? 1 x ? 1 ? y1 , 即 2 2 2

同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0 因
x1 ?2 x0




?2 y0

线

P , A

均 P B过



P ? x0 , y0 ?

,





, x2 xy1? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 ?0 0

所以 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . (Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ?1, BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ?1 联立方程 ?
? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

,消去 x 整理得 y 2 ? ? 2 y0 ? x0 2 ? y ? y0 2 ? 0

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x02 ? 2 y0 , y1 y2 ? y02
6

所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ?1 ? y02 ? x02 ? 2 y0 ?1 又点 P ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,
1 9 所以 y02 ? x02 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y02 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? ? ? ? ? ? 2?
1 2
2

2
9 2

所以当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 .

7.(2013 广西卷 21 题)(本小题满分 12 分) . 已知双曲线 C :
x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、右焦点分别为F1,F2, 离心率为 3, a 2 b2

直线 y ? 2与C的两个交点间的距离为 6. (I)求 a, b; ; (II) 设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且
AF1 ? BF1 , 证明: AF2 、 、 2 成等比数列. AB BF

解(1)依题意 ? 3 ? c ? 3a ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 8a 2 所以双曲线 C 的方程为 8x2 ? y 2 ? 8a2 将 y ? 2 代入上式得 x 2 ? a 2 ? , 依题意知 2 a2 ? ? 6 ? a ? 1?b ? 2 2 (2)由(1)知 F1 (?3,0), F2 (3,0), C 的方程为 8x2 ? y 2 ? 8 ……① 依题意设 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) .代入①化简整理得
(k 2 ? 8) x2 ? 6k 2 x ? 9k 2 ? 8 ? 0
1 2
1 2

c a

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

7

x1 ? ?1, x2 ? 1, x1 ? x2 ?

6k 2 9k 2 ? 8 , x1 x2 ? 2 k2 ?8 k ?8

于是 AF1 ? ( x1 ? 3)2 ? y12 ? ( x1 ? 3)2 ? 8 x12 ? 8 ? ?(3x1 ? 1)
2 2 BF1 ? ( x2 ? 3)2 ? y2 ? ( x2 ? 3) 2 ? 8 x2 ? 8 ? 3x2 ? 1

? AF1 ? BF1 ??(3x1 ? 1) ? 3x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? ?

2 3

6k 2 2 4 19 ? 2 ? ? ? k 2 ? ? x1 x2 ? ? k ?8 3 5 9

由于 AF2 ? ( x1 ? 3)2 ? y12 ? ( x1 ? 3)2 ? 8x12 ? 8 ? ?3x1 ? 1
2 2 BF2 ? ( x2 ? 3) 2 ? y2 ? ( x2 ? 3) 2 ? 8 x2 ? 8 ? 3x2 ? 1

故 AB ? AF2 ? BF2 ? 2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4
AF2 ? BF2 ? ?(3x1 ?1)(3x2 ?1) ? ?[9x1x2 ? 3( x1 ? x2 ) ?1] ? 16

所以 AB ? AF2 ? BF2 ,即 AF2 、 、 2 成等比数列 AB BF
2

8.(2013 全国新课标二卷 20 题)(本小题满分 12 分)
x2 y 2 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )右焦点的直线 a b
1 B P 且 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, 两点, 为 AB 的中点, OP 的斜率为 (Ι) 2

求 M 的方程 (Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四 边形 ACBD 面积的最大值
2 2 x12 y12 x2 y2 解(1)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 则 2 ? 2 ? 1 ……① 2 ? 2 ? 1 ……② a b a b

①-②得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0 a2 b2
8

设 P( x0 , y0 ) 因为 P 为 AB 的中点,且 kOP ? ? y0 ? x0 ? y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) 又
y1 ? y2 ? ?1 ,所以 a2 ? 2b2 , ? a2 ? 2(a2 ? c2 )?c ? 3 ?a2 ? 6, b2 ? 3. x1 ? x2
x2 y 2 ? ? 1. 6 3

1 2

1 2

1 2

所以 M 的方程为

(2)因为 CD ? AB ,直线 AB 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,所以设直线 CD 的方程 为
y ? x?m

,



x? y? 3 ?0





x2 y 2 ? ?1 6 3



3x 2 ? 4 3x ? 0 ? A(0, 3), B(
x2 y 2 ? ?1 6 3

4 6 4 3 3 . 将 y ? x?m 代 入 , ? ) 所 以 AB ? 3 3 3



3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 6 ? 0



C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 )

,

则 为

CD ? 2 ? ( x3 ? x4 )2 ? 4 x1 x2 ?

