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2013高考数学一轮复习精讲精练(新人教A版)第九章 圆锥曲线


2012 高中数学精讲精练 第九章 圆锥曲线
【知识图解】 定义 椭圆 几何性质 定义 标准方程 圆锥曲线应用 几何性质 定义 抛物线 几何性质 【方法点拨】 解析几何是高中数学的重要内容之一, 也是衔接初等数学和高等数学的纽带。 而圆锥曲 线是解析几何的重要内容,因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线,无外乎抓住其方程和 曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性,而它的图像具有典型的几何特性,因此,它 是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类:椭圆、双曲线 和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰,解题方法的规律性比较强, 但是运算过程往往比较复杂,对学生运算能力,恒等变形能力,数形结合能力及综合运用各 种数学知识和方法的能力要求较高。 1. 一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌握方程 组理论,又关注图形的几何性质. 2.着力抓好运算关,提高运算与变形的能力,解析几何问题一般涉及的变量多,计算量大, 解决问题的思路分析出来以后, 往往因为运算不过关导致半途而废, 因此要寻求合理的运算 方案, 探究简化运算的基本途径与方法, 并在克服困难的过程中, 增强解决复杂问题的信心, 提高运算能力. 3.突出主体内容,要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习:一是根据已知条件求曲线方程, 其中待定系数法是重要方法, 二是通过方程研究圆锥曲线的性质, 往往通过数形结合来体现, 应引起重视. 4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼,达到优化解题思维、 简化解题过程 标准方程 标准方程

圆 锥 曲 线

双曲线

第1课

椭圆 A

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【考点导读】 1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆 简单的几何性质; 2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法;能运用椭圆的标准方程和几何性质处 理一些简单的实际问题. 【基础练习】

x2 1.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 3
外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 4 3 2.椭圆 x ? 4 y ? 1 的离心率为
2 2

3 2

3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆 的标准方程是

x2 y 2 ? ?1 16 4

4. 已知椭圆

x2 y2 1 5 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 k 的值为 k ? 4或k ? ? k ?8 9 2 4

【范例导析】 例 1.(1)求经过点 (?

3 5 , ) ,且 9 x 2 ? 4 y 2 ? 45 与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 2 2

(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的 3 倍,点 P(3,0)在该椭圆上,求 椭圆的方程。 【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是:①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上; ②定量,即根据条件列出基本量 a、b、c 的方程组,解方程组求得 a、b 的值;③写出方程.

y 2 x2 解: (1)∵椭圆焦点在 y 轴上,故设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) , a b
由椭圆的定义知,

3 5 3 5 3 1 2a ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? 10 ? 10 ? 2 10 , 2 2 2 2 2 2 ∴ a ? 10 ,又∵ c ? 2 ,∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6 ,
所以,椭圆的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1。 10 6 x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2

(2)方法一:①若焦点在 x 轴上,设方程为

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∵ 点 P ( 3,0 ) 在 该 椭 圆 上 ∴

9 ? 1 即 a 2 ? 9 又 a ? 3b , ∴ b 2 ? 1 ∴ 椭 圆 的 方 程 为 2 a

x2 ? y 2 ? 1. 9
②若焦点在 y 轴上,设方程为

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2
9 ? 1 即 b 2 ? 9 又 a ? 3b , ∴ a 2 ? 81 ∴ 椭 圆 的 方 程 为 2 b

∵ 点 P ( 3,0 ) 在 该 椭 圆 上 ∴

y 2 x2 ? ?1 81 9
方法二: 设椭圆方程为 Ax ? By ? 1? A ? 0, B ? 0, A ? B ? .∵点 P 3,0) ( 在该椭圆上∴9A=1,
2 2

即A?

x2 y 2 x2 1 1 ,又 a ? 3b ∴ B ? 1或 , a 2 ? 81 ∴椭圆的方程为 ? y2 ? 1或 ? ? 1. 9 81 9 9 81

【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法,若焦点在 x 轴上,设方程为

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,若焦点在 y 轴上,设方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,有时为了运 a 2 b2 a b
算方便,也可设为 Ax ? By ? 1 ,其中
2 2

A ? 0, B ? 0, A ? B .
例 2.点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭 36 20

圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。 【分析】①列方程组求得 P 坐标;②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解,要 注意椭圆上点坐标的范围. 解: (1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P( x , y ),则 AP =( x +6, y ), FP =( x -4, y ),由已知可得

??? ?

