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2015-2016学年江西省南昌二中、临川一中高三(下)4月联考数学试卷(理科)(二)(解析版)


2015-2016 学年江西省南昌二中、 临川一中高三 (下) 4 月联考数学试卷 (理 科) (二)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 2 1. (5 分)已知全集 U=R,A={x|x +2x≤0},B={x|x>﹣1},则集合?U(A∩B)=( ) A. (﹣∞,﹣1]∪(0,+∞) B. (﹣∞,﹣1)∪[0,+∞) C. (﹣1,0] D.[﹣1,0) 2. (5 分)复数 z=(sinθ﹣2cosθ)+(sinθ+2cosθ)i 是纯虚数,则 sinθcosθ=( ) A.﹣ B.﹣ C. D. )

3. (5 分)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( ①y=f(|x|) ②y=f(﹣x) ③y=xf(x) ④y=f(x)﹣x. A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 4. (5 分)等比数列{an}中,a3=5,a8=2,则数列{lgan}的前 10 项和等于( ) A.2 B.5 C.10 D.lg50 5. (5 分)如图给出的是计算 + + +…+

的值的一个框图,其中菱形判断框内应填入的条件是(



A.i>8? B.i>9? C.i>10? D.i>11? 2 6. (5 分)已知抛物线 C:y =4x,A,B 是抛物线 C 上的两点,且线段 AB 的中点坐标为(2,2) ,则 AB 所在直线的方程为( ) A.x+y﹣4=0 B.x﹣y=0 C.2x﹣y﹣2=0 D.2x+y﹣6=0 7. (5 分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验.根据收集 到的数据(如表) ,由最小二乘法求得回归直线方程 =0.72x+58.4. 零件数 x(个) 加工时间 y 10 71 20 76 30 79
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40

50 89

表中有一个数据模糊不清,经推断,该数据的准确值为( A.85 B.86 C.87 D.88
5



8. (5 分) (x+ ) (3x﹣ ) 的展开式中各项系数的和为 3,则该展开式中常数项为( A.2520 B.1440 C.﹣1440 D.﹣2520



9. (5 分)圆柱的底面半径为 r,其全面积是侧面积的 倍.O 是圆柱中轴线的中点,若在圆柱内任取一点 P,则使|PO|≤r 的概率为( A. B. C. D. )

10. (5 分)下列四个命题中,正确的有( ) ①两个变量间的相关系数 r 越小,说明两变量间的线性相关程度越低; 2 2 ②命题“? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“对? x∈R,均有 x +x+1>0”; ③命题“p∧q 为真”是命题“p∨q 为真”的必要不充分条件; ④若函数 f(x)=x +3ax +bx+a 在 x=﹣1 有极值 0,则 a=2,b=9 或 a=1,b=3. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 11. (5 分)过双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 1 时,直线与双曲
3 2 2

线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为 2 时,直线与双曲线右支有两个不同的交点,则双曲线离心率 的取值范围为( ) A. (1, ) B. (1, ) C. ( ,2) D. ( , ) 12. (5 分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )

A.

B.12π C.

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 13. (5 分)设 与 的夹角为 θ, =(3,3) ,2 ﹣ =(﹣1,1) ,则 cosθ= .

14. (5 分)实数 x、y 满足不等式组

,则 W=

的取值范围是



15. (5 分)己知曲线 f(x)= x ﹣x +ax﹣1 存在两条斜率为 3 的切线,且切点的横坐标都大于零,则实 数 a 的取值范围为 .
n

3

2

16. (5 分)在数列{an}中,a1=0,an+2+(﹣1) an=2.记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S2016﹣S2013=
2页



三.解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答应写在答题 卡上的指定区域内. 17. (12 分)如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AC= DC. (Ⅰ)若∠DAC=30°,求角 B 的大小; (Ⅱ)若 BD=2DC,且 AD= ,求 DC 的长.

18. (12 分)某小学对五年级的学生进行体质测试,已知五年一班共有学生 30 人,测试立定跳远的成绩用 茎叶图表示如图(单位:cm) : 男生成绩在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“合格”,成绩在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“不合 格”. 女生成绩在 165cm 以上(包括 165cm)定义为“合格”,成绩在 165cm 以下(不包括 165cm)定义为“不合 格”. (Ⅰ)求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数; (Ⅱ)在五年一班的男生中任意选取 3 人,求至少有 2 人的成绩是合格的概率; (Ⅲ) 若从五年一班成绩“合格”的学生中选取 2 人参加复试, 用 X 表示其中男生的人数, 写出 X 的分布列, 并求 X 的数学期望.

