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2013年高三数学厦门市3月质检文科试卷


厦门市 2013 届高三质量检测

数学(文科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分为 150 分,考试时间 120 分钟.
1 参考公式:锥体体积公式 V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高. 3

第Ⅰ卷(选择题:共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
2 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | x ? 1 ,那么 CU A 等于

?

?

A. (??, ?1)

B. (?1,1)

C.

??1,1?

D. (1, ??)

2.如图,在边长为 2 的正方形内随机取一个点,则此点在正方形的内切圆内部的概率为 A.

? 4

B.

4 ?? 4

C.

? ?1 4
2

D.

4 ??

?

3.若 x ? R ,则“ x ? 0 ”是“ x ? 2 x ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 4.下列命题正确的是 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(第 2 题图)

A . log0.2 3 ? log0.2 2

B . 0.23 ? 0.22

C . 20.2 ? 30.2

D . 0.23 ? log0.2 3

5.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列条件,能得到 m ? ? 的是 A. ? ? ? , m ? ? C. m ? n, n ? ? B. m ? ? , ? ? ? D. m / / n, n ? ? 输入 n

开始

? 6.将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 个单位,得到函数 y ? g ( x) 6
的图象,则它的一个对称中心是

i ? 1, s ? 1

, 0) 2 6 6 3 7.定义 n ! ? 1? 2 ? ? ? n .右图是求 10! 的程序框图,则在判断框内应
填的条件是 A. i ? 10 B. i ? 10
2

A. ( ?

?

, 0)

B. ( ?

?

, 0)

C. (

?

, 0)

D. (

?



否 输出 s 结束

C. i ? 11

D. i ? 10

s ? s?i

8.已知 F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点,准线与 x 轴的交点为 M ,点 N 在 抛物线上,且 NF ? A. 30
?

i ? i ?1

1 MN ,则 ?FMN 等于 2
C. 60
?

(第 7 题图)
?

B. 45

?

D. 75

1

9.函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 1,
B .2

x ? 1,

?log 2 ( x ? 1), x ? 1

的零点个数为

A .1

C .3

D .4

10.式子 ? (a, b, c) 满足 ? (a, b, c) ? ? (b, c, a) ? ? (c, a, b) ,则称 ? (a, b, c) 为轮换对称式.给出如下三个 式子:① ? (a, b, c) ? abc ;② ? (a, b, c) ? a2 ? b2 ? c2 ; ③ ? ( A, B, C) ? cos C ? cos( A ? B) ? cos2 C ( A, B, C 是 ?ABC 的内角) .其中,为轮换对称式的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3
?

11.如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中 , ?ABC ? 60 ,对角线相交于点 O , P 是线 段 BD 的一个三等分点,则 AP ? AC 等于 A.

??? ??? ? ?
3

1

B. 2

C.

D. 4

12.对于函数 f ?x ? ,若存在区间 ?m, n ? ,使 x ? ?m, n? 时, f ? x ? ??km, kn? (k ? N*) ,则称区间 ?m, n ? 为 函数 f ?x ? 的“ k 倍区间” .已知函数 f ?x? ? x ? sin x ,则 f ?x ? 的“5 倍区间”的个数是
3

A.0

B.1

C.2

D.3

第Ⅱ卷(非选择题:共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.设 i 为虚数单位,则复数

2?i = 1 ? 2i



14.焦点在 x 轴上,渐近线方程为 y ? ? 3x 的双曲线的离心率为



15.已知△ ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若△ ABC 的面积为

3 3 ? , a ? 3, B ? ,则 4 3

b?
16.给出下列命题: ①y?



x2 ? 3 x2 ? 2

的最小值是 2;

② 若a ? b, 则
2

1 1 ? 成立的充要条件是ab ? 0 ; a b

③若不等式 x ? ax ? 4 ? 0 对任意 x ? (?1,1) 恒成立,则 a 的取值范围为 (?3,3) . 真命题的序号是 .(写出所有正确命题的序号)

2

三、解答题:本大题共6小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应 题目的答题区域内作答. 17. (本小题满分 12 分) 为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况, 对他们的 7 次数学测试成绩(满分 100 分)进行统计,作出 如下的茎叶图,其中 x, y 处的数字模糊不清.已知甲同学成绩的中位数是 83,乙同学成绩的平均分是 86 分. (Ⅰ)求 x 和 y 的值; (Ⅱ)现从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份进行分析,求恰抽到一份甲同学试卷的概率.





