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2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略课件:专题5 导数的简单应用


热 点 题 型 · 探 究

专题五

导数的简单应用

专 题 限 时 集 训

题型一| 导数的几何意义

(1)若函数 f(x)=x3+ax2+bx 为奇函数,其图象的一条切线方程为 y =3x-4 2,则 b 的值为________. (2)经过原点(0,0)作函数 f(x)=x3+3x2 图象的切线,则切线方程为________.

(1)-3 (2)y=0 或 9x+4y=0 [(1)由奇函数的定义 f(-x)=-f(x),易得 a ?y0=x3 0+bx0, ? 2 =0, 对函数求导可得: f′(x)=3x2+b, 可设切点(x0, y0), 则有?3x0+b=3, ?y =3x -4 2, ? 0 0 ?y0=- 2, ? 可解得?x0= 2, ? ?b=-3.

即 b 的值为-3.

(2)f′(x)=3x2+6x.当(0,0)为切点时,f′(0)=0,故切线方程为 y=0.
2 3 2 当(0,0)不为切点时,设切点为 P(x0,x3 0+3x0),则切线方程为 y-(x0+3x0)= 3 2 3 2 (3x2 + 6 x )( x - x ) , 又点 (0,0) 在切线上, 所以- x - 3 x =- 3 x - 6 x 解得 x0=0(舍 0 0 0 0 0 0 0,

3 去)或 x0=- ,故切线方程为 9x+4y=0.] 2

【名师点评】 解决函数切线的相关问题,需抓住三个关键点: ?1?切点是曲线与切线的公共点; ?2?在切点处的导数是切线的斜率.因此,解决此类问题,一般要设出切点, 建立关系——方程?组?; ?3? 求曲线的切线要注意 “过点 P 的切线 ”与 “ 在点 P 处的切线 ”的差 异.“过点 P 的切线”中,点 P 不一定是切点,点 P 也不一定在已知曲线上;在 “点 P 处的切线”,点 P 是切点.

a 1.已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 b
3

=________.

1 - [设曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线斜率为 k,则 k=y′|x=1=3.因为直 3 a 1 线 ax-by-2=0 与曲线 y=x 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,所以 =- .] b 3
3

2.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与曲线 y=x2(x>0)和 y=x3(x>0)均相 x1 切,切点分别为 A(x1,y1)和 B(x2,y2),则 的值是________. x2

4 [由题设函数 y=x2 在 A(x1,y1)处的切线方程为:y=2x1x-x2 1, 3
3 函数 y=x3 在 B(x2,y2)处的切线方程为 y=3x2 2x-2x2. 2 ? ?2x1=3x2, 所以? 2 3 ? x = 2 x ? 1 2,

32 8 解得 x1= ,x2= . 27 9

x1 4 所以 = .] x2 3

f′?1? x 1 2 3.曲线 f(x)= · e -f(0)x+ x 在点(1,f(1))处的切线方程为________. e 2

f′?1? 0 f′?1? 1 y=ex- [令 x=0,f(0)= e -f(0)×0+0,所以 f(0)= , 2 e e f′?1? x f′?1? 1 2 从而 f(x)= e- x+ x , e e 2 f′?1? x f′?1? f′(x)= e- +x. e e f′?1? f′?1? 令 x=1 时,f′(1)= · e- +1,f′(1)=e, e e
2 x f(x)=ex-x+ . 2

? 1? 1 1 ? ? f(1)=e- ,则切线为 y-?e-2?=e(x-1),即 y=ex- .] 2 2 ? ?

题型二| 利用导数研究函数的单调性

ax+1 (1)若函数 f(x)= 在 x∈(2, +∞)上单调递减, 则实数 a 的取值 x +2 范围是________. 1 2 (2)函数 y= x -ln x 的单调递减区间为________. 2

?ax+1?′?x+2?-?x+2?′?ax+1? 1 (1)a< (2)(0,1] [(1)对函数求导得: f′(x)= = 2 ?x+2?2 a?x+2?-?ax+1? 2a-1 1 = 2 2,令 f′(x)<0,即 2a-1<0,解得 a< . 2 ?x+2? ?x+2?
2 1 2 1 x -1 ?x-1??x+1? (2)y= x -ln x,y′=x- = = (x>0).令 y′≤0,得 0<x≤1, 2 x x x

∴递减区间为(0,1].]