2 2 18 ? 2m2 3





? ? 16m2 ?12(2m2 ? 6) ? 0 ? ?3 ? m ? 3 所以,当 m ? 0 时, CD 取得最大值 4,

所以四边形 ACBD 面积的最大值为 (S ACBD )max ?

1 8 6 AB ? CD ? . 2 3

9.(2013 年河南山西河北卷 20)(本小题满分共 12 分) 已知圆 M : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ?1)2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与 M 外切并且与圆
N

内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.

(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A, 两点, B 当圆 P 的半径最长时,求|AB|. 【命题意图】 【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径 r1 =1,圆 N 的圆心 为 N (1,0),半径 r2 =3.
9

设动圆 P 的圆心为 P ( x , y ),半径为R. (Ⅰ)∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,∴ |PM|+|PN|= (R ? r1 ) ? (r2 ? R) = r1 ? r2 =4, 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短
x2 y2 半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外),其方程为 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3

(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 P ( x , y ),由于|PM|-|PN|= 2 R ? 2 ≤ 2,∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆P的半径最长时,其方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 当 l 的倾斜角为 900 时,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 当 l 的倾斜角不为 900 时, r1 ≠R知 l 不平行 x 轴, l 与 x 轴的交点为Q, 由 设 则 得
| QP | R = ,可求得Q(-4,0),∴设 l : y ? k ( x ? 4) ,由 l 于圆M相切 | QM | r1

| 3k | 1? k
2

? 1 ,解得 k ? ?

2 . 4

x2 y2 2 2 ? 1( x ? ?2) 并整理得 x ? 2 代入 ? 当 k = 时,将 y ? 4 3 4 4
7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 ,解得 x1,2 =
18 ?4 ? 6 2 ,∴|AB|= 1 ? k 2 | x1 ? x2 | = . 7 7

当 k =-

18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= , 7 4 18 或|AB|= 2 3 . 7

综上,|AB|=

10.(2013 湖北卷 21 题) (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴
10

上, 短轴长分别为 2m , ? m ? n ? , 过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , 2n
B C D 记 C2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A , , , 。 ? ?

m , BDM ? n

和 ?ABN 的面积分别为 S1 和 S2 。 (I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ? 并说明理由。
y A B M
C
O

N x

D

第 21 题图
m ?1 ? ?1 n 【解析与答案】 (I) S1 ? ? S2 ? m ? n ? ? ? m ? n ? ,? ? ? m ? ?1 ? ?1 n

解得: ? ? 2 ? 1 (舍去小于 1 的根)
x2 y2 x2 y2 (II)设椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1? a ? m ? , C2 : 2 ? 2 ? 1 ,直线 l : ky ? x a m a n
? ky ? x a 2 ? m 2k 2 2 am ? 2 2 ? y ? 1 ? yA ? ?x y 2 2 2 am a ? m 2k 2 ? a 2 ? m2 ? 1 ?

同理可得,yB?2
a ?n k

an

又? ?BDM 和 ?ABN 的的高相等
? S1 BD y B ? y D y B ? y A ? ? ? S2 AB y A ? y B y A ? y B

如果存在非零实数 k 使得 S1 ? ? S2 ,则有 ? ? ? 1? y A ? ? ? ? 1? yB ,
11

2 2 ? 2 ? ? ? 1? ? ? ? 1? ,解得 k 2 ? a 2 ? ? 2 ? 2? ? 1?? ? 2 ? 1? 即: 2 2 2 2 ? 2 2 2 4n 2? 3 a ?? n k a ?n k

? 当 ? ? 1 ? 2 时,k 2 ? 0 ,存在这样的直线 l ;当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,k 2 ? 0 ,

不存在这样的直线 l 。

11.(2013 年江苏卷 17 题)(本小题满分 14 分) . 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 . 设圆 C 的半径为1 ,圆心在 l 上. (1) 若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2) 若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求 圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. O x y A l

解: (1)联立: ?