??? ?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? 36 20 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?

则 2 x 2 +9 x -18=0, x =

3 或 x =-6. 2

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由于 y >0,只能 x =

5 3 3 3 5 3 ,于是 y = . ∴点 P 的坐标是( , ) 2 2 2 2 m?6 2
.

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是

于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2. 椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有

d 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ?
由于-6≤ m ≤6, ∴当 x =

5 2 4 9 x ? ( x ? ) 2 ? 15 , 9 9 2

9 时,d 取得最小值 15 2

点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题, 通常转化为二次函数值域问题. 【反馈练习】 1.如果 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是(0,1)
2 2

2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等 、F 腰直角三角形,则椭圆的离心率是 2 ? 1

3.椭圆

x2 y2 ? =1 的焦点为 F1 和 F2, P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上, 点 那么|PF1| 12 3
x2 y 2 10 25 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 的值为 3或 5 m 5 3

是|PF2|的 7 倍 4.若椭圆

x2 y2 3 5..椭圆 ? ? 1 的右焦点到直线 y ? 3 x 的距离为 4 3 2
6.与椭圆

x2 y2 x2 y2 (2, 3 ) 的椭圆的标准方程是 ? ? 1 具有相同的离心率且过点 ? ?1 4 3 8 6



3 y2 4 x2 ? ?1 25 25 x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 10 16 4
4 5 2 5 和 ,过 3 3

7.椭圆

8. 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为

P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
分析:讨论椭圆方程的类型,根据题设求出 a 和 b (或 a 2 和 b 2 )的值.从而求得椭圆方程.
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解:设两焦点为 F1 、 F2 ,且 PF1 ?

4 5 2 5 , PF2 ? . 3 3

从椭圆定义知 2a ? PF1 ? PF2 ? 2 5 .即 a ? 5 . 从 PF1 ? PF2 知 PF2 垂 直 焦 点 所 在 的 对 称 轴 , 所 以 在 Rt?PF2 F1 中 ,

sin ?PF1 F2 ?

PF2 PF1

?

1 , 2

可求出 ?PF1 F2 ?

?
6

, 2c ? PF1 ? cos

?
6

?

2 5 10 ,从而 b 2 ? a 2 ? c 2 ? . 3 3

∴所求椭圆方程为

x2 3y2 3x 2 y 2 ? ? 1或 ? ? 1. 5 10 10 5

第2课

椭圆 B

【考点导读】 1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题; 2. 能解决椭圆有关的综合性问题. 【基础练习】 1.曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1? m ? 6 ? 与曲线 ? ? 1? 5 ? n ? 9 ? 的(D) 10 ? m 6 ? m 5?n 9?n
B 离心率相等 C 准线相同 D 焦

A 焦点相同 距相等 2.如果椭圆 是 10,

x2 y2 ? ? 1 上的点 A 到右焦点的距离等于 4,那么点 A 到两条准线的距离分别 25 16

20 3

3 离心率 e ? 【范例导析】 例 1.椭圆

x2 9 y2 5 ? ?1 ,一条准线为 x ? 3 的椭圆的标准方程是 5 20 3

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的二个焦点 F1(-c,0),F2(c,0),M 是椭圆上一点,且 a2 b2 F1 M ? F2 M ? 0 。

求离心率 e 的取值范围. 分析:离心率与椭圆的基本量 a、b、c 有关,所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标, 再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式,从而确定离心率的范围. 解:设点 M 的坐标为(x,y),则 F1 M ? ( x ? c, y ) , F2 M ? ( x ? c, y ) 。由 F1 M ? F2 M ? 0 ,
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得 x -c +y =0,即 x -c =-y 。 又由点 M 在椭圆上,得 y =b ?
2 2

