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2012届数学(理)考前抢分训练---函数与导数


2012 届数学(理)考前抢分训练---函数与导数
1.设 A、 是非空集合, B 定义 A ? B ? { x x ? A ? B 且 x ? A ? B } , 已知 A ? { x y ? lg (
1

2 x

? 1)} ,

B ? {y y ? 3

x ?1

2

} ,则 A ? B 等于(

) C. ( ? ? , 0 ] ? [ 2, 3] D. ( ? ? , 0) ? (2, 3)

A. (0,1] ? [ 2, 3]
2 2

B. (0,1) ? (2, 3) )

2.若 lo g a ? lo g b ? 0 ,则( A. 0 ? a ? b ? 1

B. 0 ? b ? a ? 1

C. a ? b ? 1
1 2

D. b ? a ? 1 )

3.设函数 f ( x )( x ? R ) 为奇函数, f (1) ? A.0 B.1 C.
5 2

, f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ? 2 ,则 f (5) 等于(

D.5
1 3 x
2

4.已知函数 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f ( ) ?
x

,则 f ( x ) 的最小值是(



A.2

B. 2 2

C.3

D.4

5. 设 函 数 f ( x ) ? x s i n x (0, ? ? ) 内 的 全 部 极 值 点 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 在
a1 , a 2 , ? , a n , ? ,则对任意正整数 n 必有(

)
?
2 3?
2
f ( ? 1) ? 1 , 则

A. ? C.
?
2

?
2

? a n ?1 ? a n ? 0

B. 0 ? a n ? 1 ? a n ? D. ? ? a n ? 1 ? a n ?

? a n ?1 ? a n ? ?

6. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 ,
f (1) ? f (2) ? ? ? f (2011) ? (



A.-1

B.0

C.1
sin x 1? x
2

D.2

7.已知函数 f ( x ) ? 1 ?

( x ? R ) 的最大值为 A,最小值为 B,则 A+B=

8.已知 y ? f ( 2 x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f ( 2 x ) 的图象关于直线
y ? f ( x ) 的图象关于直线

对称,函数

对称

9.某地需要修建一条大型输油管道通过 120 公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站 已经建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压 站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为 432 万元,铺设距离为 x 公里的相邻两增 压站之间的输油管道费用为 x3+x 万元.设余下工程的总费用为 y 万元. (1)试将 y 表示成关于 x 的函数; (2)需要修建多少个增压站才能使 y 最小?

10.已知函数 f ( x ) ? x ? 1 ? a ln x ( a ? R ) . (1)若曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 3 x ? y ? 3 ,求实数 a 的值; (2)求证: f ( x ) ? 0 恒成立的充要条件是 a ? 1 ;
1 x1 1 x2

(3)若 a ? 0 ,且对任意 x1 , x 2 ? (0,1), 恒 有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4

?

,求实数 a 的取值范围.

函数与导数 1----6. ABCBCB 7. 2 8. x ?
1 2

;x ?1
120

9. 【解析】(1)设需要修建 k 个增压站,则(k+1)x=120,即 k= 所以 y=432k+(k+1)(x3+x) =432×(
120 x

—1, +120x2-312.

-1)+

120 x

(x3+x)=

x 51840 x

因为 x 表示相邻两增压站之间的距离,则 0<x≤60. 故 y 与 x 的函数关系是 y=?+120x2-312(0<x≤60).

(2)设 f(x)= f'(x)=-

51840 x

+120x2-312(0<x≤60),则
240 x
2

51840 x
2

+240x=

(x3-216),

由 f'(x)>0,得 x3>216,又 0<x≤60,则 6<x≤60. 所以 f(x)在区间(6,60]上为增函数,在区间[0,6)上为减函数. 所以当 x=6 时,f(x)取最小值,此时 k=
120 x

-1=

120 6

-1=19.

故需要修建 19 个增压站才能使 y 最小. 10. 【解析】(1)f'(x)=1a x

?f'(1)=1-a,又在 x=1 处的切线方程为 y=3x-3,∴1-a=3?a=-2.

(2)充分性:a=1?恒有 f(x)≥0. 当 a=1 时,f(x)=x-ln x-1,f'(x)=11 x

=

x ?1 x

,

f(x)在(0,1)上单调递减,在 (1, ?? ) 上单调递增,所以 f(x)≥f(1)=0. 必要性:f(x)≥0 恒成立?a=1.f'(x)=1a x

=

x?a x

(x>0),

当 a≤0 时,f'(x)>0 恒成立,f(x)在 ( 0 , ?? ) 单调递增,而 f(1)=0, ∴x∈(0,1)时,f(x)<0 与 f(x)≥0 恒成立矛盾,∴a≤0 不合题意; 当 a>0 时,f(x)在 ( 0 , a ) 单调递减, ( a , ?? ) 单调递增,∴f(x)min=f(a)=a-1-aln a. 又 f(x)≥0 恒成立,∴f(a)=a-1-aln a≥0, (*) ∵f'(a)=1-(ln a+1)=-ln a(a>0),∴当 0<a<1 时,f'(a)>0,当 a>1 时,f'(a)<0. 即 f(a)=a-1-aln a(a>0)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,∴f(a)≤f(1)=0. (**) ∴f(a)=a-1-aln a=0,解得 a=1. 综上:f(x)≥0 恒成立的充要条件是 a=1. (3)由(2)知,a<0 时,f(x)在(0,1)单调递增,又函数 y=
1 x

在(0,1)单调递减,
1 x1
1 x1 ?

不妨设 0<x1≤x2<1,则 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ,

?

1 x2
1 x2

?

1 x1

?

1 x2

.

∴ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ≤4

1 x1

?

1 x2

? f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ≤4(



? f (x2 ) ?

4 x2

? f ( x1 ) ?

4 x1

,①
4 x

令 h(x)=f(x)+

4 x

=x-1-aln x+

,x∈R,

则原不等式?h(x2)≤h(x1)?h(x)在(0,1)单调递减, ∵h'(x)=1a x

-

4 x
2

=

x ? ax ? 4
2

x

2

,∴x∈(0,1)时恒有 x2-ax-4≤0 成立,

即 a≥?

x ?4
2

=x-

4 x

?,令 g(x)=x-

4 x

?,∵g(x)在(0,1)单调递增,∴g(x)<g(1)=1-

4 1

=-3,∴a≥-3,

x

又 a<0,∴a∈ ( ? 3 , 0 ) ?为所求.


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