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《与名师对话》2015-2016学年高中数学人教版A版选修2-3课件2.1.2离散型随机变量的分布列_图文

2.1.2 离散型随机变量的分布列

自 主 预 习

学习目标 1.掌握离散型随机变量的 分布列的概念及其性质. 2.了解两点分布和超几 何分步. 3.会求离散型随机变量 的分布列.

目标解读 1.重点是离散型随 机变量的分布列的 概念及其性质. 2.难点是求离散 型随机变量的分布 列.

1.离散型随机变量的分布列 (1)分布列的定义 一般地,若离散型随机变量X可能取的不同的值为x1, x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X =xi)=pi,以表格的形式表示如下: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则上表称为 离散型随机变量X的概率分布列 的分布列. ,简称为X

(2)分布列的性质 ① pi≥0 ,i=1,2,…,n;②

?pi=1
i=1

n

.

问题思考1:离散型随机变量的分布列反映的问题是什 么?
提示:离散型随机变量的分布列不仅能清楚的反映其所 取的一切可能的值,而且也能看出取每一个值的概率的大 小,从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况.

2.两点分布 若随机变量X的分布列为下表的形式,则称X服从 两点

分布 ,并称p=P(X=1)为 成功概率 .
X 0 1 P 1-p p

问题思考2:两点分布的特点是什么?

提示:两点分布的试验结果只有两个可能性,且其概率 之和为1.

3.一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其
n-k Ck C M N-M 中 恰有X件次品 ,则P(X=k)= Cn (k=0,1,2,…,m,其 N

中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*). X P 0
n -0 C0 MCN-M Cn N

1
n -1 C1 C M N-M Cn N



m

n-m Cm C N-M … M n CN

如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量 X服从 超几何分布 .

要 点 导 学

要点一

离散型随机变量的分布列

要掌握一个离散型随机变量X的取值规律,必须知道 1.X所有可能取的值x1,x2,…,xn; 2.X取每一个值xi的概率p1,p2,…,pn.

这就是说,需要列出下表: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布,或称为离 散型随机变量X的分布列.由分布列能一目了然地看出随机变 量X的取值范围及取这些值的概率.

一袋中装有6个同样大小的黑球,编号分别为 1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以X表示取出球的最大号 码,求X的分布列.

【思路启迪】

随机取出3个球的最大号码X的所有可能

取值为3,4,5,6.“X=3”对应事件“取出的3个球的编号为 1,2,3”;“X=4”对应事件“取出的3个球中恰取到4号球和 1,2,3号球中的2个”;“X=5”对应事件“取出的3个球中恰 取到5号球和1,2,3,4号球中的2个”;“X=6”对应事件“取 出的3个球中恰取到6号球和1,2,3,4,5号球中的2个”.而要求 其概率则要利用等可能性事件的概率公式和排列组合知识来 求解,从而获得X的分布列.

【解】

随机变量X的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机地取

出3个球,包含的基本事件总数为C 3 6 ,事件“X=3”包含的基 本事件总数为C
3 3

;事件“X=4”包含的基本事件总数为C

1 1

1 2 C2 3 ;事件“X=5”包含的基本事件总数为C 1 C 4 ;事件“X= 3 C 1 3 1 2 6”包含的基本事件总数为C1C5.从而有P(X=3)=C3=20;P(X 6 2 2 2 C1 3 C1 3 C1 1 1C3 1C4 1C5 =4)= C3 =20;P(X=5)= C3 =10;P(X=6)= C3 =2. 6 6 6

所以随机变量X的分布列如下表: X P 3 4 5 6

1 3 3 1 20 20 10 2

(1)解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每一个值 时对应的随机事件,然后利用排列组合知识求出X取每个值的 概率,最后列出分布列. (2)求离散型随机变量X的分布列的步骤是:首先确定X的 所有可能的取值;其次,求相应的概率P(X=xi)=pi;最后列 成表格的形式.

同时掷两枚质地均匀的骰子,观察朝上 一面出现的点数,求两枚骰子中出现的最大点数X的分布列.

解:易知掷两枚质地均匀的骰子朝上一面出现的点数有 36种等可能的情况,X的可能取值为1,2,3,4,5,6,如下表: X的值 1 2 3 出现的点数 (1,1) (2,2),(2,1),(1,2) (3,3),(3,2),(3,1),(2,3), (1,3) 情况数 1 3 5

(4,4),(4,3),(4,2),(4,1),(3,4), (2,4),(1,4) (5,5),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1), 5 (4,5),(3,5),(2,5),(1,5) (6,6),(6,5),(6,4),(6,3),(6,2), 6 (6,1),(5,6),(4,6),(3,6),(2,6), (1,6)
4
由古典概型可知X的分布列为 X P 1 2 3 4 5 6

7 9 11

1 1 5 7 1 11 36 12 36 36 4 36

要点二 离散型随机变量的分布列的性质
利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某 个范围内取值的概率,此时只需根据随机变量的取值范围确 定随机变量可取哪几个值,再利用分布列即可得到它的概 率,注意分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼 此互斥,因此利用概率的加法公式即可求出其概率.