6 3 7 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

7 8 9

8 3 0 3

x 1
2 3

y

?

(Ⅰ)求 f ( x ) 在 [0, 2? ] 上的单调递增区间;

) ? 3 cos( x ? ) . 3 3

?

1 6

(第 17 题图)

(Ⅱ)设函数 g ( x) ? (1 ? sin x) f ( x) ,求 g ( x) 的值域.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥底面 ABC , D, E 分别是 线段 BC , PD 的中点. (Ⅰ)若 AP ? AB ? AC ? 2 , BC ? 2 3 ,求三棱锥 P ? ABC 的体积; (Ⅱ)若点 F 在线段 AB 上,且 AF ?

1 AB ,证明:直线 EF ∥平面 PAC . 4

3

20. (本小题满分 12 分) 设直线 l : y ? 5 x ? 4 是曲线 C : f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 2 x ? m 的一条切线, g ( x) ? ax2 ? 2x ? 23 . 3

(Ⅰ)求切点坐标及 m 的值; (Ⅱ)当 m ? Z 时,存在 x ? [0, ??) 使f ( x) ? g ( x)成立 ,求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 某校高一学生 1000 人,每周一次同时在两个可容纳 600 人的会议室,开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏” 的校本课程.要求每个学生都参加,要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为 m ? 400 ? m ? 600? ,其 余的人听“美术鉴赏”课;从第二次起,学生可从两个课中自由选择.据往届经验,凡是这一次选择 “音乐欣赏”的学生,下一次会有 20﹪改选“美术鉴赏” ,而选“美术鉴赏”的学生,下次会有 30﹪ 改选“音乐欣赏” ,用 a n , bn 分别表示在第 n 次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数. (Ⅰ)若 m ? 500 ,分别求出第二次,第三次选“音乐欣赏”课的人数 a2 , a3 ; (Ⅱ)(ⅰ)证明数列 ?an ? 600 是等比数列,并用 n 表示 an ; ? (ⅱ)若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过 5800,求 m 的取值范围.

22. (本小题满分 14分) 已知圆 O : x ? y ? 34 ,椭圆 C :
2 2

x2 y 2 ? ?1. 25 9

(Ⅰ)若点 P 在圆 O 上,线段 OP 的垂直平分线经过椭圆的右焦点,求点 P 的横坐标; (Ⅱ)现有如下真命题:

x2 y 2 ? ? 1 的两条切线, 则这两条切线互相垂直” ; 52 32 x2 y 2 2 2 2 2 “过圆 x ? y ? 4 ? 7 上任意一点 Q(m.n) 作椭圆 2 ? 2 ? 1 的两条切线, 则这两条切线互相垂直” . 4 7
“过圆 x ? y ? 5 ? 3 上任意一点 Q(m.n) 作椭圆
2 2 2 2

据此,写出一般结论,并加以证明.

4

厦门市 2013 届高三质量检查

数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1—6:BAADDC 7—12: BCCCBD 12.提示:先证明函数 f ?x? ? x 3 ? sin x 在 R 上是增函数,再确定方程 x ? sin x ? 5x 有三个不等根,
3

得 f ( x ) 有三个“5 倍区间” . 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答. 13. i 14. 2 15.

7

16. ②

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. 本题主要考查茎叶图,样本的数字特征,古典概型,考查数据处理能力和运算求解能力,考查或然与 必然的数学思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)? 甲同学成绩的中位数是 83, ?????????????????? 3 分 ? x ? 3, ? 乙同学的平均分是 86 分,

1 ? (78 ? 83 ? 83 ? 80 ? y ? 90 ? 91 ? 96) ? 86 , 7

? y ? 1.

???????????????????? 6 分

(Ⅱ)甲同学成绩在[90,100]之间的试卷有二份,分别记为 a1 , a2 , 乙同学成绩在[90,100]之间的试卷有三份,分别记为 b1 , b2 , b3 , “从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为:

? a1, a2 ? , ? a1, b1 ? ,? a1 , b2 ? ,? a1, b3 ? ,? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? ,? a2 , b3 ? ,?b1, b2 ? ,?b1, b3 ? ,?b2 , b3 ? ,
共有 10 种情况, ????????????????? 9 分 记“从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份,恰抽到一份甲同学试卷”为事件 M ,则 事件 M 包含的基本事件为:

? a1, b1 ? , ? a1 , b2 ? , ? a1, b3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? ,共有 6 种情况??11 分
则 P( M ) ?

