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高中数学选修2-3(人教A版)配套课件:1.1 《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》_图文

第一章 计数原理 第一章 计数原理 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学习导航 新知初探思维启动 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案,在第1类方案中有m种 不同的方法,在第 2 类方案中有 n种不同的方法,那么 m+n 种不同的方法. 完成这件事共有N=_________ 做一做 1. 若某班有男生 26 人,女生 24 人,从中选一位同学为 数学课代表,有________种不同选法. 答案:50 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方 法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有 N=_________ m×n 种不同的方法. 想一想 分步乘法计数原理中的“各步方法”能单独“完成这 件事”吗? 提示:不能. 做一做 2.已知集合A={1,2},B={3,4,5},从集合A和集合B中 分别取一个元素作为平面直角坐标系中的点的横、纵 坐标,可确定________个不同点. 答案:6 典题例证技法归纳 题型探究 题型一 分类加法计数原理 例1 在所有的两位数中 ,个位数字大于十位数字的两 位数共有多少个? 【解】 法一:按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的 情况分成 8 类 , 在每一类中满足题目条件的两位数分别 是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原 理知,符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1 =36(个). 法二:按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一 类中满足条件的两位数分别是1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8个,所以按分类加法计数原理,满足条件的两位数共 有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个). 【名师点评】 利用分类加法计数原理时要注意: (1)要准确理解题意,确定分类的标准. (2)分类时要做到“不重不漏”,即类与类之间要保证相 互间的独立性. 互动探究 1 .本例条件不变 , 问个位数字小于十位数字的两位数 共有多少个? 解:当个位数字为0,1,2,3,4,5,6,7,8时,符合条件的两位数 分别有9,8,7,6,5,4,3,2,1个,根据加法计数原理共有9+8+ 7+6+5+4+3+2+1=45(个). 题型二 分步乘法计数原理 例2 从 1,2,3,4 中选三个数字 ,组成无重复数字的整数 , 则满 足下列条件的数有多少个? (1)三位数; (2)三位数的偶数. 【解】 (1)三位数有三个数位, 百位 十位 个位 故可分三个步骤完成: 第1步,排个位,从1,2,3,4中选1个数字,有4种方法; 第2步,排十位,从剩下的3个数字中选1个,有3种方法; 第3步,排百位,从剩下的2个数字中选1个,有2种方法.依据分 步乘法计数原理,共有4×3×2=24个满足要求的三位数. (2)分三个步骤完成: 第1步,排个位,从2,4中选1个,有2种方法; 第2步,排十位,从余下的3个数字中选1个,有3种方法; 第 3 步 , 排百位 , 只能从余下的 2 个数字中选 1 个 , 有 2 种方 法. 故共有2×3×2=12个三位数的偶数. 【名师点评】 利用分步乘法计数原理解决问题时 ,一 定要正确设计“分步”的程序,即完成这件事共分几步, 每一步的具体内容是什么,各步的方法、种数是多少,最 后用分步乘法计数原理求解. 跟踪训练 2.某商店现有甲种型号电视机10台,乙种型号电视机8 台,丙种型号电视机12台,从这三种型号的电视机中各选 1台检验,有多少种不同的选法? 解:从这三种型号的电视机中各选1台检验可分三步完 成: 第一步,从甲种型号中选1台,有10种不同的选法; 第二步,从乙种型号中选1台,有8种不同的选法; 第三步,从丙种型号中选1台,有12种不同的选法. 根据分步乘法计数原理,不同的选法共有10×8×12= 960种. 题型三 两个计数原理的综合应用 例3 现有高一学生50人,高二学生42人,高三学生30人, 组成冬令营. (1)若从中选1人作总负责人,共有多少种不同的选法? (2)若每年级各选1名负责人,共有多少种不同的选法? (3)若从中推选两人作为中心发言人 , 要求这两人要来自 不同的年级,则有多少种选法? 【解】 (1)从高一选1人作总负责人有50种选法;从高二 选 1 人作总负责人有 42 种选法 ; 从高三选 1 人作总负责人 有 30 种选法.由分类加法计数原理 , 可知共有 50 + 42 + 30=122(种)选法. (2)从高一选1名负责人有50种选法;从高二选1名负责人 有 42 种选法 ; 从高三选 1 名负责人有 30 种选法.由分步 乘法计数原理,可知共有50×42×30=63 000(种)选法. (3) ①高一和高二各选 1 人作中心发言人 , 有 50×42 = 2 100( 种 ) 选法 ; ②高二和高三各选 1 人作中心发言人 , 有 42×30=1 260(种)选法;③高一和高三各选1人作中心发 言人,有50×30=1 500(种)选法.故共有2 100+1 260+ 1 500=4 860(种)选法. 【名师点评】 (1)在处理具体的应用题时 ,首先必须弄 清是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”或“ 分步”的具体标准是什么,选择合理的标准处理事件,可 以避免计数的重复或遗漏. (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又 要运用分步乘法计数原理的问题 ,我们可以恰当地画出 示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰. 跟踪训练 3.某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种 乐器 , 其中 7 人会钢琴 ,3 人会小号 , 从中选出会钢琴与小 号的各1人,有多少种不同的选法? 解 : 由题意可知 , 在艺术小组 9 人中 , 有且仅有 1 人既会钢 琴又会小号

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