19. (12 分)如图所示,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是梯形,AD∥BC,侧面 ABB1A1 为菱形,∠DAB=∠DAA1. (Ⅰ)求证:A1B⊥BC; (Ⅱ) 若 AD=AB=3BC, ∠A1AB=60°, 点 D 在平面 ABB1A1 上的射影恰为线段 A1B 的中点, 求平面 DCC1D1 与平面 ABB1A1 所成锐二面角的大小.

20. (12 分)已知椭圆 C1: >0)的焦点 F 是椭圆 C1 的顶点. (Ⅰ)求 C1 与 C2 的标准方程;

的离心率为

,焦距为

,抛物线 C2:x =2py(p

2

3页

(Ⅱ)C1 上不同于 F 的两点 P,Q 满足 21. (12 分)已知函数 f(x)=﹣aln(x+1)+ (Ⅰ)讨论 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (Ⅱ)若对任意的正整数 n 都有(1+ )
n﹣a

,且直线 PQ 与 C2 相切,求△FPQ 的面积. ﹣a﹣1(a∈R) .

>e 成立,求 a 的取值范围.

四、请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-1:几何证明 选讲] 22. (10 分)如图,⊙O 的半径为 4,线段 AB 与⊙O 相交于点 C、D,AC=2,∠BOD=∠A,OB 与⊙O 相交于点 E. (Ⅰ) 求 BD 长; (Ⅱ)当 CE⊥OD 时,求证:AO=AD.

[选修 4-4:极坐标与参数方程] 23.已知曲线 C1 的参数方程为 (α 为参数) .在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x )=2 (ρ>0,0<θ<2π) .

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos(θ+

(Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (Ⅱ)P 是 C1 上的任意一点,过 P 点作与 C2 的夹角为 45°的直线交 C2 于点 A.求|PA|的最大值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知? x0∈R 使得关于 x 的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t 成立. (Ⅰ)求满足条件的实数 t 集合 T; (Ⅱ)若 m>1,n>1,且对于? t∈T,不等式 log3m?log3n≥t 恒成立,试求 m+n 的最小值.

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2015-2016 学年江西省南昌二中、临川一中高三(下)4 月联考数 学试卷(理科) (二)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 2 1. (5 分) (2016 春?兴国县校级月考)已知全集 U=R,A={x|x +2x≤0},B={x|x>﹣1},则集合?U(A∩B) =( ) A. (﹣∞,﹣1]∪(0,+∞) B. (﹣∞,﹣1)∪[0,+∞) C. (﹣1,0] D.[﹣1,0) 【分析】化简集合 A,根据交集与补集的定义进行计算即可. 【解答】解:全集 U=R,A={x|x +2x≤0}={x|﹣2≤x≤0},B={x|x>﹣1}, ∴A∩B={x|﹣1<x≤0}, ∴?U(A∩B)={x|x≤﹣1 或 x>0} =(﹣∞,﹣1]∪(0,+∞) . 故选:A. 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目. 2. (5 分) (2016 春?兴国县校级月考)复数 z=(sinθ﹣2cosθ)+(sinθ+2cosθ)i 是纯虚数,则 sinθcosθ= ( ) A.﹣ B.﹣ C. D.
2

【分析】由复数 z 的实部为 0 且虚部不为 0 求得 tanθ,再把 sinθcosθ 转化为含有 tanθ 的代数式得答案. 【解答】解:∵复数 z=(sinθ﹣2cosθ)+(sinθ+2cosθ)i 是纯虚数, ∴ 则 sinθcosθ= ,解得 tanθ=2. .