【名师点评】

1.若求单调区间?或证明单调性?,只需在函数 f?x?的定义域

内解?或证明?不等式 f′?x?>0 或 f′?x?<0 即可. 2.若已知 f?x?的单调性,则转化为不等式 f′?x?≥0 或 f′?x?≤0 在单调区间上恒 成立问题求解.

1.若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)上单调递增,则 k 的取值范围是 ________.
1 1 [1,+∞) [依题意得 f′(x)=k- ≥0 在(1,+∞)上恒成立,即 k≥ 在(1, x x +∞)上恒成立. 1 ∵x>1,∴0< <1, x ∴k≥1.]

? π π? ? - , 2. 已知函数 y=f(x)对任意的 x∈? ? 2 2?满足 f′(x)cos ? ?

x+f(x)sin x>0(其中 f′(x)

是函数 f(x)的导函数),则

? π? ? π? ? ? ? - 2f?-3?________f? ? 4?.(填“>”“<”或“=”) ? ? ? ?

【导学号:91632014】

? π π? f′?x?cos x+f?x?sin x f?x? ? ? < [依题意,记 g(x)= ,则当 x∈?-2,2?时,g′(x)= 2 cos x cos x ? ? ? π? ? π? ? π? π π π π ? ? ? ? ? - >0,函数 g(x)是增函数.又- <- <- < ,因此 g?-3?<g?-4?,即 2f? ? 3?< 2 2 3 4 2 ? ? ? ? ? ? ? π? ? - f? ? 4?, ? ? ? π? ? π? ? ? ? - - 2 f? < f ? 3? ? 4?.] ? ? ? ?

2 3 3.若函数 f(x)= x -2x2+ax+10 在区间[-1,4]上具有单调性,则实数 a 的 3 取值范围是________.

2 3 (-∞,-16]∪[2,+∞) [函数 f(x)= x -2x2+ax+10 在区间[-1,4]上具 3 有单调性,分两种情况:函数 f(x)在区间[-1,4]上单调递增,即 f′(x)=2x2-4x+ a≥0 在[-1,4]上恒成立, 即判别式 Δ=(-4)2-4×2×a≤0, 解得 a≥2; 函数 f(x) 在区间[-1,4]上单调递减,即 f′(x)=2x2-4x+a≤0 在[-1,4]上恒成立,需 f′(4)≤0,解得 a≤-16.于是,实数 a 的取值范围是(-∞,-16]∪[2,+∞).]

题型三| 利用导数研究函数的极值、最值

(1)已知函数 f(x)=x3+3mx2+nx+m2 在 x=-1 时有极值 0, 则 m+ n=________. (2)已知表面积为 12π 的圆柱,当其体积最大时,该圆柱的底面半径与高的 比为________. (3)已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)· (x-a),若 f(x)在 x=a 处取得极大值, 则 a 的取值范围是________.

(1)11

(2)1∶2 (3)(-1,0) [(1)对函数求导得
2

f′(x)=3x

? ?f?-1?=0, +6mx+n,由题意得? ? ?f′?-1?=0,

2 ? ?-1+3m-n+m =0, 即? ? ?3-6m+n=0,

? ?m=1, 解得? ? ?n=3 ? ?m=2, 故? ? ?n=9,

? ?m=2, 或? ? ?n=9,

? ?m=1, 当? ? ?n=3

时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,

m+n=11.

(2)因为 12π=2πrh+2πr2,即 rh+r2=6,所以 V=πr2h=πr(6-r2),0<r< 6. 由 V′=π(6-3r2)=0,得 r= 2.当 0<r< 2时,V′>0;当 2<r< 6时,V′<0,所以 当 r= 2时,V 取极大值,也是最大值,此时 h=2 2,r∶h=1∶2. (3)若 a=0,则 f′(x)=0,函数 f(x)不存在极值; 若 a=-1,则 f′(x)=-(x+1)2≤0, 函数 f(x)不存在极值; 若 a>0,当 x∈(-1,a)时,f′(x)<0,

当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 所以函数 f(x)在 x=a 处取得极小值; 若-1<a<0,当 x∈(-1,a)时,f′(x)>0, 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)<0, 所以函数 f(x)在 x=a 处取得极大值; 若 a<-1,当 x∈(-∞,a)时,f′(x)<0, 当 x∈(a,-1)时,f′(x)>0, 所以函数 f(x)在 x=a 处取得极小值. 所以 a∈(-1,0).]

