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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第3章 第3节 导数的综合应用与实际应用


第三章

第三节

一、选择题 1.(文)正三棱柱体积为 V,则其表面积最小时,底面边长为( 3 A. V 3 C . 4V [答案] C [解析] 设正三棱柱底面边长为 a,高为 h,则体积 V= a2+3ah= 3 2 4 3V a+ , 2 a 3 2 4V 3 a h,∴h= ,表面积 S= 4 2 3a2 3 B. 2V 3 D.2 V )

4 3V 3 由 S′= 3a- 2 =0,得 a= 4V,故选 C. a (理)在内接于半径为 R 的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长为( R 3 A. 和 R 2 2 4 7 C. R 和 R 5 5 [答案] B [解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为 x, 则另一边长为 2 R2-x2, 则 l=2x+4 R2-x2 (0<x<R), l′=2- 当 0<x< 4x 5 2 2,令 l′=0,解得 x= 5 R. R -x 5 5 R 时,l′>0;当 R<x<R 时,l′<0. 5 5 5 5 4 5 R 时,l 取最大值,即周长最大的矩形的边长为 R, R. 5 5 5 B. 5 4 5 R和 R 5 5 )

D.以上都不对

所以当 x=

2. (文)(2014· 山西省考前适应性训练)若商品的年利润 y(万元)与年产量 x(百万件)的函数关 系式:y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为( A.1 百万件 C.3 百万件 [答案] C [解析] 由 y′=-3x2+27=0 得 x=± 3, ∵x>0,∴x=3. B.2 百万件 D.4 百万件 )

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当 0<x<3 时,y′>0,当 x>3 时,y′<0,∴x=3 是函数的极大值点,由实际问题的实际 意义知 x=3 为函数的最大值点,故选 C. (理)某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, 1 ? ?400x-2x2,0≤x≤400, 已知总收益 R 与产量 x 的关系是 R=? 则总利润最大时,每年生产 ?80000, ? x>400. 的产品产量是( A.100 C.200 [答案] D [解析]
2

) B.150 D.300

由 题 意 , 总 成 本 为 C = 20000 + 100x. 所 以 总 利 润 为 P = R - C =

x ? ?300x- 2 -20000,0≤x≤400, ? ? ?60000-100x,x>400,
? ?300-x,0≤x≤400, P′=? ?-100,x>400. ?

令 P′=0,得 x=300,易知当 x=300 时,总利润最大. 3.(文)做一个圆柱形锅炉,容积为 V,两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元,侧面 的材料每单位面积的价格为 b 元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为( a A. b b C. a [答案] C [解析] 如图,设圆柱的底面半径为 R,高为 h,则 V=πR2h. V 2bV 设造价为 y,则 y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb· 2=2πaR2+ , πR R 2bV ∴y′=4πaR- 2 . R 2R b 令 y′=0 并将 V=πR2h 代入解得, = . h a (理)(2014· 石家庄模拟)已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上,当正六棱 柱的体积最大时,其高的值为( A.3 3 C .2 6 [答案] D [解析] 设正六棱柱底面边长为 a,高为 2h,
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)

a B. b

2

b2 D. a

) B. 3 D.2 3

3 3 2 3 3a3 则 h= 9-a2,V 六棱柱= a· 2 9-a2=3 3a2 9-a2,V′=6 3a 9-a2- , 2 9-a2 令 V′=0,解得 a= 6. ∴h= 3,∴六棱柱的高为 2 3. 4.(文)内接于半径为 R 的球并且体积最大的圆锥的高为( A.R 4 C. R 3 [答案] C [解析] 设圆锥的高为 h,底面半径为 r,则 R2=(h-R)2+r2,∴r2=2Rh-h2, 1 π 2 π ∴V= πr2h= h(2Rh-h2)= πRh2- h3, 3 3 3 3 4 4 V′= πRh-πh2,令 V′=0 得 h= R. 3 3 (理)要制作一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为( A. 3 cm 3 10 3 B. cm 3 20 3 D. cm 3 ) B.2R 3 D. R 4 )

