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3.韦达定理


·高一数学“初、高中衔接”教学内容·

2013 届高一第一学期数学教案
3.韦达定理 【教学目标】 1.通过具体特例获得韦达定理,从而渗透归纳猜想的思想. 2.会用韦达定理解有关一元二次方程根与系数关系的问题,渗透化归的思想. 【教学重点】 通过具体特例获得韦达定理,从而渗透归纳猜想的思想. 【教学难点】 会用韦达定理解有关一元二次方程根与系数关系的问题. 【教学过程】 一.复习引入 1.问题(1)解方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ; 9 x 2 ? 18x ? 5 ? 0 ,并分别求两根之和 x1 ? x 2 与两根 之积 x1 x 2 . 问题(2)分别考察 x1 ? x 2 与 x1 x 2 方程系数的关系. 2.归纳猜想:若 x1 , x 2 是一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0, b 2 ? 4ac ? 0) 的两个根,则 x1 ? x 2 , x1 x 2 与 a , b, c 的关系. 二.韦达定理 1.韦达定理:若 x1 , x 2 是一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0, b 2 ? 4ac ? 0) 的两个根,则 b c b c x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? .反之,如果 x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? ,则 x1 , x 2 是一元二次方 a a a a 2 程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 两个根. 2.学生给出证明: 3.练习 1:若下列方程有解,试分别写出两根之和与两根之积. (1) 2 x 2 ? 3x ? 6 ? 0 ; (2) 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ; (3) 2 x 2 ? 3x ? 6 ? 0 . 练习 2: :已知方程 2 x 2 ? bx ? c ? 0 两根和为 ? 三.定理应用 例 1.已知 x1 , x 2 是方程 x 2 ? mx ? m ? 0 的两个根. (1)求 m 的取值范围; 2 2 (2)当 m ? ?2 时,求 x1 ? x 2 的值;
2 2 (3*)求 x1 ? x 2 的取值范围.

3 ,两积为-3,求 a, b 的值. 2

例 2.已知抛物线 y ? ?2x 2 ? mx ? 3 与 x 轴交于不同两点 A、B . (1)若 A 点横坐标为 1,求 B 点的横坐标;
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(2)若 A、B 两点间距离为 1,求 m 的值. (或条件改为:方程 ? 2 x 2 ? mx ? 3 ? 0 两根为 x1 , x 2 )

2 2 练习:已知方程 2 x 2 ? 3x ? 6 ? 0 两根为 x1 , x 2 ,分别求 ( x1 ? x2 ) 2 ; x1 ? x 2 ; 3 3 x1 ? x 2 的值.

x1 x 2 ? ; x 2 x1

例 3*.已知方程 x 2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 有两个不同的实数解 x1 , x 2 . (1)求实数 m 的取值范围; (2)若 x1 ? 0, x 2 ? 0 ,求 m 的取值范围.

四.板书 韦达定理
1.复习引入 2.韦达定理 ?? 练习: 例1 解答工程

例2 3.韦达定理的证明(引导学生讨论) ?? 例3

五.小结与作业 1.小结:韦达定理实质:反映了一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0, b 2 ? 4ac ? 0) 根与系 数的关系,在解决实际问题过程中,往往不通过求解方程的根而解决问题. 注意的是:定理的前提是:方程有解(如例 1、例 3) .
2 2 今后常会碰到:用 a, b, c 表示 x1 ? x 2 ; | x1 ? x 2 | 等. 2.可给出韦达定理其他证明: 2 2 (1) ax1 ? bx1 ? c ? 0 , ax2 ? bx1 ? c ? 0 两式相减求得 x1 ? x 2 (注意 x1 ? x 2 的讨论) ;两 式相加可得 x1 x 2 .

(2)由 ax 2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 比较可得. 3.作业:见讲义
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