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信息光学第一章习题-2-2015答案

作业题:
1. 已知F (v)为f ( x)的傅立叶变换,求f (-2 x ? 6)的傅立叶变换表达式。 (10分)
2. 求下列各式(每题10分)

1) sin c(2 x ) *sin c(2 x ) 3) 求rect ? 5 x-15?的傅里叶变换 4) ?
? ?? 4 2) sin c ( x 2)dx(利用帕色渥定理) ? ?? ?

f ( x ) sin(

?x
4

) ?? ( x-1)+? ( x +1)? dx

3. ?函数是不是线性不变系统的本征函数?是不是理想成像系统的本 征函数?为什么?请加以说明。 (10分)

4. 设?为傅里叶变换算符,且?{ f ( x, y )} ? F ( f x , f y ),如果f ( x, y ) 为实函数,试证明F ( f x , f y )=F * (- f x , - f y )。
(10分)

5. 线性不变系统的脉冲响应函数是h(x,y)=5sinc(5x)?(y) 假如输入函数为h(x,y)=cos(?x), 求输出函数g(x, y)。 (15分)

6. 如果对二维函数f(x,y)=a· sinc2(ax)进行取样, 求允许的最大取样间隔, 并对过程进行说明。(15分)

课堂作业
? 1、
f ( x) ? F (? ) ? f (?2 x) ? ? f [?2( x ? 3)] ? 1 ? ?? F ?? ? 2 ? 2? 1 ? ? ? i 2? (? ?3) 1 ? ? ? i 6?? F ?? ?e ? F ?? ?e 2 ? 2? 2 ? 2?
x

? 2、(1) sin c(2 x) ? 1 rect ( f
2

2

)
2

f f f ? 1 1 1? ??sin c(2 x) *sin c(2 x)? ? rect ( x )? rect ( x ) ? ? rect ( x ) ? 2 2 2 2 4? 2 ? 2 ? ? f 1 ? ? 1 ? ? ?1 x ? sin c(2 x) *sin c(2 x) ? ? ? ? rect ( ) ? ? ? sin c(2 x) 2 ? ? ?4 ? ? 2 ?

x (2) sin c 2 ( x) ? ? ( f x ) ? sin c 2 ( ) ? 2?(2 f x ) 2 2 ? ? ? x 4 4 x 2 x sin c ( ) dx ? sin c ( ) sin c ( ) dx ? 4 ? (2 f ) df ? ??? ??? ??? ? x ? x 3 2 2 2

(3) Q rect ? 5 x ? 15? ? rect ? 5( x ? 3) ? , ???rect ? 5( x ? 3) ?? ? 1 ? f ? ??rect ? 5 x ??e ? i 6? f x ? sin c ? x ? e ? i 6? f x 5 ? 5? ? ?x (4) ? f ( x) sin( ) ?? ( x-1)+? ( x +1) ? dx ??
? f (1) sin( ?

?
4

4

) ? f ( ?1) sin( ?

?
4

)

2 2 f (1) ? f ( ?1) 2 2

? 3、 f ( x, y ) ? ? ( x ? x0 , y ? y0 )
输出函数为: g ( x, y )=??1 ?H ( f x , f y ) F ( f x , f y )? ? ? ? H ( f x , f y )e
?? ? ? i 2? ( f x x0 ? f y y0 ) i 2? ( f x x ? f y y )

e

df x df y

? h( x ? x0 , y ? y0 ) 由此可见,并不能说? 函数是线性不变系统的本征函数; 而对于理想成像,是点物成点像的关系, 有h( x ? x0 , y ? y0 )=a? ( x ? x0 , y ? y0 ), 故? 函数是理想成像系统的本征函数。

? ( ? i 2? )( ? f ) y 证明:F (? f x , ? f y ) ? ? f ? ( x, y )e? ( ?i 2? )( ? f ) x e dxdy ? 4、 ?? ?
x y

?

??

?

??

f ? ( x, y)e?i 2? f x x e

? i 2? f y y

dxdy ? ?? f ? ( x, y )?

若f ( x, y )是实函数,f ( x, y ) ? f ? ( x, y ) ? F ( f x , f y ) ? ?? f ? ( x, y )? ? F? (? f x , ? f y )

? 5、

1? 1 1 ? ? ( f ? ) ? ? ( f ? )? x x ? 2? 2 2 ? f f 1 h( x, y ) ? 5sin c(5 x)? ( y ) ? 5 ? rect ( x ) ? rect ( x ) 5 5 5 fx 1? 1 1 ? 1? 1 1 ? ? G ( f x , f y ) ? ?? ( f x ? ) ? ? ( f x ? ) ? rect ( ) ? ?? ( f x ? ) ? ? ( f x ? ) ? 2? 2 2 ? 5 2? 2 2 ? f ( x) ? cos(? x) ? ? g ( x, y ) ? ??1 ?G ( f x , f y )? ? cos(? x)

? 6、
1 Q sin c ( x ) ? ? ( f x ) ? sin c ( ax ) ? ? (af x ) a
2 2

a ? F ( f x , f y ) ? ? (af x ) a ? Bx ? a ,By =0 1 1 ? x方向上允许的最大取样间隔X= = ,y方向上没有限制。 2 Bx 2 a


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