? y ? x ?1 ,得圆心为:C(3,2). ? y ? 2x ? 4

设切线为: y ? kx ? 3 ,

d=

| 3k ? 3 ? 2 | 1? k
2

3 ? r ? 1 ,得: k ? 0 or k ? ? . 4
or y?? 3 x?3. 4

故所求切线为: y ? 0

(2)设点 M(x,y),由 MA ? 2MO ,知: x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 , 化简得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 , 即:点 M 的轨迹为以(0,1)为圆心,2 为半径的圆,可记为 圆 D.
12

又因为点 M 在圆 C 上,故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切. 故:1≤|CD|≤3,其中 CD ? a 2 ? (2a ? 3) 2 . 12 解之得:0≤a≤ . 5

12. (2013 年山东卷 22 题) (本小题满分 13 分) 椭圆 C: 率为
x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,离心 a 2 b2

3 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 l. 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1、PF2, 设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 p 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2, 若 k≠0,试证明
1 1 为定值,并求出这个定值. ? kk1 kk2 c a
2b 2 3 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a2 ? 4, b2 ? 1 , a 2

解答: (1)由已知得, ? 所以椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

???? ???? ? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? ? PF1 ? PM PF2 ? PM PF1 ? PM PF2 ? PM ? ? ? ? (2)由题意可知: ???? ???? = ???? ???? , ???? = ???? ,设 P( x0 , y0 ) | PF1 || PM | | PF2 || PM | | PF1 | | PF2 |
2 2 3 其中 x0 ? 4 ,将向量坐标代入并化简得:m( 4x0 ?16) ? 3x0 ?12x0 ,因为 2 x0 ? 4 ,

13

所以 m ? x0 ,而 x0 ? (?2, 2) ,所以 m ? (? , ) (3)由题意可知,l 为椭圆的在 p 点处的切线,由导数法可求得,切 线方程为:
x0 x y y x 1 1 ? y0 y ? 1 , 所以 k ? ? 0 , k1 ? 0 , k2 ? 0 , 而 代入 ? 中得: 4 4 y0 kk1 kk2 x? 3 x? 3

3 4

3 3 2 2

x ? 3 x0 ? 3 1 1 ? ? ?4( 0 ? ) ? ?8 为定值. kk1 kk2 x0 x0

13.(2013 年陕西卷 20 题).(本小题满分 13 分) 已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的 两点 P, Q, 若 x 轴是 ?PBQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点.

【解析】(Ⅰ) A(4,0),设圆心 C ( x, y), MN 线段的中点为 E,由几何图像知 ME ?
MN , CA 2 ? CM 2 ? ME 2 ? EC 2 2

? x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 2 ? x 2 ? y 2 ? 8x (
(Ⅱ) 点 B(-1,0),
2 2

设P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ),由题知y1 ? y2 ? 0,y1 y2 ? 0, y1 ? 8x1 , y2 ? 8x2 .
? y1 ? y2 y ?y ? ? 2 1 ? 2 2 ? 8( y1 ? y 2 ) ? y1 y 2 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ? 8 ? y1 y 2 ? 0 x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 8 y 2 ? 8
y 2 ? y1 1 2 ( x ? x1 ) ? y ? y1 ? (8x ? y1 ) x2 ? x1 y 2 ? y1
2

直线 PQ 方程为: y ? y1 ?

? y( y2 ? y1 ) ? y1 ( y2 ? y1 ) ? 8x ? y1 ? y( y2 ? y1 ) ? 8 ? 8x ? y ? 0, x ? 1

14

所以,直线 PQ 过定点(1,0) 14.(2013 年辽宁卷 20 题) (本小题满分 14 分) 已知点 A( x1, y1 ) B( x y2 )( x x? 0) 是抛物线 y2 ? 2 px( p? 0)上的两个动 , , 2 1 2 点, O 是坐标原点,向量 OA OB 满足 | OA+ OB |?| OA- OB | ,设圆 C 的方程 , 为 x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 . (Ⅰ)证明线段 AB 是圆 C 的直径; (Ⅱ)当圆 C 的圆心到直线 x ? 2 y ? 0 的距离的最小值为
??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2 5 时求 p 值. 5
2

(I)证法一:? OA ? OB ? OA ? OB ,?? OA ? OB ? ? ? OA ? OB ? ,
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

即 OA ? 2OA? ? OB ? OA ? 2OA? ? OB ,整理得 OA?OB ? 0 , OB OB
? x1x2 ? y1 y2 ? 0 .① 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 3 分

??? 2 ?

??? ??? ??? 2 ? ? ?

??? 2 ?

??? ??? ??? 2 ? ? ?

??? ??? ? ?

设点 M ? x,y ? 是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA?MB ? 0 , 即 ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 . 展开上式并将①代入得 x2 ? y2 ? ? x1 ? x2 ? x ? ? y1 ? y2 ? y ? 0 . 故线段 AB 是圆 C 的直径. 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 6 分
x1 ? x2 ? ?x ? 2 , ? (II)解法一:设圆 C 的圆心为 C ? x,y ? ,则 ? ? y ? y1 ? y2 . ? ? 2
2 ? y12 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ? p ? 0? ,
2 2 y12 y2 y12 y2 ,又? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,? x1 x2 ? ? y1 y2 ,?? y1 y2 ? 2 , ? x1 x2 ? 4 p2 4p

???? ????