6 3 ? , 10 5

答:从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份进行分析,恰抽到一份甲同学试卷的概率为

3 . ??????????????????????????12 分 5
18. 本题主要考查三角函数的恒等变换, 三角函数的基本性质, 考查运算求解的能力, 化归与转化的思想. 满 分 12 分. 解:(Ⅰ) f ( x) ? 2sin( x ?

?

? ) ? 2sin x ,???????????????2 分 3 3

?

?函数y ? sin x的单调递增区间是[2k? -

, 2k? + ](k ? Z ) , ??????4 分 2 2 ? 3? ? f ( x)在[0, 2? ]上的单调递增区间为[0, ],[ , 2? ] ; ?????????6 分 2 2
5

?

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得, g ( x) ? 2(1 ? sin x)sin x ? 2sin 2 x ? 2sin x , 设 t ? sin x ,当 x ? R 时, t ? [?1,1] ,

???7 分

1 , ????????????????????9 分 2 1 由二次函数的单调性可知, h (t ) min ? ? , 2
则 h(t ) ? 2t ? 2t ? 2(t ? ) ?
2 2

1 2

又? h(?1) ? 0, h(1) ? 4, ? h(t )max ? 4 , ??????????????????11 分 则函数 g ( x) 的值域为 [? , 4] . ?????????????????????12 分 19. 本题主要考查直线与平面的位置关系、棱锥体积计算,考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解 能力,考查化归与转化思想、数形结合思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中, AB ? AC ? 2 , BC ? 2 3

1 2

? 点 D 是 线段 BC 的中点 ? AD⊥ BC ? AD ? 1 1 ? S ?ABC ? ? 2 3 ?1 ? 3 , ???????3 分 2 ? PA ⊥底面 ABC ,
1 1 2 3 .??6 分 ? VP ? ABC ? ? S?ABC ? PA ? ? 3 ? 2 ? 3 3 3
(Ⅱ)法一:取 CD 的中点 H,连接 FH,EH, ∵E 为线段 PD 的中点,∴△PDC 中,EH∥PC, ∵EH ? 平面 PAC ,PC ? 平面 PAC , ∴EH∥平面 PAC , ????????8 分

1 AB ,∴△ABC 中,FH∥AC, 4 ∵FH ? 平面 PAC ,AC ? 平面 PAC , ∴FH∥平面 PAC , ???????????10 分 ? FH ? EH=H,? 平面 EHF∥平面 PAC ,???11 分 ???12 分 ? EF ? 平面 EHF,? EF ∥平面 PAC .
∵ AF ? 法二:分别取 AD,AB 的中点 M,N,连结 EM,MF,DN, ? 点 E 、M 是分别是 线段 PD 、AD 的中点,? EM∥PA, ? EM ? 平面 PAC ,PA ? 平面 PAC , ? EM∥平面 PAC ,?????????????8 分

1 1 AB , AF ? AB ,? 点 F 是线段 AN 的中点, 2 4 ? 在 ?ADN 中,AF=FN,AM=MD,? MF∥DN, ? 在 ?ABC 中,AN=NB,CD=DB,? DN∥AC,? MF∥AC, ? MF ? 平面 PAC ,AC ? 平面 PAC , ? MF∥平面 PAC , ????10 分 ??????????11 分 ? EM ? MF=M ,? 平面 EMF∥平面 PAC , ????????????12 分 ? EF ? 平面 EMF,? EF ∥平面 PAC .

? AN ?

6

20.本题主要考查函数的单调性,最值,切线,含参数的不等式成立问题,考查运算求解的能力,考查函数与 方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法.满分 12 分. (Ⅰ)解:设直线 l 与曲线 C 相切于点 P( x0 , y0 ) ,

? f ?( x) ? x2 ? 2x ? 2 , ? x02 ? 2 x0 ? 2 ? 5 , 解得 x0 ? ?1 或 x0 ? 3 ,?????????????2 分
当 x0 ? ?1 时, y0 ? ?1 ,? P(?1, ?1) 在曲线 C 上,∴ m ? 当 x0 ? 3 时, y0 ? 19 ,? P(3,19) 在曲线 C 上,∴ m ? 13 , 切点 P(?1, ?1) , m ?