故选:C. 【点评】本题考查复数的基本概念,考查了三角函数的化简求值,是基础题. 3. (5 分) (2016 春?兴国县校级月考)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的 是( ) ①y=f(|x|) ②y=f(﹣x) ③y=xf(x) ④y=f(x)﹣x. A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 【分析】由奇函数的定义:f(﹣x)=﹣f(x)逐个验证即可 【解答】解:由奇函数的定义:f(﹣x)=﹣f(x)验证 ①f(|﹣x|)=f(|x|) ,故为偶函数 ②f[﹣(﹣x)]=f(x)=﹣f(﹣x) ,为奇函数 ③﹣xf(﹣x)=﹣x?[﹣f(x)]=xf(x) ,为偶函数 ④f(﹣x)﹣(﹣x)=﹣[f(x)﹣x],为奇函数
5页

可知②④正确 故选 D 【点评】本题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性,是基础题. 4. (5 分) (2016 春?阳东县校级月考)等比数列{an}中,a3=5,a8=2,则数列{lgan}的前 10 项和等于( ) A.2 B.5 C.10 D.lg50 5 【分析】由等比数列的性质和题意得:a1?a2…a10=(a5?a6)5=10 ,由对数的运算求出数列{lgan}的前 10 项和即可. 【解答】解:由题意得,等比数列{an}中,a3=5,a8=2, 所以 a3?a8=a5?a6=10, 5 5 由等比数列的性质得,a1?a2…a10=(a5?a6) =10 , 所以数列{lgan}的前 10 项和 S=lga1+lga2+…+lga10 5 =lg(a1?a2…a10)=lg10 =5, 故选:B. 【点评】本题考查等比数列的性质的灵活应用,以及对数的运算,属于中档题.

5. (5 分) (2016?武汉校级模拟)如图给出的是计算 + + +…+ 应填入的条件是( )

的值的一个框图,其中菱形判断框内

A.i>8? B.i>9? C.i>10? D.i>11? 【分析】写出前三次循环得到的结果,找出规律,得到要输出的 S 在第十次循环中结果中,此时的 i 满足 判断框中的条件,得到判断框中的条件. 【解答】解:经过第一次循环得到 经过第二次循环得到 经过第三次循环得到 … 经过第十次循环得到 S= + + +…+ ,i=11,此时的 i 应该满足判断框中的条件,执行输出 ,i=2,此时的 i 应该不满足判断框中的条件

,i=3,此时的 i 应该不满足判断框中的条件 ,i=4,此时的 i 应该不满足判断框中的条件

6页

故判断框中的条件是 i>10 故选 C 【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,从中找出规律. 6. (5 分) (2016 春?兴国县校级月考)已知抛物线 C:y =4x,A,B 是抛物线 C 上的两点,且线段 AB 的 中点坐标为(2,2) ,则 AB 所在直线的方程为( ) A.x+y﹣4=0 B.x﹣y=0 C.2x﹣y﹣2=0 D.2x+y﹣6=0 2 2 【分析】设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1 =4x1,y2 =4x2,两式相减,可求直线 AB 的斜率,进而可求 直线 AB 的方程 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由中点坐标公式可得,x1+x2=4,y1+y2=4 2 2 则 y1 =4x1,y2 =4x2, 两式相减可得(y1﹣y2) (y1+y2)=(x1﹣x2) , ∴kAB=1, ∴直线 AB 的方程为 y﹣2=(x﹣2)即 x﹣y=0. 故选:B 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查抛物线的性质,考查运算求解能力,解题时要认 真审题,注意韦达定理的灵活运用. 7. (5 分) (2016 春?兴国县校级月考)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此 进行了 5 次试验.根据收集到的数据(如表) ,由最小二乘法求得回归直线方程 =0.72x+58.4. 10 20 30 40 50 零件数 x(个) 71 76 79 89 加工时间 y 表中有一个数据模糊不清,经推断,该数据的准确值为( ) A.85 B.86 C.87 D.88 【分析】根据表中所给的数据,做出横标和纵标的平均数,得到样本中心点,根据由最小二乘法求得回归 方程 =0.72x+58.4.代入样本中心点求出该数据的值, 【解答】解:设表中有一个模糊看不清数据为 m. 由表中数据得: =30, =63+ , 由于由最小二乘法求得回归方程 =0.72x+58.4. 将 =30, =63+ ,代入回归直线方程,得 63+ =0.72×30+58.4, ∴m=85. 故选:A 【点评】本题考查线性回归方程的应用,解题的关键是正确应用线性回归方程进行预测.
5 2

8. (5 分) (2016 春?兴国县校级月考) ( x+ ) (3x﹣ ) 的展开式中各项系数的和为 3,则该展开式中常 数项为( ) A.2520 B.1440 C.﹣1440 D.﹣2520 【分析】根据展开式中各项系数的和 2 求得 a 的值,再把二项式展开,求得该展开式中常数项. 【解答】解:令 x=1 可得(x+ ) (3x﹣ ) 的展开式中各项系数的和为(a+1)=3,∴a=2.
7页
5

∴(x+ ) (3x﹣ ) =(x+ ) (3x﹣ ) =(x+ ) ( ?243x ﹣
5

5

5

?162x +

3

?108x﹣

?