16 3 C. cm 3 [答案] D

[解析] 设圆锥的高为 x,则底面半径为 202-x2, 1 其体积为 V= πx(400-x2) (0<x<20), 3 1 20 3 V′= π(400-3x2),令 V′=0,解得 x= . 3 3 20 3 20 3 当 0<x< 时,V′>0;当 <x<20 时,V′<0, 3 3 20 3 所以当 x= 时,V 取最大值. 3 3 5 . (2014· 浙江省名校联考 ) 设函数 ht(x) = 3tx - 2t ,若有且仅有一个正实数 x0 ,使得 2 h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数 t 都成立,则 x0=( A.5 C .3 [答案] D [分析] “有且仅有一个正实数 x0, 使得 h7(x0)≥ht(x0), 对 t>0 都成立”, 即对变量 t, ht(x0) 的最大值≤h7(x0). [解析] ∵h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数 t 都成立,
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) B. 5 D. 7

3 1 ∴h7(x0)≥ht(x0)max.记 g(t)=ht(x0)=3tx0-2t ,则 g′(t)=3x0-3t ,令 g′(t)=0,得 t=x2 0, 2 2
3 3 易得 ht(x0)max=g(x2 0)=x0,∴21x0-14 7≥x0,将选项代入检验可知选 D.

6.(文)(2014· 山西大同诊断)设 D 是函数 y=f(x)定义域内的一个区间,若存在 x0∈D,使 5 f(x0)=-x0,则称 x0 是 f(x)的一个“次不动点”.若函数 f(x)=ax2-3x-a+ 在区间[1,4]上存 2 在次不动点,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,0) 1 C.[ ,+∞) 2 [答案] D 5 [解析] 设 g(x)=f(x)+x,依题意,存在 x∈[1,4],使 g(x)=f(x)+x=ax2-2x-a+ =0. 2 4x-5 4x-5 1 5 当 x=1 时,g(1)= ≠0;当 x≠1 时,由 ax2-2x-a+ =0 得 a= 2 .记 h(x)= 2 2 2 2?x -1? 2?x -1? -2x2+5x-2 1 (1<x≤4),则由 h′(x)= =0 得 x=2 或 x= (舍去).当 x∈(1,2)时,h′(x)>0;当 2 ?x2-1?2 x∈(2,4)时,h′(x)<0,即函数 h(x)在(1,2)上是增函数,在(2,4)上是减函数,因此当 x=2 时, 1 1 h(x)取得最大值,最大值是 h(2)= ,故满足题意的实数 a 的取值范围是(-∞, ],选 D. 2 2 1 (理)(2014· 湖北宜昌模拟)已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax(a> ),当 x 2 ∈(-2,0)时,f(x)的最小值为 1,则 a 的值等于( 1 A. 4 1 C. 2 [答案] D [解析] x∈(-2,0)时,-x∈(0,2), ∴f(-x)=ln(-x)+ax, ∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-ln(-x)-ax, 1 1 ∴f ′(x)=- -a,由 f ′(x)=0 得 x=- . x a 1 1 当 0>x>- 时,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当-2<x<- 时,f ′(x)<0,f(x)单调递减. a a 1 1 由题设知 f(- )=-ln +1=1,∴a=1,故选 D. a a 二、填空题 7.(2013· 开封第一次模拟)已知函数 f(x)=x3-ax2+bx+3(a,b∈R),若函数 f(x)在[0,1]上
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) 1 B.(0, ) 2 1 D.(-∞, ] 2

) 1 B. 3 D.1

单调递减,则 a2+b2 的最小值为________. [答案] 9 5

[解析] 依题意,当 x∈[0,1]时, f ′(x)=3x2-2ax+b≤0,即
?f ′?0?=b≤0 ? ? , 在坐标平面内画出该不等式组表示的平面 ?f ′?1?=3-2a+b≤0 ?

区域,如图所示,结合图形不难得知,该平面区域内的点(a,b)与原点 的距离的平方即为 a2+b2,其最小值等于原点到直线 3-2a+b=0 的距 9 离的平方,即等于 . 5 8. (文)用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架, 要求长方体的长与宽之比为 2∶1, 该长方体的最大体积是________. [答案] 3m3 9 9 3 ? [解析] 设长方体的宽为 x,则长为 2x,高为 -3x (0<x< ),故体积为 V=2x2? ?2-3x?= 2 2 -6x3+9x2, V′=-18x2+18x,令 V′=0 得,x=0 或 1, 3 ∵0<x< ,∴x=1. 2 ∴该长方体的长、宽、高各为 2m、1m、1.5m 时,体积最大,最大体积 Vmax=3m3. (理)用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架, 如果所制作容器的底面的一边比 另一边长 0.5m,那么容器的容积最大时,容器的高为________. [答案] 1.2m [解析] 设容器的短边长为 xm, 则另一边长为(x+0.5)m, 14.8-4x-4?x+0.5? 高为 =3.2-2x. 4 由 3.2-2x>0 和 x>0,得 0<x<1.6, 设容器的容积为 ym3, 则有 y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6), 整理得 y=-2x3+2.2x2+1.6x, ∴y′=-6x2+4.4x+1.6, 令 y′=0,有-6x2+4.4x+1.6=0,即 15x2-11x-4=0, 4 解得 x1=1,x2=- (不合题意,舍去), 15