7 , 3

7 , 3

?????????????????4 分 ?????????????????6 分

切点 P(3,19) , m ? 13 . (Ⅱ)解法一:∵ m ? Z ,∴ m ? 13 , 设 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?

1 3 x ? (1 ? a ) x 2 ? 36 , 3

若存在 x ? [0, ??) 使f ( x) ? g ( x)成立 ,则只要 h( x)min ? 0 , ?????8 分

h?( x) ? x2 ? 2(1 ? a) x ? x ? x ? 2(1 ? a)? ,
(ⅰ)若 1 ? a ? 0 即 a ? ?1 ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 2(1 ? a)或x ? 0 ,

? x ?[ 0 ,? ? ,∴ h( x) 在 (2(1 ? a), ??) 上是增函数, )
令 h?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 2(1 ? a) ,? h( x) 在 [0, 2(1 ? a)] 上是减函数,

? h( x)min ? h(2(1 ? a)) , 令h(2(1 ? a)) ? 0 ,
解得 a ? 2 ,?????????????????????????10 分 (ⅱ)若 1 ? a ? 0 即 a ? ?1 ,令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? 2(1 ? a)或x ? 0 ,

? x ?[0, ??) , ∴ h( x) 在 (0, ??) 上是增函数,

? h( x)min ? h(0),

令h( 0 ) ,不等式无解,? a 不存在, ????11 分 ? 0

综合(ⅰ) (ⅱ)得,实数 a 的取值范围为 [2, ??) .?????????12 分 解法二:由 f ( x) ? g ( x) 得 ax ?
2

1 3 x ? x 2 ? 36 , 3

(ⅰ)当 x ? 0 时, a ?

1 36 1 36 x ? 2 ? 1 ,设 h( x) ? x ? 2 ? 1 3 x 3 x

若存在 x ? [0, ??) 使f ( x) ? g ( x)成立 ,则只要 h( x)min ? a , ??8 分

1 72 x3 ? 63 ?( x) ? ? 3 ? h , 3 x 3x3
令 h?( x) ? 0 解得 x ? 6 ? h( x) 在 [6 ? ?) 上是增函数,
7

令 h?( x) ? 0 ,解得? 0 ? x ? 6 ? h( x) 在 (0, 6) 上是减函数,

? h( x)min ? h(6) ? 2 ,? a ? 2 ,
(ⅱ)当 x ? 0 时,不等式 ax ?
2

???????????10 分

1 3 x ? x 2 ? 36 不成立, 3

∴ a 不存在, ???????????????????????11 分 综合(ⅰ) (ⅱ)得,实数 a 的取值范围为 [2, ??) . ??????12 分

21. 本题主要考查数列的概念,等比数列的定义,数列求和,考查运算求解的能力,应用意识,考查特殊 与一般的思想,分类与整合的思想. 满分 12 分. 解:(Ⅰ)由已知 an ? bn ? 1000,又 a1 ? 500 ,?b1 ? 500, ????????1 分 ∴ a2 ? 0.8a1 ? 0.3b1 ? 550,???????????????????2 分 ∴ b2 ? 450 , ∴ a3 ? 0.8a2 ? 0.3b2 ? 440? 135 ? 575.??????????????4 分 (Ⅱ)(ⅰ)由题意得 an?1 ? 0.8an ? 0.3bn ,

? an?1 ? 0.8an ? 0.3?1000? an ? ? 0.5an ? 300,????????5 分
? a n ?1 ? 600 ? 1 ?a n ? 600 ? ,---------------------------------6 分 2

?m? ? 400,600? ,? a1 ? 600 ? 0 ,
? 数列 ?an ? 600?是等比数列,-------------------------------7 分
?1? ? an ? 600 ? ?m ? 600? ? ? ? ?2?
n ?1


n ?1

?1? 得 an ? 600? ?m ? 600? ? ? ? ? 2?