+

?



?

) ,

故该展开式中常数项为﹣

?72+2?108

=1440,

故选:B. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,求二项展开 式各项的系数和的方法,属于中档题.

9. (5 分) (2016 春?南昌校级月考)圆柱的底面半径为 r,其全面积是侧面积的 倍.O 是圆柱中轴线的中 点,若在圆柱内任取一点 P,则使|PO|≤r 的概率为( A. B. C. D. )

【分析】求出圆柱的高是底面半径的 2 倍,结合图象求出满足条件的概率即可. 【解答】解:如图示:

设圆柱的高是 h, 则 2πr +2πrh= ?2πrh, 解得:h=2r, 若|PO|≤r,P 在以 O 为圆心,以 r 为半径的圆内, ∴使|PO|≤r 的概率是:p= = ,
2

故选:C. 【点评】本题考查了几何概型问题,考查圆柱、圆的有关公式,是一道基础题. 10. (5 分) (2016 春?兴国县校级月考)下列四个命题中,正确的有( ①两个变量间的相关系数 r 越小,说明两变量间的线性相关程度越低;
2 2



②命题“? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“对? x∈R,均有 x +x+1>0”; ③命题“p∧q 为真”是命题“p∨q 为真”的必要不充分条件; 3 2 2 ④若函数 f(x)=x +3ax +bx+a 在 x=﹣1 有极值 0,则 a=2,b=9 或 a=1,b=3. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【分析】根据相关系数的定义可知①错误;根据特称命题(又叫存在性命题)的否定可知②错误;根据 真值表即可判断“p∧q 为真”是命题“p∨q 为真”的充分不必要条件,故③错误;由条件可得,f(﹣1)=0, 2 2 f'(﹣1)=0,解得 a=2,b=9 或 a=1,b=3,经检验,当 a=1,b=3 时,f'(x)=3x +6x+3=3(x+1) ≥0 恒 成立,此时 f(x)没有极值点,故④错误. 【解答】解:对于①:相关系数 r 的绝对值越趋近于 1,相关性越强;越趋近于 0,相关性越弱,故①错 误;
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对于②:命题“? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“对? x∈R,均有 x +x+1≥0”,故②错误; 对于③:若 p∧q 为真,则 p、q 均为真命题,此时 p∨q 为真,故命题“p∧q 为真”是命题“p∨q 为真”的充 分条件,故③错误; 对于④:f'(x)=3x +6ax+b,因为 f(x)在 x=﹣1 有极值 0,故
2

2

2

,解得

经检验,当 a=2,b=9 时,f'(x)=3x +12x+9=3(x+1) (x+3) ,此时 f(x)在 x=﹣1 处取得极小值,符合 条件; 当 a=1,b=3 时,f'(x)=3x +6x+3=3(x+1) ≥0 恒成立,此时 f(x)没有极值点,故不符合条件; 所以 a=2,b=9.故④错误. 故选:A. 【点评】考查了相关系数的概念,特称命题的否定,复合命题的真值表以及导数的应用,对第四个命题中 利用导数求出 a,b 的值后需进行检验.
2 2

2

11. (5 分) (2016 春?兴国县校级月考)过双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点 F 作一条直线,当

直线斜率为 1 时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为 2 时,直线与双曲线右支有两个 不同的交点,则双曲线离心率的取值范围为( ) A. (1, ) B. (1, ) C. ( ,2) D. ( , ) 【分析】先确定双曲线的渐近线斜率 1< <2,再根据 = 围. 【解答】解:由题意可得双曲线的渐近线斜率 1< <2, ,即可求得双曲线离心率的取值范

∵e= =

=

=



∴ <e< , ∴双曲线离心率的取值范围为( , ) . 故选:D. 【点评】本题考查双曲线的离心率的范围,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是利用 = ,属于中档题.

12. (5 分) (2016 春?兴国县校级月考) 某几何体三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为 (



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A.

