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圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1


圆心角、弧、弦、弦心距 之间的关系

授课教师:朱卉斌 课件开发:朱卉斌

圆的轴对称性(圆是轴对称图形)
圆的对称性

垂径定理 及其推论

圆的中心对称性?

???

(一)、圆的中心对称性

(1)若将圆以圆心为旋转中心,旋转180°,
你能发现什么?

圆绕其圆心旋转180°后能与原来图形相重合。
因此,圆是中心对称图形,对称中心是圆心。

(2)若旋转角度不是180°,而是旋转任意角度,则

旋转过后的图形能与原图形重合吗?
圆绕圆心旋转任意角度α,都能够与原来的图形重合。
B O

圆具有旋转不变性

α
A

(二)、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

(1)相关概念
圆心角:顶点在圆心的角 圆心角所对的弧 圆心角所对的弦

弦心距:从圆心到弦的距离
(2)在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

A C O B

定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的 弦相等,所对的弦的弦心距相等。

推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦 或两条弦所对的弦心距中有一组量相等,那么它们所 对应的其余各组量都分别相等

1、已知:如图,AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距, 根据本节定理及推论填空: (1)如果AB=CD,那么

∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD _____________,________,____________。
(2)如果OE=OF,那么

⌒ ⌒

⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD _____________,________,____________。 ⌒ ⌒ (3)如果AB=CD 那么 ∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF ______________,__________,____________。
(4)如果∠AOB=∠COD,那么

⌒ ⌒ OE=OF AB=CD AB=CD _________,________,_________。

2、如图,点O是∠EPF的平分线上的一点,以O为圆心的圆和角的两边分别交于 点 A、B和C、D。 求证:AB=CD 证明:作OM⊥AB,ON⊥CD,M,N 为垂足。 M

?MPO ? ?NPO? ? OM ? AB ? ? OM ? ON ON ? CD ? ? ? AB ? CD。

N

推广:若将上题中的点O看作是沿着∠EPF的平分线运动的。 在∠EPF的每边与圆O有两个交点的时候,是否都能够得到上题的结论?

3、如图,A、B分别为CD和EF的中点,AB分别交CD、EF于点M、N,且AM=BN。 求证:CD=EF 证:连结OA、OB, 设分别与CD、EF交于点F、G ∵A为CD中点,B为EF中点 ∴OA⊥CD,OB⊥EF 故∠AFC=∠BGE=90°①

⌒ ⌒

又由OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA ② 且AM=BN ∴△AFM≌△BGN ∴AF=BG ∴OF=OG ∴DC=EF ③

F

G

圆的轴对称性(圆是轴对称图形)

垂径定理 及其推论

圆的对称性
圆的中心对称性(圆是中心对称图形)
证明圆弧相等:(1)定义 (2)垂径定理 (3)圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系

圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关 系

证明线段相等:(1)直线形的方法 (2)垂径定理 (3)圆心角、弧、弦、弦 心距之间的关系

作业:

书P73 P84

3 2、3、4

1、判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。









2、下列图中弦心距做对了的是(



┐ ① ②

┐ ③ ④

如图:⊙ O1 和⊙O2 是两个等圆,直线
点 求证: ?A O B
1

A1B2 平行于 O1O2 分别交⊙ O1 于

A1 、 1 ,交⊙ O2 于点 A2、B2 。 B
1 1

? ?A2O2 B2

C1

C2


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