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∴高为 3.2-2=1.2,容积 V=1×1.5×1.2=1.8, ∴高为 1.2m 时容积最大. 1 9.(文)若函数 f(x)=lnx- ax2-2x 存在单调递减区间,则实数 a 的取值范围是________. 2 [答案] (-1,+∞) [分析] 函数 f(x)存在单调减区间,就是不等式 f ′(x)<0 有实数解,考虑到函数的定义域 为(0,+∞),所以本题就是求 f ′(x)<0 在(0,+∞)上有实数解时 a 的取值范围. 1-ax2-2x 1 [解析] 解法 1:f ′(x)= -ax-2= ,由题意知 f ′(x)<0 有实数解,∵x>0, x x ∴ax2+2x-1>0 有实数解.当 a≥0 时,显然满足;当 a<0 时,只要 Δ=4+4a>0,∴-1<a<0, 综上知 a>-1. 1-ax -2x 1 解法 2:f ′(x)= -ax-2= , x x 由题意可知 f ′(x)<0 在(0,+∞)内有实数解. 即 1-ax2-2x<0 在(0,+∞)内有实数解. 1 2 即 a> 2- 在(0,+∞)内有实数解. x x 1 2 1 ∵x∈(0,+∞)时, 2- =( -1)2-1≥-1,∴a>-1. x x x (理)对于三次函数 y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设 f ′(x)是函数 y=f(x)的导数, f ″(x)是 f ′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐 点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称 1 1 5 中心,且“拐点”就是对称中心.若 f(x)= x3- x2+3x- ,根据这一发现可得: 3 2 12 1 1 5 (1)函数 f(x)= x3- x2+3x- 的对称中心为________; 3 2 12 1 2 3 4 2013 (2)计算 f( )+f( )+f( )+f( )+?+f( )=________. 2014 2014 2014 2014 2014 1 [答案] (1)( ,1) (2)2013 2 1 1 1 13 1 12 [解析] (1)f ′(x)=x2-x+3, f″(x)=2x-1, 由 2x-1=0 得 x= , f( )= ×( ) - ×( ) 2 2 3 2 2 2 1 5 1 +3× - =1,由拐点的定义知 f(x)的拐点即对称中心为( ,1). 2 12 2 2014-k k k k (2)f( )+f(1- )=f( )+f( )=2(k=1,2,?,1007), 2014 2014 2014 2014 1 2 2013 1 2013 2 2012 1006 ∴f( )+f( )+?+f( )=[f( )+f( )]+[f( )+f( )]+?+[f( )+ 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 1008 1007 f( )]+f( )=2×1006+1=2013. 2014 2014
2

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三、解答题 10.(2013· 湖南雅礼中学一模)某工厂生产某种儿童玩具,每件玩具的成本价为 30 元,并 且每件玩具的加工费为 t 元(其中 t 为常数,且 2≤t≤5),设该工厂每件玩具的出厂价为 x 元 (35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与 ex(e 为自然对数的底数)成反比例,当每件玩具的出 厂价为 40 元时,日销售量为 10 件. (1)求该工厂的日利润 y(元)与每件玩具的出厂价 x 元的函数关系式; (2)当每件玩具的日售价为多少元时,该工厂的利润 y 最大,并求 y 的最大值. k k [解析] (1)设日销售量为 x,则 40=10,∴k=10e40, e e 10e40 10e40 则日销售量为 x 件,∴日利润 y=(x-30-t)· x . e e 10e40?x-30-t? ∴y= (35≤x≤41). ex 10e40?31+t-x? (2)y′= ,令 y′=0 得 x=31+t. ex ①当 2≤t≤4 时,33≤31+t≤35, ∴当 35≤x≤41 时,y′≤0. ∴当 x=35 时,y 取最大值,最大值为 10(5-t)e5. ②当 4<t≤5 时,35<t+31≤36,函数 y 在[35,t+31]上单调递增,在[t+31,41]上单调递 减. ∴当 x=t+31 时,y 取最大值 10e9 t.