B.12π C.

D.

【分析】由三视图知:几何体为三棱锥 S﹣ABC,且三棱锥的一个侧面 SAC 垂直于底面 ABC,高 SD=2, AD=DC=1. 如图:△ABC 的外接圆的圆心为斜边 AC 的中点 E,设该几何体的外接球的球心为 O.OE⊥底面 ABC, 设 OE=x,外接球的半径为 R,利用勾股定理即可得出. 【解答】 解: 由三视图知: 几何体为三棱锥 S﹣ABC, 且三棱锥的一个侧面 SAC 垂直于底面 ABC, 高 SD=2, AD=DC=1. 底面为等腰直角三角形,直角边长为 2,如图: ∴△ABC 的外接圆的圆心为斜边 AC 的中点 E,设该几何体的外接球的球心为 O. OE⊥底面 ABC, 设 OE=x,外接球的半径为 R, 则 解得 x= . ∴R =
2

=1+(2﹣x) ,

2


2

∴外接球的表面积 S=4π×R = 故答案为: .



【点评】本题考查了三棱锥的三视图、空间位置关系、外接球的性质、勾股定理,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 13. (5 分) (2014?呼和浩特一模) 设 与 的夹角为 θ, = (3, 3) , 2 ﹣ = (﹣1, 1) , 则 cosθ= .

【分析】设出 的坐标,利用 2 ﹣ =(﹣1,1)求得 x 和 y,进而求得两向量的积,和两向量的模,最后 利用平面向量的数量积的法则求得 cosθ 的值. 【解答】解:设 =(x,y) , 故 2 ﹣ =(2x﹣3,2y﹣3)=(﹣1,1)?x=1,y=2, 即 b=(1,2) ,则 ? =(3,3)?(1,2)=9,| |=3 故 cosθ= =
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,|b|=



故答案为: 【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标运算,考查了学生对向量基础知识的应用.

14. (5 分) (2009?唐山校级模拟)实数 x、y 满足不等式组

,则 W=

的取值范围是

[﹣1,

1) .

【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件

,画出满足约束

条件的可行域,分析

表示的几何意义,结合图象即可给出

的取值范围.

【解答】解:约束条件

对应的平面区域如图示:

表示可行域内的点 Q(x,y)与点 P(0,1)连线的斜率, 当 Q 在直线 y=x 上时,W= =1﹣ 取最大值 1,

当(x,y)=( 1,0)时取最小值﹣1, 故 的取值范围是[﹣1,1)

故答案为:[﹣1,1) .

【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域, 分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标,即可求出答案.
3 2

15. (5 分) (2016?沈阳校级一模)己知曲线 f(x)= x ﹣x +ax﹣1 存在两条斜率为 3 的切线,且切点的 横坐标都大于零,则实数 a 的取值范围为 (3, )
2 2



【分析】求得导数,由题意可得 2x ﹣2x+a=3,即 2x ﹣2x+a﹣3=0 有两个不相等的正根,运用判别式大于 0,韦达定理,解不等式即可得到所求范围.
11 页

【解答】解:f(x)= x ﹣x +ax﹣1 的导数为 f′(x)=2x ﹣2x+a, 由题意可得 2x ﹣2x+a=3,即 2x ﹣2x+a﹣3=0 有两个不相等的正根, 则△=4﹣8(a﹣3)>0,a﹣3>0, 解得 3<a< . 故答案为: (3, ) . 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,注意运用导数的几何意义和二次方程的实根的分布,考查 运算能力,属于基础题. 16. (5 分) (2016 春?兴国县校级月考)在数列{an}中,a1=0,an+2+(﹣1) an=2.记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S2016﹣S2013= 2016 . n 【分析】由 an+2+(﹣1) an=2,考虑分 n 为奇数、偶数来讨论,根据数列{an}的表达式即可求 S2016﹣S2013. n 【解答】解:由 an+2+(﹣1) an=2, 可知得 n 为奇数时 an+2﹣an=2, ∴数列{an}的奇数项构成以 0 为首项,2 为公差的等差数列, 当 n 为偶数时 an+2+an=2, 即 a2+a4=a4+a6=…=2. ∴S2016﹣S2013=a2014+a2015+a2016=a2015+2=a1+(1008﹣1)×2+2=2016, 故答案为:2016. 【点评】本题考查求数列的前 n 项和的方法,考查等差数列前 n 项和公式,考查计算能力,属于中档题. 三.解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答应写在答题 卡上的指定区域内. 17. (12 分) (2016 春?丰城市校级期末)如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AC= DC. (Ⅰ)若∠DAC=30°,求角 B 的大小; (Ⅱ)若 BD=2DC,且 AD= ,求 DC 的长.
n 2 2