2

2

2

2

2

2


2

b 2 b2 a 2b 2 x ,代入①,得 x2-c2 ? 2 x 2 ? b 2 ,即 x 2 ? a 2 ? 2 。 a2 a c 2 2 2 2 a b a ?c 2 1 ∵0≤ x 2 ≤ a 2 , ∴0≤ a 2 ? ≤ a 2 , 0≤ 即 ≤1, 0≤ 2 ? 1 ≤1, 解得 ≤e 2 2 2 c c e
≤1。 又∵0< e <1,∵

2 ≤ e ≤1. 2

例 2.如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆 的一个交点为 B, 1B|+|F2B|=10, 且|F 椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件: 2A|、 2B|、 |F |F |F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标. 分析:第一问直接可有第一定义得出基本量 a,从而写出方程;第二问涉及到焦半径问题, 可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式,结合等差数列的定义解决. y 例2 2 2 解:(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= a ? c =3. 故椭圆方程为
x2 y2 ? =1. 25 9

A B C F1 o F2 B' x

9 25 (2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率 4 5

4 4 25 4 25 ,根据椭圆定义,有|F2A|= ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 5 4 5 4 4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=

x1 ? x 2 =4. 2

【反馈练习】 1.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭 圆的离心率为

2 2

2.已知 F1、F2 为椭圆

x2 ? ? y 2 ? 1 的两个焦点,过 F1 作倾斜角为 的弦 AB,则△F2AB 的 2 4

面积为

4 3

3.已知正方形 ABCD ,则以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的离心率为 2 ? 1
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4.椭圆 12

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到它的左准线的距离是 10,那么点 P 到它的右焦点的距离是 100 36

x2 y ? 9? 5.椭圆 0 ? ? 1 上不同三点 A? x1,y1 ? ,B? 4, ? ,C ? x2,y2 ? 与焦点 F ?4,? 的距离成等 25 9 ? 5?
2

差数列. 求证: x1 ? x2 ? 8 ; 证明:由椭圆方程知 a ? 5 , b ? 3 , c ? 4 . 由圆锥曲线的统一定义知:

AF a ? x1 c
2

?

c ,∴ a

AF ? a ? ex1 ? 5 ?

4 x1 . 5

同理 ∵

CF ? 5 ?

4 x2 . 5 9 , 5

AF ? CF ? 2 BF ,且 BF ?



4 ? ? 4 ? 18 ? ? 5 ? x1 ? ? ? 5 ? x2 ? ? ,即 5 ? ? 5 ? 5 ?

x1 ? x2 ? 8 .

第3课
【考点导读】

双曲线

1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质 2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题. 【基础练习】 1.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? ?
2 2

1 4

2. 方程

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的范围是 k ? 3或k ? ?3 k ?3 k ?3

3.已知中心在原点,焦点在 y 轴的双曲线的渐近线方程为 y ? ? 为 5

1 x ,则此双曲线的离心率 2

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4. 已知焦点 F1 (5, 0), F2 ( ?5, 0) ,双曲线上的一点 P 到 F1 , F2 的距离差的绝对值等于 6 ,则 双曲线的标准方程为 【范例导析】 例 1. (1) 已 知 双 曲 线 的 焦 点 在 y 轴 上 , 并 且 双 曲 线 上 两 点 P , P2 坐 标 分 别 为 1

x2 y 2 ? ?1 9 16

9 (3, ?4 2), ( ,5) ,求双曲线的标准方程; 4
(2)求与双曲线

x2 y2 ? ? 1 共渐近线且过 A 2 3, 3 点的双曲线方程及离心率. ? 16 9

?

?