? k? 设随机变量X的分布列P?X=5?=ak(k= ? ?

1,2,3,4,5). (1)求常数a的值;
? 3? (2)求P?X≥5?的值; ? ? ?1 7? (3)求P?10<X<10?的值. ? ?

【思路启迪】 先列出X的分布列,再根据分布列的性质 确定a的值,最后根据所有对应数值的概率,求出相应范围内 概率值.

【解】

由题意得X的分布列为 X 1 5 2 5 3 5 4 5 1

P a 2a 3a 4a 5a 1 (1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=15.

? ? ? ? 3? 3? 4? 5? 3 4 5 ? ? ? ? ? ? ? ? (2)P X≥5 =P X=5 +P X=5 +P X=5 =15+15+ 15= ? ? ? ? ? ? ? ?

4 5;
? ? 3? 2? 或P?X≥5?=1-P?X≤5? ? ? ? ? ? ? ? 1? 2?? =1-?P?X=5?+P?X=5?? ? ? ?? ? ?

1 2 4 =1-(15+15)=5.

1 7 1 2 3 (3)因为 10 <X< 10 ,所以只有X= 5 , 5 , 5 满足条件,故
?1 ? ? ? 7? 1? 2? 3? 1 2 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? < X < X = X = X = P 10 10?=P? 5?+P? 5?+P? 5?=15+15+15=5. ?

离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用: (1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值; (2)利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个 范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率;(3)可以 根据性质判断所得分布列是否正确.

(1)设离散型随机变量X的概率分布列如下 表: X P 则p等于( 1 A.10 ) 2 B.10 2 C.5 1 D.2 1 2 3 4 1 3 1 p 10 10 10

k (2)设随机变量X的分布列P(X=i)= 2i (i=1,2,3),则P(X≥2) =________.

1 3 1 5 1 解析:(1)由10+10+10+p=1,解得p=10=2. (2)由已知得随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 8 k k k ∴2+4+8=1,∴k=7. ∴P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3) k k 2 1 3 =4+8=7+7=7. 3 答案:(1)D (2)7 k k k 2 4 8

要点三 两点分布与超几何分布
1.两点分布中只有两个对应的结果,且结果是对立的, 因此在解答此类问题时,应先分析变量是否满足两点分布的 条件,然后借助概率的知识解决. 2.可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、 生产实践中的问题,如产品中的正品和次品,盒中的白球和 黑球,同学中的男生和女生等,往往由明显的两部分组成.

从一批含有13件正品、2件次品的产品中,不 放回地任取3件,求取得次品数ξ的分布列.

【思路启迪】 本题是超几何分布问题,可利用超几何 分布的概率公式求解.

【解】

设随机变量ξ表示取出次品的件数,则ξ服从超

几何分布,其中N=15,M=2,n=3,ξ的可能的取值为 0,1,2,它相应的概率依次为
3 C0 C 22 2 13 P(ξ=0)= C3 =35; 15 2 C1 C 12 2 13 P(ξ=1)= C3 =35; 15 1 C2 C 1 2 13 P(ξ=2)= C3 =35. 15

所以ξ的分布列为 ξ P 0 1 2

22 12 1 35 35 35

解答这类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何 分布,若满足,则直接利用超几何分布模型解决;若不满 足,则应借助相应概率公式求解.

(1)篮球运动员在比赛中,每次罚球命中 得1分,不中得0分,已知某运动员罚球命中的概率为0.8,则 他罚球一次的得分X的分布列为__________. (2)袋中有4个红球,3个黑球,从袋中随机取球,设取到 一个红球得2分,取到一个黑球得0分,从袋中任取4个球. ①求得分X的分布列; ②求得分不小于6分的概率.

解析:(1)用随机变量X表示“每次罚球得的分值”,根 据题意,X可能的取值为0,1,且取这两个值的概率分别为 0.2,0.8,因此所求的分布列是 X 1 0

P 0.8 0.2

(2)①从袋中随机摸4个球的情况为: 1红3黑,2红2黑,3红1黑,4红共四种情况,分别得分为 2分,4分,6分,8分,故X的可能取值为2,4,6,8.
3 2 2 C1 C 4 C 18 4 3 4C3 P(X=2)= C4 =35;P(X=4)= C4 =35; 7 7 1 4 0 C3 C 12 C 1 4 3 4C3 P(X=6)= C4 =35;P(X=8)= C4 =35. 7 7

所以X的分布列为 X 2 4 6 8 4 18 12 1 P 35 35 35 35

②根据随机变量X的分布列,可以得到得分不小于6分的 12 1 13 概率为P(X≥6)=P(X=6)+P(X=8)=35+35=35.