3

2

2

【分析】 (I)利用正弦定理、外角性质、三角形内角和定理即可得出. (Ⅱ)设 DC=x,则 BD=2x,BC=3x,AC= 定理即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)在△ABC 中,根据正弦定理,有 ∵AC= DC,∴sin∠ADC=
° °

x.于是 sinB=

=

,cosB=

,AB=

x.再利用余弦

=



=



又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60 >60 , ∴∠ADC=120°. ° ° ° 于是∠C=180°﹣120 ﹣30 =30 ,∴∠B=60°. (Ⅱ)设 DC=x,则 BD=2x,BC=3x,AC= x.
12 页

于是 sinB=

=

,cosB=

,AB=
2 2

x.
2

在△ABD 中,由余弦定理,AD =AB +BD ﹣2AB?BDcosB, 即 ,得 x=1.故 DC=1.

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (12 分) (2016?沈阳二模)某小学对五年级的学生进行体质测试,已知五年一班共有学生 30 人,测试 立定跳远的成绩用茎叶图表示如图(单位:cm) : 男生成绩在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“合格”,成绩在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“不合 格”. 女生成绩在 165cm 以上(包括 165cm)定义为“合格”,成绩在 165cm 以下(不包括 165cm)定义为“不合 格”. (Ⅰ)求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数; (Ⅱ)在五年一班的男生中任意选取 3 人,求至少有 2 人的成绩是合格的概率; (Ⅲ) 若从五年一班成绩“合格”的学生中选取 2 人参加复试, 用 X 表示其中男生的人数, 写出 X 的分布列, 并求 X 的数学期望.

【分析】 (I)由茎叶图能求出五年一班的女生立定跳远成绩的中位数. (II) 设“仅有两人的成绩合格”为事件 A, “有三人的成绩合格”为事件 B, 至少有两人的成绩是合格的概率: P=P(A)+P(B) ,由此能求出至少有 2 人的成绩是合格的概率. (III)因为女生共有 18 人,其中有 10 人合格,依题意,X 的取值为 0,1,2,分别求出相应的概率,由 此能求出 X 的分布列和 X 的数学期望. 【解答】解: (I)由茎叶图得五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为 (II)设“仅有两人的成绩合格”为事件 A,“有三人的成绩合格”为事件 B, 至少有两人的成绩是合格的概率:P=P(A)+P(B) , 又男生共 12 人,其中有 8 人合格,从而 , (4 分) cm.…(2 分)

,所以

. (6 分)

(III)因为女生共有 18 人,其中有 10 人合格, 依题意,X 的取值为 0,1,2. 则 ,


13 页

, (每项 1 分) (10 分) 因此,X 的分布列如下: X 0 1 2 P ∴ (或是,因为 X 服从超几何分布,所以 (人) . (未化简不扣分) (12 分) (人) .

【点评】本题考查中位数、概率、分布列的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合 理运用. 19. (12 分) (2016 春?兴国县校级月考)如图所示,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是梯形, AD∥BC,侧面 ABB1A1 为菱形,∠DAB=∠DAA1. (Ⅰ)求证:A1B⊥BC; (Ⅱ) 若 AD=AB=3BC, ∠A1AB=60°, 点 D 在平面 ABB1A1 上的射影恰为线段 A1B 的中点, 求平面 DCC1D1 与平面 ABB1A1 所成锐二面角的大小.