分析:由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是:①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴 上;②定量,即根据条件列出基本量 a、b、c 的方程组,解方程组求得 a、b 的值;③写出方 程. 解: 1)因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以设所求双曲线的标准方程为 (

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ①; a 2 b2 ∵点 P , P2 在双曲线上,∴点 P , P2 的坐标适合方程①。 1 1
? (?4 2) 2 32 ? 2 ?1 ? a2 b 9 ? 将 (3, ?4 2), ( ,5) 分别代入方程①中,得方程组: ? 9 2 4 ? 25 ( ) ? 2 ? 42 ? 1 b ?a 1 ?1 ? a 2 ? 16 1 1 ? 将 2 和 2 看着整体,解得 ? , a b ?1 ?1 ? b2 9 ? 2 ? y 2 x2 ?a ? 16 ? ? 1。 ∴? 即双曲线的标准方程为 2 16 9 ?b ? 9 ? 2 2 点评:本题只要解得 a , b 即可得到双曲线的方程,没有必要求出 a, b 的值;在求解的
过程中也可以用换元思想,可能会看的更清楚。 (2)解法一:双曲线

x2 y2 3 ? ? 1 的渐近线方程为: y ? ? x 16 9 4 x2 y2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? a2 b2


当焦点在 x 轴时,设所求双曲线方程为



a 3 3 ? ,∴ b ? a b 4 4

∵ A 2 3, 3 在双曲线上 ?
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?

?



12 9 ? ?1 a2 b2



由①-②,得方程组无解 当焦点在 y 轴时,设双曲线方程为

y2 x2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? a2 b2




b 3 4 ? ,∴ b ? a a 4 3

∵ A 2 3, 3 在双曲线上,∴ ? 由③④得 a 2 ?

?

?

9 12 ? ?1 a2 b2



9 , b2 ? 4 4

∴所求双曲线方程为:

y2 x2 5 ? ? 1 且离心率 e ? 9 4 3 4

解法二:设与双曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 共渐近线的双曲线方程为: ? ? ? ?? ? 0 ? 16 9 16 9
12 9 1 ? ?? 16 9 4

∵点 A 2 3, 3 在双曲线上,∴ ? ? ?

?

?

∴所求双曲线方程为:

y2 x2 x2 y2 1 ?1. ? ? ? ,即 ? 9 4 16 9 4 4

点评:一般地,在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下,利用双曲线系方 程

x2 y2 ? ? ? ?? ? 0 ? 求双曲线方程较为方便.通常是根据题设中的另一条件确定参数 ? . a2 b2

例 2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响, 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的 距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点 均在同一平面上) 解:如图: 以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、B、C 分 别是西、东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020) 设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故 P 在 AC 的垂直平分 线 PO 上, 的方程为 y=-x, B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声, PO 因 故|PB|- |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 依题意得 a=680, c=1020,

x2 y2 ? 2 ? 1 上, a2 b

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? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 1020 2 ? 680 2 ? 5 ? 340 2 故双曲线方程为 x y ? ?1 2 680 5 ? 340 2
2 2

y P A C o B x

用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|,

? x ? ?680 5 , y ? 680 5 , 即P(?680 5 ,680 5 ), 故PO ? 680 10
答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处. 例2

例 3.双曲线

x2 y2 ,且点(1, ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b) a2 b2
4 c. 求双曲线的离心率 e 的取值 5

0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s ? 范围. 解:直线 l 的方程为

x y ? ? 1 ,即 a b

bx ? ay ? ab ? 0.

由点到直线的距离公式,且 a ? 1 ,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 ?

b(a ? 1) a2 ? b2



同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d 2 ?

b(a ? 1) a2 ? b2

s ? d1 ? d 2 ?
由s ?

2ab a2 ? b2

?

2ab . c


4 2ab 4 c, 得 ? c, 5 c 5

5a c 2 ? a 2 ? 2c 2 .

于是得

5 e 2 ? 1 ? 2e 2 ,

即4e 4 ? 25e 2 ? 25 ? 0.

解不等式,得

5 5 ? e ? 5. ? e 2 ? 5. 由于 e ? 1 ? 0, 所以 e 的取值范围是 2 4

点拨:本小题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.