答案:(1) X 1 0

P 0.8 0.2 (2)① X 2 4 6 8

4 18 12 1 P 35 35 35 35 13 ②35

易错点:审题不清,套用模型错误 盒中装有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧 的,从盒中任取3个来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个 数X是一个随机变量,求X的分布列.

【错解】

X的可能取值为0,1,2,3,且X服从超几何分

布,其中M=3,N=12,n=3,则
-k 3-?3-k? C3 3 C12-3 P(X=k)= C3

12

-k C3 Ck 3 · 9 = C3 (k=0,1,2,3). 12

【错因分析】 没有看清题意,新球用后就变成了旧 球,这时盒子内旧球数不服从超几何分布.

【正确解答】

由题意,盒中共有12个球,9个新球,3

个旧球,任取3个用后放回盒中,盒中此时旧球的个数X的可 能取值为3,4,5,6. C3 1 3 P(X=3)=C3 =220; 12 C1 C2 27 9· 3 P(X=4)= C3 =220; 12 C2 C1 108 9· 3 P(X=5)= C3 =220; 12 C3 84 9 P(X=6)=C3 =220. 12

所以X的分布列为 X P 3 4 5 6

1 27 108 84 220 220 220 220

和古典概型的概率公式一样,利用我们熟悉的分布列的 概率模型,可以避免随机变量取每一个可能取值时重复求概 率的过程,从而简化了解题过程,但一定要结合题目的背景 确定是否是某一分布列模型.

有3名大学生要到四川、云南、贵州、甘 肃四省中的任意一省工作.记去到各省的大学生人数最多为 X,求X的分布列.

A3 3 4 解:当X=1时,P(X=1)= 43 = 8 ;当X=2时,P(X=2)=
1 1 C2 9 C1 1 3C4C3 4 43 =16;当X=3时,P(X=3)= 43 =16.

则X的分布列为 X 1 2 3 P 3 9 1 8 16 16

1.求随机变量的分布列,首先要弄清随机变量所有可能 的取值,然后利用所学概率知识求取每个值的概率,并列出 表格即得分布列. 2.熟悉分布列的两条基本性质:若随机变量X的取值为 x1,x2,…,xi,…,xn,取这些值的概率P(X=xi)=pi,i= 1,2,…,n,则 (1)pi≥0,i=1,2,…,n, (2)p1+p2+…+pn=1.

3.超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数,
n -k Ck C M N-M 只要知道N,M和n就可以根据公式P(X=k)= Cn 求出X取 N

不同值时的概率.学习时,不能机械地去记忆公式,而要结 合条件以及组合知识理解M,N,n,k的含义.

1.随机变量X的分布列如下,则m等于( X 1 2 3 4 1 1 1 P m 4 3 6 1 A.3 1 C.6 1 B.2 1 D.4

)

1 1 1 1 解析:由分布列性质得4+m+3+6=1,∴m=4.
答案:D

2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ描 述1次试验的成功次数,则P(ξ=0)等于( A.0 1 C.3 1 B.2 2 D.3 )

解析:因为2P(ξ=0)=P(ξ=1),且P(ξ=0)+P(ξ=1)= 1 1,所以P(ξ=0)=3.
答案:C

3.下列4个表格中,可以作为离散型随机变量分布列的 一个是( A. X B. X 0 1 2 P 0.3 -0.1 0.8 0 1 2 P 0.3 0.4 0.5 )

C. X D. X 0 1 2 P 1 2 3 7 7 7 1 2 3 4 P 0.2 0.5 0.3 0

解析:A中0.3+0.4+0.5>1;B中-0.1<0, 1 2 3 D中7+7+7<1.
答案:C

4.设离散型随机变量ξ的概率分布列为 ξ -1 0 P 1 10 1 2 3

1 1 2 m 10 5 5

则下列各式中成立的序号是__________(写出所有可能的 序号) ①P(ξ=1.5)=0;②P(ξ>-1)=1; 1 ③P(ξ≤3)=1;④P(ξ≤0)=10.

1 1 1 2 解析:由分布列的性质得10+m+10+5+5=1, 1 1 9 ∴m= 5 .①正确;P(ξ>-1)=1- 10 = 10 ,②不正确; 1 1 P(ξ≤3)=1,③正确;P(ξ≤0)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)= 10 + 5 3 =10,故④不正确.

答案:①③

5.若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 4a-1 3a2+a 则a=________.

?0≤4a-1≤1, ? 2 解析:由分布列的性质可知?0≤3a +a≤1, ?4a-1+3a2+a=1, ? 1 解得a=3.

1 答案:3

请做:课时作业(十)


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