【分析】 (Ⅰ)连接 AB1、A1D、BD,设 AB1 交 A1B 于点 O,连 OD,推导出△AA1D≌△ABD,从而 DO ⊥A1B,由菱形的性质知 AO⊥A1B,从而 A1B⊥平面 ADO,进而 A1B⊥AD,再由 AD∥BC,能证明 A1B ⊥BC. (Ⅱ) 分别以射线、 射线、 射线为轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系, 利用向量法能求出平面 DCC1D1 与平面 ABB1A1 所成锐二面角的大小. 【解答】证明: (Ⅰ)连接 AB1、A1D、BD,设 AB1 交 A1B 于点 O, 连 OD,如图所示. 由 AA1=AB,∠DAB=∠DAA1,可得△AA1D≌△ABD, 所以 A1D=BD, 由于 O 是线段 A1B 的中点,所以 DO⊥A1B, 又根据菱形的性质知 AO⊥A1B,所以 A1B⊥平面 ADO, 所以 A1B⊥AD,又因为 AD∥BC,所以 A1B⊥BC.…(6 分) 解: (Ⅱ)由(Ⅰ)知 A1B⊥AB1, 又由题意知 DO⊥平面 ABB1A1, 故可分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示. 设 AD=AB=3BC=3a, 由∠A1AB=60°知 ,|OA|=|OB1|= ,

14 页

所以|OD|= 从而 A(0,﹣ 所以 由 = ,得

= ,0) ,B(

, ,0,0) ,B1(0, . ,所以 . ,0) ,D(0,0, ) ,

设平面 DCC1D1 的一个法向量为 =(x0,y0,z0) ,



,得



取 y0=1,则



,所以 =( , .

) .

又平面 ABB1A1 的法向量为 所以

故平面 DCC1D1 与平面 ABB1A1 所成锐二面角的大小为

.…(12 分)

【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 向量法的合理运用.

20. (12 分) (2016?常德一模)已知椭圆 C1: 线 C2:x =2py(p>0)的焦点 F 是椭圆 C1 的顶点. (Ⅰ)求 C1 与 C2 的标准方程; (Ⅱ)C1 上不同于 F 的两点 P,Q 满足 【分析】 (I)设椭圆 C1 的焦距为 2c,依题意有
2 2

的离心率为

,焦距为

,抛物

,且直线 PQ 与 C2 相切,求△FPQ 的面积. , ,由此能求出椭圆 C1 的标准方程;又抛

物线 C2:x =2py(p>0)开口向上,故 F 是椭圆 C1 的上顶点,由此能求出抛物线 C2 的标准方程.

15 页

(II) 设直线 PQ 的方程为 y=kx+m, 设P (x1, y1) , Q (x2, y2) , 则





联立

,得(3k +1)x +6kmx+3m ﹣12=0,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式,结合

2

2

2

已知条件能求出△FPQ 的面积. 【解答】解: (I)设椭圆 C1 的焦距为 2c,依题意有 , ,

解得

,b=2,故椭圆 C1 的标准方程为
2

.…(3 分)

又抛物线 C2:x =2py(p>0)开口向上,故 F 是椭圆 C1 的上顶点, ∴F(0,2) ,∴p=4, 故抛物线 C2 的标准方程为 x =8y.…(5 分) (II)由题意得直线 PQ 的斜率存在.设直线 PQ 的方程为 y=kx+m, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 ∴ 即 , ,…(6 分) (*) ,
2

联立

,消去 y 整理得, (3k +1)x +6kmx+3m ﹣12=0(**) .
2 2

2

2

2

依题意,x1,x2 是方程(**)的两根,△=144k ﹣12m +48>0, ∴ ,
2

,…(7 分)

将 x1+x2 和 x1?x2 代入(*)得 m ﹣m﹣2=0, 解得 m=﹣1, (m=2 不合题意,应舍去) .…(8 分) 联立
2

,消去 y 整理得,x ﹣8kx+8=0,

2

令△'=64k ﹣32=0,解得 经检验, 此时, ∴

.…(10 分)

,m=﹣1 符合要求. , .…(12 分)

【点评】本题考查椭圆标准方程的求法,考查三角形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意根 的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用.

16 页

21. (12 分) (2016 春?兴国县校级月考)已知函数 f(x)=﹣aln(x+1)+ (Ⅰ)讨论 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (Ⅱ)若对任意的正整数 n 都有(1+ )
n﹣a

﹣a﹣1(a∈R) .

>e 成立,求 a 的取值范围. ,对 a 分类讨论即可得出单调性. .令 g(x)=(1﹣ax)ln(1+x)﹣x,x∈(0,1], , 利用 (Ⅰ) ,

【分析】 (I)利用导数的运算法则可得:f′(x)=﹣ (Ⅱ) 故要上式成立, 只需对? x∈ (0, 1], 有g (x) >0. 对 a 分类讨论即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)



当 当

时,f'(x)>0 在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增; 时,f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,

当 a≥0 时,f'(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减. (Ⅱ) .