? x1 x2 ≠ 0 ,? y1 y2 ≠0 ,? y1 y2 ? ?4 p2 . 〃〃〃〃〃〃〃〃〃 9 分
?x ? x1 ? x2 1 ? ? y12 ? y22 ? ? 41p ? y12 ? y22 ? 2 y1 y2 ? ? y21 y2 ? 1 ? y 2 ? 2 p2 ? , 2 4p p p

15

所以圆心的轨迹方程为: y 2 ? px ? 2 p2 . 〃〃〃〃〃〃〃〃 11 分 设圆心 C 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 d ,
x ? 2y 5
1 2 ? y ? 2 p2 ? ? 2 y p 5

则d ?

?

?

? y ? p?

2

? p2

5p

. 14 分

当 y ? p 时, d 有最小值

p p 2 5 ,由题设得 ? ,? p ? 2 . 5 5 5

15.(2013 浙江卷 21 题) .(本小题满分 14 分)
x 如图, 椭圆 C: 2 + y2 a b
2 2

? 1 (a>b>0)的离心率为

1 , 2

其左焦点到点 P(2,1)的距离为

10 .不过

原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点, 且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

【解析】 (Ⅰ)由题: e ? c ? 1 ;
a 2

(1)左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? 由(1) (2)可解得: a
2

(2 ? c)2 ? 12 ?

10 .

(2)

? 4,b 2 ? 3,c 2 ? 1 .
2

∴所求椭圆 C 的方程为: x
2

4

+

y2 ?1. 3

(Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= 1 x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其 中 y0= 1 x0.∵A,B 在椭圆上,
2

16

? xA2 y A2 + ?1 ? ∴ ? 42 32 ? ? xB + yB ? 1 ? 4 3 ?

? k AB ?

y A ? yB 3 xA ? xB 3 2 x0 3 ?? ?? ?? . x A ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2

设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ 3 x ? m (m≠0),
2
?x y ?1 ? + ?4 3 代入椭圆: ? ? y=- 3 x ? m ? ? 2
2 2

?

3x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 . ∴﹣
12 <m< 12 且

m≠0.
2

由上又有: xA ? xB =m, y A ? yB = m ∴ |AB| =
1 ? k AB
4? m2 3

?3 . 3
1 ? k AB

1 ? k AB

|

xA ? xB

| =

( xA ? xB )2 ? 4xA xB




?3 ? 1 ? m 1 ? k AB ? m? 2 1 ? k AB

∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ? ∴S ? ABP= 1 d|AB|= 1 |m+2|
2 2
4? m2 3




2

当|m+2|=

4?

m2 3

,即 m=﹣3 or m=0(舍去)时,(S ? ABP)max= 1 .
2 2

此时直线 l 的方程 y=﹣ 3 x ? 1 .

17.(2013 年上海卷 21 题) (本小题满分 14 分) 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 . (1)直线 l1 : 3x ? y ? 2 3 ? 0 与圆 O 相交于 A 、B 两点,求 AB ; (2)如图,设 M ( x1, y1 ) 、 P( x2 , y2 ) 是圆 O 上的 两个动点, M 关于原点的对称点为 M 1 , M 关 点 点 于 x 轴的对称点为 M 2 ,如果直线 PM1 、 PM 2 与 y 轴分别交于 (0, m) 和
17

(0, n ) ,问 m? n 是否为定值?若是求出该定值;若不是,请说明理由.

解(1)圆心 O(0, 0) 到直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 的距离 d ? 3 .园的半径 r ? 2 .
? AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2

(2) M ( x1 , y1 ) , P( x2 , y2 ) ,则 M1 (? x1, ? y1 ) , M 2 ( x1, ? y1 ) ,
2 2 2 2 x1 ? y1 ? 4 , x2 ? y2 ? 4 ;

直线 PM1 的方程为 ( y2 ? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ? m ? 直线 PM 2 的方程为 ( y2 ? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ? n ?
2 2 2 2 x2 y12 ? x12 y2 x2 (4 ? x12 ) ? x12 (4 ? x2 ) ?m ? n ? ? ?4 2 2 x2 ? x12 x2 ? x12

x1 y2 ? x2 y1 x2 ? x1 ? x1 y2 ? x2 y1 x2 ? x1

18.(2013 年江西卷题 20). (本小题满分 13 分) 如 图 , 椭 圆 C: 2 +
x2 a y2 =1(a >b>0) 经 过 点 b2

3 1 P( 1 , 离心率 e = ,直线 l 的方程为 x =4 . ), 2 2

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经 过点 P ) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记 PA, PB, PM 的斜率 分别为 k1,k2 ,k3. 问: 是否存在常数 ? , 使得 k1 +k2 =?k3. ?若存在求 ? 的值;若不存在,说明理由. 解(1)由 P(1, ), 在椭圆上得
3 2