【反馈练习】

x2 y2 ? ? ?1 的渐近线方程为 y ? ? 2 x 1.双曲线 2 4
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2.已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (?4, , (4, ,则双曲线方程为 0) 0)

x2 y 2 ? ?1 4 12

3.已知双曲线的两个焦点为 F1 (? 5 ,0) , 2 ( 5 ,0) , 是此双曲线上的一点, PF1 ? PF2 , P 且 F

x2 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是 ? y 2 ? 1 4 x 2 y2 4. 设 P 是双曲线 2 - = 上一点, 双曲线的一条渐近线方程为 3 x ? 2 y ? 0 ,F1 、F2 分 1 a 9
别是双曲线左右焦点,若 PF1 =3,则 PF2 =7

x2 y2 x2 y 2 ? ?1 5.与椭圆 ? ? 1 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程 25 5 20 ? 2 10 2 10

? 6. (1)求中心在原点,对称轴为坐标轴经过点 P ?1, 3? 且离心率为 2 的双曲线标准方程.
(2) 求以曲线 2 x ? y ? 4 x ? 10 ? 0 和 y ? 2 x ? 2 的交点与原点的连线为渐近线, 且实轴
2 2 2

长为 12 的双曲线的标准方程. 解: (1)设所求双曲线方程为:

x2 y2 1 ?? 3? ? ? 1?k ? 0 ? ,则 ? ?1, k k k k
2



y2 x2 1 9 ?1 ? ? 1 ,∴ k ? ?8 ,∴所求双曲线方程为 ? 8 8 k k
?2 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 10 ? 0 ?x ? 3 ?x ? 3 2 ? ,∴ ? 或? ,∴渐近线方程为 y ? ? x 2 3 ? y ? 2x ? 2 ? y ? 2 ? y ? ?2 ?
b 2 ? 且 a ? 6 ,得 b ? 4 . a 3

(2)∵ ?

当焦点在 x 轴上时,由

∴所求双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 36 16
a 2 ? ,且 a ? 6 ,得 b ? 9 . b 3

当焦点在 y 轴上时,由

∴所求双曲线方程为

y2 x2 ? ?1 36 81

7.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 (0 ? a ? b) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a , 0) 、 (0 , b) 两点,且原点到 a2 b2

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直线 l 的距离为

3 c ,求双曲线的离心率. 4
c 的值. a

分析:由两点式得直线 l 的方程,再由双曲线中 a 、b 、 c 的关系及原点到直线 l 的距离建立 等式,从而解出

解:由 l 过两点 (a , 0) , (0 , b) ,得 l 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 .

由点到 l 的距离为

3 ab 3 c ,得 ? c. 2 2 4 4 a ?b

将b ?

c 2 ? a 2 代入,平方后整理,得16(

a2 2 a2 ) ? 16 ? 2 ? 3 ? 0 . c2 c



a2 3 1 ? x ,则 16 x 2 ? 16 x ? 3 ? 0 .解得 x ? 或 x ? . 2 c 4 4
c ,有 e ? a

而e ?

1 2 3 .故 e ? 或e ? 2. x 3

c a2 ? b2 b2 ? 1? 2 ? 2 , 因 0 ? a ? b ,故 e ? ? a a a
所以应舍去 e ?

2 3 .故所求离心率 e ? 2 . 3
2 3 .其原因是未注意到题设条件 (0 ? a ? b) , 3

说明:此题易得出错误答案: e ? 2 或 e ?

从而离心率 e ?

2 .而

2 3 ? 2 ,故应舍去. 3

8.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1 , F2 在坐标轴上,离心率为 2 ,且过点 4, ? 10 . (1)求双曲线方程; (2)若点 M ? 3, m ? 在双曲线上,求证: MF1 ? MF2 ? 0 ; (3)对于(2)中的点 M ,求 ?F1 MF2 的面积.
2 2 解: (1)由题意,可设双曲线方程为 x ? y ? ? ,又双曲线过点 4, ? 10 ,解得 ? ? 6

?

?

???? ????? ?

?

?

∴ 双曲线方程为 x ? y ? 6 ;
2 2

(2)由(1)可知, a ? b ?

6 ,c ? 2 3 ,

∴ F1 ?2 3, 0 , F2 2 3, 0

?

?

?

?

第 12 页 共 21 页

∴ MF1 ? ?2 3 ? 3, ? m , MF2 ? 2 3 ? 3, ? m , ∴ MF1 ?MF2 ? m ? 3 ,
2

???? ?