令 g(x)=(1﹣ax)ln(1+x)﹣x,x∈(0,1],故要上式成立,只需对? x∈(0,1],有 g(x)> 0. ①当 ,由(Ⅰ)可知: 时,∴g(x)在(0,1]上单调递增;∴g(x)>g(0)=0,符合题意.

②当 a≥0 时,∴g(x)在(0,1]上单调递减;∴g(x)<g(0)=0,不符合题意. ③当 ∴当 ④当 时,g(x)在 上单调递减;

时,g(x)<g(0)=0,不符合题意. 时,g(x)在(0,1]上单调递减;

∴当 x∈(0,1]时 g(x)<g(0)=0,不符合题意. 综上可知,a 的取值范围为 .

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的解法,考查了分类讨论方法、推理能力与计算 能力,属于难题. 四、请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-1:几何证明 选讲] 22. (10 分) (2016 春?兴国县校级月考)如图,⊙O 的半径为 4,线段 AB 与⊙O 相交于点 C、D,AC=2, ∠BOD=∠A,OB 与⊙O 相交于点 E. (Ⅰ) 求 BD 长; (Ⅱ)当 CE⊥OD 时,求证:AO=AD.
17 页

【分析】 (Ⅰ)由 OC=OD,可得∠OCA=∠ODB.进而单调△OBD∽△AOC.利用相似三角形的性质即可 得出. (Ⅱ)由 OC=OE,CE⊥OD.可得∠COD=∠BOD=∠A.进而得出. 【解答】 (Ⅰ)解:∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OCA=∠ODB. ∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC.∴ ∵OC=OD=4,AC=2,∴ ,∴BD=8. ,

(Ⅱ)证明:∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A. ∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO. ∴AD=AO. 【点评】本题考查了圆的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. [选修 4-4:极坐标与参数方程] 23. (2016 春?兴国县校级月考)已知曲线 C1 的参数方程为 (α 为参数) .在平面直角坐标 )

系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos(θ+ =2 (ρ>0,0<θ<2π) . (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (Ⅱ)P 是 C1 上的任意一点,过 P 点作与 C2 的夹角为 45°的直线交 C2 于点 A.求|PA|的最大值. 【分析】 (Ⅰ)求出 C1 与 C2 的普通方程,即可求 C1 与 C2 交点的极坐标; (Ⅱ)利用参数方程,结合点到直线的距离公式,可得结论. 【解答】解: (Ⅰ)将
2 2

消去参数 α,得(x﹣2) +y =4,

2

2

所以 C1 的普通方程为: (x﹣2) +y =4. 将曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程得:x﹣y﹣4=0. 由直线与圆的方程联立解得 或 .

所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为(4,0)或(2



) . …(5 分)

(Ⅱ)设 P(2+2cosα,2sinα) ,P 到直线 C2 的距离为 d= ∴|PA|的最大值= =2 = | +2.…(10 分) +1|

【点评】本题考查了直线的参数方程化为直角坐标方程、化为极坐标方程、点到直线的距离公式、直角三 角形的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18 页

[选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?宁城县模拟)已知? x0∈R 使得关于 x 的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t 成立. (Ⅰ)求满足条件的实数 t 集合 T; (Ⅱ)若 m>1,n>1,且对于? t∈T,不等式 log3m?log3n≥t 恒成立,试求 m+n 的最小值. 【分析】 (Ⅰ)根据绝对值的几何意义求出 t 的范围即可; (Ⅱ)根据级别不等式的性质结合对数函数的性 质求出 m+n 的最小值即可. 【解答】解: (I)令 f(x)=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t, ∴T=(﹣∞,1]; (Ⅱ)由(I)知,对于? t∈T, 不等式 只需 所以 ? ? ? ≥t 恒成立, ≥tmax, ≥1,

又因为 m>1,n>1, 所以 >0, >0,

又 1≤ 所以 所以

?

≤ ≥4,

=



=

时取“=”) ,

≥2,mn≥9,

所以 m+n≥2 ≥6, 即 m+n 的最小值为 6(此时 m=n=3) . 【点评】本题考查了绝对值的几何意义,考查对数函数以及级别不等式的性质,是一道中档题.

19 页


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