-----------------------------8 分

(ⅱ)前十次听“音乐欣赏”课的学生总人次即为数列 ?an ? 的前 10 项和 S10 ,

1? 1023 ? 1 ,?10 分 S10 ? 6000 ? ? m ? 600 ? ? ?1 ? ? ? ? 9 ? ? 6000 ? ? m ? 600 ? ? 2 ? 512 ? 2
由已知, S10 ? 5800, 得 600 ? ?m ? 600 ? ?

1023 1023 ? 580 ? 20 ? ?600 ? m ? ? , 5120 5120
8

? 600 ? m ?

20 ? 5120 1023

,? m ? 600 ? 100 .1 ,???????11 分

? m ? N * ,∴ m 的取值范围是 400 ? m ? 499 ,且 m ? N * .??12 分
22. 本题考查直线,圆,椭圆等基础知识,考查运算求解能力,类比、探究归纳能力,考查数形结合思想, 化归与转化思想.满分 14 分. 解法一: (Ⅰ)设点 P( x0 , y0 ) ,则 x02 ? y02 ? 34 , (1) ????????1 分

设线段 OP 的垂直平分线与 OP 相交于点 M ,则 M (

x0 y0 , ) ,??2 分 2 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F (4, 0) , ??????3 分 椭圆 C : 25 9
Q MF ? OP ,? kOP ? kMF

y0 y0 2 ? 0 ? ? ?1 , ? ?1 ,? x0 x0 ? 4 2

? y02 ? x02 ? 8x0 ? 0 , (2)??????????4 分
由(1)(2) , ,解得 x0 ? (Ⅱ)一般结论为: “过圆 x2 ? y 2 ? a2 ? b2 上任意一点 Q(m, n) 作椭圆 垂直. ”????????????6 分 证明如下: (ⅰ)当过点 Q 与椭圆

17 17 ,? 点 P 的横坐标为 .?5 分 4 4

x2 y 2 ? ? 1 的两条切线,则这两条切线互相 a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 相切的一条切线的斜率 a 2 b2

不存在时,此时切线方程为 x ? ? a ,

Q 点 Q 在圆 x2 ? y2 ? a2 ? b2 上 ,? Q(?a, ?b) ,
? 直线 y ? ?b 恰好为过点 Q 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 相切的另一条切线, a 2 b2

? 两切线互相垂直.????????????????7 分
(ⅱ)当过点 Q(m, n) 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 相切的切线的斜率存在时, a 2 b2

可设切线方程为 y ? n ? k ( x ? m) ,

? x2 y 2 ? 1, 2 ? ? 2 2 2 2 2 由 ? a 2 b2 得 b x ? a ? k ( x ? m) ? n ? ? a b ? 0 , ? y ? n ? k ( x ? m), ?
9

整理得 (b2 ? a2k 2 ) x2 ? 2a2k ? n ? km? x ? a2 (n ? km)2 ? a2b2 ? 0 ,?9 分

Q 直线与椭圆相切,
? ? ? 4a4k 2 (n ? km)2 ? 4(b2 ? a2k 2 )[a2 (n ? km)2 ? a2b2 ] ? 0 ,
2 2 2 2 2 整理得 m ? a k ? 2mnk ? n ? b ? 0 ,?????????11 分

?

?

?

?

? k1k2 ?

n2 ? b2 , m2 ? a 2

?????????????????? 12 分

? 点 Q(m, n) 在圆 x2 ? y 2 ? a2 ? b2 上,? m2 ? n2 ? a 2 ? b2 ,??13 分 ? m2 ? a 2 ? b2 ? n2 ,? k1k2 ? ?1,? 两切线互相垂直,
综上所述,命题成立.???????????????????14 分 解法二: (Ⅰ)设点 P( x0 , y0 ) ,则 x02 ? y02 ? 34 , (1)???????????1 分 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F (4, 0) ,????????????2 分 25 9

Q 点 F 在线段 OP 的垂直平分线上, ? PF ? OF ,
? ( x0 ? 4)2 ? ( y0 ? 0)2 ? 42 , ? x02 ? 8x0 ? y02 ? 0 , (2)??4 分
由(1)(2) , ,解得 x0 ? (Ⅱ)同解法一.

17 17 , ? 点 P 的横坐标为 .?????5 分 4 4

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