?

?

?????

?

?

???? ?????? ?

又点 M ? 3, m ? 在双曲线上, ∴ 9 ? m 2 ? 6 , ∴ m 2 ? 3 , 即 MF1 ? MF2 ? 0 ; (3) S ? F1MF2 ?

???? ????? ?

1 1 F1 F2 m ? ? 4 3 ? 3 ? 6 ∴ ?F1 MF2 的面积为 6. 2 2

第4课
【考点导读】

抛物线

1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质. 2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题. 【基础练习】 1.焦点在直线 x-2y-4=0 上的抛物线的标准方程是 y =16x或x ? ?8 y
2 2

x2 y 2 2.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 4 6 2
2

3.抛物线 y ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是__(a,0)_
2

4.抛物线 y ? 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是 6, 6 2
2

?

?

5. P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点, 点 则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与 P 到直线 x ? ?1 的距离
2

和的最小值 2

【范例导析】 例 1. 给定抛物线 y2=2x,设 A(a,0) ,a>0,P 是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求 d 的最小值. 解:设 P(x0,y0) 0≥0) (x ,则 y02=2x0,
2 ∴d=|PA|= ( x 0 ? a ) 2 ? y 0

= ( x 0 ? a ) 2 ? 2 x 0 = [ x 0 ? (1 ? a )] 2 ? 2a ? 1 . ∵a>0,x0≥0, ∴(1)当 0<a<1 时,1-a>0, 此时有 x0=0 时,dmin= (1 ? a ) 2 ? 2a ? 1 =a. (2)当 a≥1 时,1-a≤0, 此时有 x0=a-1 时,dmin= 2a ? 1 .
第 13 页 共 21 页

例 2.如图所示,直线 l1 和 l2 相交于点 M, l1 ⊥ l2 ,点 N ? l1 ,以 A、B 为端点的曲线段 C 上 的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等, 若△AMN 为锐角三角形,AM ? 且 BN ? 6 ,建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程.

7 ,AN ? 3 ,

分析:因为曲线段 C 上的任一点是以点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段,所以本题 关键是建立适当坐标系,确定 C 所满足的抛物线方程. 解:以 l1 为 x 轴,MN 的中点为坐标原点 O,建立直角坐标系. 例2 由题意,曲线段 C 是 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段,其中 A、B 分别 为曲线段的两端点. ∴设曲线段 C 满足的抛物线方程为: y ? 2 px( p ? 0)( x A ? x ? xB , y ? 0), 其
2

中 x A 、 xB 为 A、B 的横坐标 令 MN ? p, 则 M (?

p p ,0), N ( ,0) ,? AM ? 17 , AN ? 3 2 2

? ?( x A ? ? ∴由两点间的距离公式,得方程组: ? ?( x ? ? A ?
∵△AMN 为锐角三角形,∴

p 2 ) ? 2 px A ? 17 2 p 2 ) ? 2 px A ? 9 2

解得 ?

?p ? 4 ?p ? 2 或? ? xA ? 1 ? xA ? 2

p ? x A ,则 p ? 4 , x A ? 1 2 p ? 6?2 ? 4 2

又 B 在曲线段 C 上,? xB ? BN ?

则曲线段 C 的方程为 y ? 8 x(1 ? x ? 4, y ? 0).
2

【反馈练习】 1.抛物线 x ?

y2 的准线方程是 x ? ?2 8

第 14 页 共 21 页

2.抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点到其准线的距离是
2 2

|a| 2

3.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,A 为抛物线上的一点,若 OA ? AF ? ?4 , 则点 A 的坐标为 2, 2 ?
2

?

2

?
4 3
2

4.抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是

5.若直线 l 过抛物线 y ? ax (a>0)的焦点,并且与 y 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段长为 4,则 a=

1 4

6.某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求其中最 长的支柱的长.

解:以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系, 如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B 坐标分别为(-10,-4) 、(10,-4) 设抛物线方程为 x2=-2py,将 A 点坐标代入,得 100=-2p× (-4),解得 p=12.5, 于是抛物线方程为 x2=-25y.