∴当 2≤t≤4,x=35 时,日利润最大值为 10(5-t)e5 元; 当 4<t≤5,x=31+t 时,日利润最大值为 10e9 t 元.


一、解答题 11.(文)某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本 20 元,并且每公斤蘑菇的加工 费为 t 元(t 为常数,且 2≤t≤5),设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 x 元(25≤x≤40),根据市 场调查,日销售量 q 与 ex 成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元时,销售量为 100kg.(每日利 润=日销售量×(每公斤出厂价-成本价-加工费)). (1)求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式; (2)若 t=5,当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少元时,该工厂的利润 y 最大,并求最大值. k k [解析] (1)设日销售量 q= x,则 30=100,∴k=100e30, e e 100e30 ∴日销售量 q= x , e

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100e30?x-20-t? ∴y= (25≤x≤40). ex 100e30?x-25? 100e30?26-x? (2)当 t=5 时,y= ,y′= . x e ex 由 y′≥0 得 x≤26,由 y′≤0 得 x≥26, ∴y 在[25,26]上单调递增,在[26,40]上单调递减, ∴当 x=26 时,ymax=100e4. 当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时,该工厂的利润最大,最大值为 100e4 元. (理)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某 幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年 k 的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10), 3x+5 若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费 用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. [解析] (1)设隔热层厚度为 xcm,由题设知, 每年能源消耗费用为 C(x)= k . 3x+5 40 . 3x+5

再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 又建造费用为 C1(x)=6x.

最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为, f(x)=20C(x)+C1(x)=20× = 800 +6x(0≤x≤10). 3x+5 40 +6x 3x+5

2400 (2)f ′(x)=6- , ?3x+5?2 令 f ′(x)=0, 即 2400 25 (舍去). 2=6.解得 x=5,或 x=- 3 ?3x+5?

当 0<x<5 时,f ′(x)<0,当 5<x<10 时,f ′(x)>0, 800 故 x=5 是 f(x)的最小值点,对应的最小值为 f(5)=6×5+ =70. 15+5 当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元. 12.(文)(2014· 希望高中月考)设函数 y=x2-2x+2 的图象为 C1,函数 y=-x2+ax+b 的 图象为 C2,已知过 C1 与 C2 的一个交点的两切线互相垂直.
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(1)求 a,b 之间的关系; (2)求 ab 的最大值. [解析] (1)对于 C1:y=x2-2x+2,有 y′=2x-2, 对于 C2:y=-x2+ax+b,有 y′=-2x+a, 设 C1 与 C2 的一个交点为(x0,y0), 由题意知过交点(x0,y0)的两切线互相垂直. ∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1, 即 4x2 0-2(a+2)x0+2a-1=0① 又点(x0,y0)在 C1 与 C2 上,
2 ? ?y0=x0-2x0+2 故有? 2 ?y0=-x0+ax0+b ?

?2x2 0-(a+2)x0+2-b=0② 5 由①②消去 x0,可得 a+b= . 2 5 (2)由(1)知:b= -a, 2 5 5 25 ∴ab=a( -a)=-(a- )2+ . 2 4 16 5 25 ∴当 a= 时,(ab)最大值= . 4 16 a (理)(2013· 洛阳统考)已知函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x3-x2-x-1. 2x (1)如果存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)-g(x2)≥M,求满足该不等式的最大整数 M; 1 (2)如果对任意的 s,t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围. 3 [解析] (1)存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)-g(x2)≥M?x1,x2∈[0,2],[g(x1)-g(x2)]max≥M. ∵g′(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), ∴当 0<x<1 时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当 1<x<2 时,g′(x)>0,g(x)单调递增, ∴g(x)max=max{g(0),g(2)}=g(2)=1,g(x)min=g(1)=-2, ∴[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min=3,满足不等式的最大整数 M=3. 1 1 (2)由(1)知, 当 x∈[ , 2]时, g(x)max=g(2)=1, 依题意, 对任意的 s, t∈[ , 2]都有 f(s)≥g(t) 3 3 1 a 成立?当 x∈[ ,2]时,f(x)= +xlnx≥1 恒成立. 3 2x a 则有 f(1)= ≥1,∴a≥2. 2 1 a 1 当 a≥2 且 x∈[ ,2]时,f(x)= +xlnx≥ +xlnx. 3 2x x