1 9 ? 2 ? 1……………① 2 a 4b
18

依题意知 a ? 2c ? b2 ? a2 ? c2 ? 3c2 …………………② 联立①②解得 c2 ? 1, a2 ? 4, b2 ? 3 故椭圆 C 的方程为 C: +
x2 4 y2 =1 3

(2)依题意可设 AB 的斜率为 k ,则直线 AB 的方程为
y ? k ( x ? 1) ………………………. ③

代入椭圆方程并整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?
8k 2 4(k 2 ? 3) , x1 x2 ? ……④ 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

在③中令 x ? 4 得 M (4,3k ) ,从而
3 3 3 y2 ? 3k ? 2 ,k ? 2 ,k ? 2 ?k?1, k1 ? 2 3 x1 ? 1 x2 ? 1 4 ?1 2 y1 ?

注意到 A, F , B 共线,则 k ? k AF ? kBF ?
y1 ?

y1 y ? 2 ?k x1 ? 1 x2 ? 1

3 3 y2 ? 2? 2 ? y1 ? y2 ? 3 ( 1 ? 1 ) 所以 k1 ? k2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 1

8k 2 ?2 x1 ? x2 ? 2 3 3 4k 2 ? 3 ? 2k ? ? ? 2k ? ? ? 2k ? 1 8k 2 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 4(k 2 ? 3) ? ?1 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 3 1 又 k3 ? k ? ? k1 ? k2 ? 2k3 ,故操作常数 ? ? 2 符合题意 2

19.(2013 年四川卷 18 题)(本小题满分 13 分)
x2 y 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且椭 a b

圆 C 经过点 P( , ) 。
19

4 1 3 3

(I)求椭圆 C 的圆心率: (II) 设过点 A(0,2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点, Q 是线段 MN 上 点 的点,且
2 AQ
2

?

1 AM
2

?

1 AN
2

,求点 Q 的轨迹方程。
4 3 1 3 4 3 1 3

解:由椭圆定义可得 2a ? PF1 ? PF2 ? ( ? 1)2 ? ( )2 ? ( ? 1)2 ? ( )2 ? 2 2 所以 a ? 2 ,又由已知 c ? 1? e ? ? (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为
c a 2 2

x2 ? y 2 ? 1.设点 Q( x, y ) 2

1) 当直线 l 与 x 轴垂直时, 直线 l 与椭圆 C 交于 (0,1), (0, ?1) 两点, 此时点 Q 的坐标为 Q(0, 2 ?
3 5 ). 5

2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . 因为 M , N 在直线 l 上,可设 M ( x1, kx1 ? 2), N ( x2 , kx2 ? 2) ,则
2 AM ? (1 ? k 2 ) x12 , AN ? (1 ? k 2 ) x2 又 AQ ? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? (1 ? k 2 ) x 2 2 2 2



2 AQ
2

?

1 AM
2

?

1 AN
2



2 1 1 2 1 1 ( x ? x )2 ? 2 x x ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 2 2 1 2 ……① 2 (1 ? k 2 ) x2 (1 ? k 2 ) x12 (1 ? k 2 ) x2 x x1 x2 ( x1 x2 )

将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1中得 (2k 2 ? 1) x2 ? 8kx ? 6 ? 0 …….. ② 2
3 2

由 ? ? (8k )2 ? 4(2k 2 ? 1) ? 6 ? 0 ? k 2 ? 由②知 x1 ? x2 ?

?8k 6 18 , x1 x2 ? 2 ,代入①中并化简得 x 2 ? …③ 2 2k ? 1 2k ? 1 10k 2 ? 3 y?2 因为点 Q 在直线 y ? kx ? 2 上,所以 k ? 代入③并化简得 x 3 3 10( y ? 2)2 ? 3x2 ? 18 .由③及 k 2 ? 知 0 ? x 2 ? 2 2
20

又 Q(0, 2 ?

3 5 ) 满足 10( y ? 2)2 ? 3x2 ? 18 . 5
3 2

故 0 ? x 2 ? .所以 x ? (?

6 6 , ) 2 2

21


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