【名师点评】 利用导数研究函数的极值、最值的注意点: ?1?极值:导函数的零点并不一定就是函数的极值点,因此在求得 f′?x0?=0 后务必验证 x>x0 及 x<x0 时 f′?x?的符号是否相反. ??2?最值:①对含参数的函数解析式求最值时,常常分类讨论,分类的原则 是极值点在给定区间的内部还是外部,从而根据单调性求出最值. ②求极值和最值时,为了直观易懂,常常列出 x 的取值范围与 y 的符号及 y 的单调区间、极值的对应表格.

?1 ? x3 a 2 ? 1.(2016· 南京模拟)若函数 f(x)= - x +x+1 在区间?2,3? ?上有极值点,则 3 2 ? ?

实数 a 的取值范围是________.

? 10? ? ? 2 , ? 3? ? ?

[若函数

?1 ? ? f(x)在区间?2,3? ?上无极值,则当 ? ? ?1 ? ? 2 x∈?2,3? 时, f ′ ( x ) = x -ax+1≤0 ? ? ?

?1 ? ? 2 x∈?2,3? 时, f ′ ( x ) = x - ? ? ?

ax+1≥0 恒成立或当

恒成立.当

?1 ? ? x∈?2,3? ?时, ? ?

? ?1 ? 10? 1 1 ? ? ? ? 2 a=x+ 的值域是?2, 3 ?;当 x∈?2,3?时,f′(x)=x -ax+1≥0,即 a≤x+ 恒成 x x ? ? ? ?

立,a≤2;当 此要使函数

?1 ? ? 2 x∈?2,3? 时, f ′ ( x ) = x -ax+1≤0,即 ? ? ?

1 10 a≥x+ 恒成立,a≥ .因 x 3

?1 ? ? f(x)在?2,3? ?上有极值点,实数 ? ?

a

? 10? ? 的取值范围是?2, 3 ? ?.] ? ?

2. 关于 x 的方程 x3-3x2-a=0 有三个不同的实数解, 则实数 a 的取值范围 是________. 【导学号:91632015】

(-4,0) [由题意知使函数 f(x)=x3-3x2-a 的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可, 又 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令 f′(x)=0, 得 x1=0, x2=2.当 x<0 时, f′(x)>0; 当 0<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时,f′(x)>0,所以当 x=0 时,f(x)取得极大值,即 f(x)极大值=f(0)=-a;当 x=2 时,f(x)取得极小值,即 f(x)极小值=f(2)=-4-a,所
? ?-a>0, 以? ? ?-4-a<0,

解得-4<a<0.]

3. 已知函数 y=x3-3x 在区间[a, a+1](a≥0)上的最大值与最小值的差为 2, 则满足条件的实数 a 的所有值是________.

3-1 或 0 [∵y′=3x2-3=3(x+1)(x-1), ∴函数 y=x3-3x 在(-∞,-1)上递增,在(-1,1)上递减,在(1,+∞)上递 增, ①当 a=0 时,由题意可知 f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(1)=-2, ∴f(0)-f(1)=0-(-2)=2,故 a=0 合题意. ②当 0<a<1 时,1<1+a<2,∴函数在[a,1)上递减,在(1,a+1]上递增, ∴f(x)min=f(1)=-2.由 f(a)=f(a+1)得 3a2+3a-2=0, 33-3 解得 a= . 6

33-3 (ⅰ)当 0≤a< 时,f(x)max=f(a), 6 ∴a3-3a-(-2)=2,解得 a=0 或 3或- 3(舍). 33-3 (ⅱ)当 ≤a<1 时,f(x)max=f(a+1). 6 ∴(a+1)3-3(a+1)-(-2)=2,解得 a= 3-1,符合题意.

③当 a≥1 时,f(x)在[a,a+1]上递增, ∴f(x)min=f(a),f(x)max=f(a+1), ∴(a+1)3-3(a+1)-a3+3a=2, 57-3 解得 a= <1(舍去). 6 综上,a= 3-1 或 0.]


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