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1 1 记 h(x)= +xlnx,∴h′(x)=- 2+lnx+1,且 h′(1)=0. x x 1 1 当 x∈( ,1)时,h′(x)=- 2+lnx+1<0, 3 x 1 当 x∈(1,2)时,h′(x)=- 2+lnx+1>0, x 1 1 ∴h(x)= +xlnx 在( ,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增, x 3 ∴h(x)min=h(1)=1,即 h(x)≥1, ∴当 a≥2 时原不等式成立. ∴a 的取值范围是[2,+∞). 13.(文)甲乙两地相距 400km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 100km/h,已 知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 v(km/h)的函数关系是 P= (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式; (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值. [解析] (0<v≤100). v2 (2)Q′= -5v,令 Q′=0 得,v=80, 16 2000 ∴当 v=80km/h 时,全程运输成本取得最小值,最小值为 元. 3 (理)(2014· 江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半径为 1m,长为 10m,将此圆木沿轴 所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面 为等腰梯形 ABCD(如图所示,其中 O 为圆心,C,D 在半圆上),设∠BOC=θ,木梁的体积为 V(单位:m3),表面积为 S(单位:m2).
3 2 400 400P v 5v (1)汽车从甲地到乙地需用 v h,故全程运输成本为 Q= v = - +6000 48 2

1 1 v4- v3+15v. 19200 160

(1)求 V 关于 θ 的函数表达式. (2)求 θ 的值,使体积 V 最大. (3)问当木梁的体积 V 最大时,其表面积 S 是否也最大?请说明理由. 2cosθ+2 π [解析] (1)梯形 ABCD 的面积 SABCD= · sinθ=sinθcosθ+sinθ,θ∈(0, ). 2 2 π 体积 V(θ)=10(sinθcosθ+sinθ),θ∈(0, ). 2 (2)V′(θ)=10(2cos2θ+cosθ-1)=10(2cosθ-1)(cosθ+1).

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1 令 V′(θ)=0,得 cosθ= 或 cosθ=-1(舍). 2 π π ∵θ∈(0, ),∴θ= . 2 3 π 1 当 θ∈(0, )时, <cosθ<1,V′(θ)>0,V(θ)为增函数; 3 2 π π 1 当 θ∈( , )时,0<cosθ< ,V′(θ)<0,V(θ)为减函数. 3 2 2 π ∴当 θ= 时,体积 V 最大. 3 θ π (3)木梁的侧面积 S 侧=(AB+2BC+CD)· 10=20(cosθ+2sin +1),θ∈(0, ). 2 2 θ π S=2SABCD+S 侧=2(sinθcosθ+sinθ)+20(cosθ+2sin +1),θ∈(0, ). 2 2 θ π 设 g(θ)=cosθ+2sin +1,θ∈(0, ). 2 2 θ θ ∵g(θ)=-2sin2 +2sin +2, 2 2 θ 1 π ∴当 sin = ,即 θ= 时,g(θ)最大. 2 2 3 π π 又由(2)知 θ= 时,sinθcosθ+sinθ 取得最大值,∴θ= 时,木梁的表面积 S 最大. 3 3 综上,当木梁的体积 V 最大时,其表面积 S 也最大. 14.(文)(2014· 河北唐山二模)已知函数 f(x)=x2-lnx-ax,a∈R. (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (2)若 f(x)>x,求 a 的取值范围. ?2x+1??x-1? [解析] (1)当 a=1 时,f(x)=x2-lnx-x,f′(x)= . x 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0. 所以 f(x)的最小值为 f(1)=0. (2)f(x)>x,即 f(x)-x=x2-lnx-(a+1)x>0. lnx 由于 x>0,所以 f(x)>x 等价于 x- >a+1. x x2-1+lnx lnx 令 g(x)=x- ,则 g′(x)= . x x2 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0. g(x)有最小值 g(1)=1. 故 a+1<1,a 的取值范围是(-∞,0). (理)(2014· 黑龙江大庆实验中学期中)已知函数 f(x)=xlnx(x>0). (1)试求函数 f(x)的单调区间和最值;