第6题 由题意知 E 点坐标为(2,-4),E′点横坐标也为 2,将 2 代入得 y=-0.16,从而|EE′|= (-0.16)-(-4)=3.84.故最长支柱长应为 3.84 米. 7.已知抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴,且过点 P(2,2) ,过 F 的直线交抛物 线于 A,B 两点.(1)求抛物线的方程; (2)设直线 l 是抛物线的准线,求证:以 AB 为直径的圆与直线 l 相切. 分析:可设抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0) .用待定系数法求得方程,对于第二问的证明只
2

第 15 页 共 21 页

须证明

AB 2

? MM 1 ,则以 AB 为直径的圆,必与抛物线准线相切.

解: (1)设抛物线的方程 y ? 2 px ? p ? 0 ? ,将(2,2)代入得 p ? 1 ∴所求抛物线方程为
2

y2 ? 2x
(2)证明:作 AA1 ? l 于 A1 , BB1 ? l 于 B1 .M 为 AB 中点,作 MM 1 ? l 于 M 1 ,则由抛物 线的定义可知: AA1 ? AF , BB1 ? BF 在直角梯形 BB1 A1 A 中:

1 1 1 ( AA1 ? BB1 ) ? ( AF ? BF ) ? AB 2 2 2 1 ? MM 1 ? AB ,故以 AB 为直径的圆,必与抛物线的准线相切. 2 MM 1 ?
点拨:类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲线焦点弦 为直径的圆与相应的准线相交.

第5课
【考点导读】 1. 了解圆锥曲线的第二定义.

圆锥曲线的统一定义

2. 能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题. 【基础练习】 1.抛物线 y ? 6 x 的焦点的坐标是 ( , 0) , 准线方程是 x ? ?
2

3 2

3 2
2 x ,那么

2..如果双曲线的两个焦点分别为 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) ,一条渐近线方程为 y ? 它的两条准线间的距离是 2

3.若双曲线

x2 1 1 ? y 2 ? 1 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,则 m = m 3 8
2

4.点 M 与点 F (4, 0) 的距离比它到直线: x ? 5 ? 0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是 y ? 16 x 【范例导析】 例 1.已知双曲线的渐近线方程为 3 x ? 2 y ? 0 ,两条准线间的距离为 方程.
第 16 页 共 21 页

16 13 ,求双曲线标准 13

分析: (可根据双曲线方程与渐近线方程的关系,设出双曲线方程,进而求出双曲线标准方 程. 解:∵双曲线渐近线方程为 y ? ?

x2 y2 2 ? ? 1?? ? 0 ? x ,∴设双曲线方程为 4? 9? 3

①若 ? ? 0 ,则 a 2 ? 4? , b 2 ? 9? ∴准线方程为: x ? ?

8 13? 16 13 a2 4 13 ,∴ ? ? 4 ? ?? ? ,∴ 13 13 c 13

②若 ? ? 0 ,则 a 2 ? ?9? , b 2 ? ?4? ∴准线方程为: y ? ?

a2 9 ? 13? 18 ? 13? 16 13 64 ,∴ ,∴ ? ? ? ?? ? c 13 13 13 81

∴所求双曲线方程为:

x2 y2 9 y 2 81x 2 ? ?1或 ? ?1 16 36 64 256

点拨:求圆锥曲线方程时,一般先由条件设出所求方程,然后再根据条件列出基本的方程组 解方程组得出结果. 例 2.已知点 A?3,? ,F ?2,? , 0 0 在双曲线 x ?
2

y2 1 使 ? 1 上求一点 P , PA ? PF 的值最小. 3 2

解:∵ a ? 1 , b ? 3 ,∴ c ? 2 ,∴ e ? 2

0 设点 P 到与焦点 F ?2,? 相应准线的距离为 d 则


PF d

?2

1 1 PF ? d ,∴ PA ? PF ? PA ? d 2 2 至此,将问题转化成在双曲线上求一点 P , 使 P 到定点 A 的距离与到准线距离和最小. 即到定点 A 的距离与准线距离和最小为直线 PA 垂直于准线时,
解之得,点 P?