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(2)若 g(x)=f ′(x),直线 y=kx+b 与曲线 g(x)相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)不同的两点,若 x1+x2 x0= ,试证明 k>g′(x0). 2 1 1 1 [解析] (1)f ′(x)=lnx+1,由 f ′(x)>0 得 x> ,函数 f(x)的减区间是(0, ],增区间是[ , e e e 1 1 +∞),f(x)min=f( )=- . e e g?x1?-g?x2? 1 2 (2)证明:g(x)=f ′(x)=lnx+1,令 x1>x2>0,k= ,g′(x0)= = ,构造 x0 x1+x2 x1-x2 x1 2? -1? x2 2?x1-x2? 2?x1-x2? x1 x1 函数 F(x)=g(x1)-g(x2)- =lnx1-lnx2- =ln - , 令 =t, 则 h(t)=lnt x x x2 x1+x2 x1+x2 2 1 +1 x2 - 2?t-1? ?t-1?2 (t>1),h′(t)= >0,所以 h(t)>h(1)=0,所以 F(x)>0,即 k>g′(x0). t+1 t?t+1?2 1 15.(文)(2014· 邯郸市一模)已知函数 f(x)= x2-(a+1)x+alnx+1. 2 (1)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)的极大值; (2)求 a 的范围,使得 f(x)≥1 恒成立. a [解析] (1)f′(x)=x-(a+1)+ (x>0), x ∵x=3 是 f(x)的极值点, a ∴f′(3)=3-(a+1)+ =0,解得 a=3. 3 x2-4x+3 ?x-1??x-3? 当 a=3 时,f′(x)= = . x x 当 x 变化时, x f′(x) f(x) (0,1) + 递增 1 0 极大值 (1,3) - 递减 3 0 极小值 (3,+∞) + 递增

5 f(x)的极大值为 f(1)=- . 2 1 (2)要使得 f(x)≥1 恒成立,即 x>0 时, x2-(a+1)x+alnx≥0 恒成立. 2 1 a ?x-1??x-a? 设 g(x)= x2-(a+1)x+alnx, ,则 g′(x)=x-(a+1)+ = 2 x x (ⅰ)当 a≤0 时,由 g′(x)<0 得单减区间为(0,1), 由 g′(x)>0 得单增区间为(1,+∞) 1 1 g(x)min=g(1)=-a- ≥0,得 a≤- 2 2

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(ⅱ)当 0<a<1 时,由 g′(x)<0 得单减区间为(a,1),由 g′(x)>0 得单增区间为(0,a),(1, 1 +∞),此时 g(1)=-a- <0,∴不合题意. 2 1 (ⅲ)当 a=1 时,f(x)在(0,+∞)上单增,此时 g(1)=-a- <0,∴不合题意. 2 (ⅳ)当 a>1 时,由 g′(x)<0 得单减区间为(1,a), 1 由 g′(x)>0 得单增区间为(0,1),(a,+∞),此时 g(1)=-a- <0∴不合题意. 2 1 综上所述:a≤- 时,f(x)≥1 恒成立. 2 x (理)(2014· 郑州市质检)已知函数 f(x)= x. e (1)求函数 f(x)的单调区间和极值; 4 (2)过点 P(0, 2)作直线 l 与曲线 y=f(x)相切,求证:这样的直线 l 至少有两条,且这些直 e e2-1 2e3-1 线的斜率之和 m∈( 2 , 2 ). e e 1-x [解析] (1)由题知 f′(x)= x (x∈R), e 令 f′(x)>0,x<1,令 f′(x)<0,x>1, 1 所以函数 f(x)的增区间为(-∞,1),减区间为(1,+∞),其极大值为 f(1)= ,无极小值. e (2)设切点为(x0, f(x0)), 则所作切线的斜率 k=f′(x0)= = 1-x0 (x-x0), ex0 4 注意到点 P(0, 2)在切线 l 上, e 4 x0 1-x0 所以 2- = (-x0), e ex0 ex0 x2 4 x2 4 0 整理得: - 2=0,故此方程解的个数,即为可以做出的切线条数,令 g(x)= x- 2,则 ex0 e e e x?x-2? g′(x)=- , ex 令 g′(x)>0 则 0<x<2,令 g′(x)<0 则 x<0 或 x>2, 所以,函数 g(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增, 4 4 注意到 g(0)=- 2<0,g(2)=0,g(-1)=e- 2>0, e e 所以方程 g(x)=0 的解为 x=2,或 x=t(-1<t<0), 1-x0 x0 , 所以直线 l 的方程为: y- ex0 ex0

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4 即过点 P(0, 2)恰好可以作两条与曲线 y=f(x)相切的直线. e 1 当 x=2 时,对应的切线斜率 k1=f′(2)=- 2, e 1- t 当 x=t 时,对应的切线斜率 k2= t , e 1-t t-2 令 h(t)= t (-1<t<0),则 h′(t)= t <0, e e 所以 h(t)在(-1,0)上为减函数,即 1=h(0)<h(t)<h(-1)=2e,1<k2<2e, e2-1 2e3-1 所以 m=k1+k2∈( 2 , 2 ). e e

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