? 21 ? 2? ? 3 ,? . ? ?

点拨: 灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中, 将会带给我们意想不到的方便和简单. 教 学中应着重培养学生灵活运用知识的能力. 【反馈练习】

x2 1 1 ? y 2 ? 1 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,则 m ? 1.若双曲线 m 3 8
2.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭
第 17 页 共 21 页

圆的离心率为

2 2

3.已知双曲线

x2 3 3 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 的一条准线为 x ? ,则该双曲线的离心率为 2 2 2 a

4 双曲线 8

x2 y2 ? ? 1 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2,则 P 点到左准线的距离为 16 9

第6课
【考点导读】

圆锥曲线综合

1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在 联系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问题. 2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想. 3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化, 并运用圆锥曲线知识解决实际问题. 【基础练习】 1. 给出下列四个结论: ①当 a 为任意实数时,直线 (a ? 1) x ? y ? 2a ? 1 ? 0 恒过定点 P,则过点 P 且焦点在 y 轴上 的抛物线的标准方程是 x 2 ?

4 y; 3

②已知双曲线的右焦点为(5,0) ,一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,则双曲线的标准方程是

x2 y2 ? ? 1; 5 20
③抛物线 y ? ax 2 (a ? 0)的准线方程为y ? ?

1 ; 4a

④已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,其离心率 e ? (1,2) ,则 m 的取值范围是(-12,0) 。 4 m

其中所有正确结论的个数是 4 2.设双曲线以椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的 25 9
1 2
第 18 页 共 21 页

渐近线的斜率为 ?

3.如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 x ? 2 y ? 8 ? 0 36 9
2

【范例导析】 例 1. 已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F,A、B 是热线上的两动点,且 AF ? ? FB (? ? 0). 过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M。 (I)证明 FM . AB 为定值; (II)设 ?ABM 的面积为 S,写出 S ? f (? ) 的表达式,并求 S 的最小值。

??? ?

??? ?

???? ??? ? ?

解: (1)F 点的坐标为(0,1)设 A 点的坐标为 ? x1 ,

? ?

x12 ? ? 4?

B 点的坐标为 ? x2 ,

? ?

2 x2 ? ? 4?

由 AF ? ? FB (? ? 0). 可得 ? ? x1 ,1 ?

??? ?

??? ?

? ?

? x2 ? x12 ? ? ? ? x2 , 2 ? 1? ? 4? 4 ? ?

?? x1 ? ? x2 ? 2 2 ? 因此 1 ? x1 ? ? ( x2 ? 1) ? ? 4 4

x12 x1 过 A 点的切线方程为 y ? ? ( x ? x1 ) 4 2
过 B 点的切线方程为 y ?
2 x2 x2 ? ( x ? x2 ) 4 2

(1)

(2)

解(1)( 2)构成的方程组可得点 M 的坐标,从而得到 FM ?AB =0 即为定值 (2) FM ?AB =0 可得 FM ? AB 三角形面积 S ? f (? ) ?

???? ??? ? ?

???? ??? ? ?

???? ?

??? ?

FM ? AB 2

FM ? ? ?

1

?

, AB ? ( ? ?

1

?

)2

所以 S ? f (? ) ?

FM ? AB 1 1 3 1 3 ? ( ?? ) ? ?2 ? 4 2 2 2 ?

当且仅当 ? ? 1 时取等号 点拨:本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识 点 涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大
第 19 页 共 21 页

【反馈练习】 1.已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线重合, 则该双曲线与抛物线 y ? 4 x 的交点到原点的距离是 21
2

2.设 F1,F2 分别是双曲线 x ?
2

???? ???? ? y2 ? 1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且 PF1 ?PF2 ? 0 , 9

则 PF1 ? PF2 ? 2 10

???? ???? ?

3.设 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,则 cos ?F1 PF2 的最小值是 9 4

?

1 9

4.已知以 F1(2,0) 2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个交点,则 ,F 椭圆的长轴长为 2 7 5. 双曲线 C 与椭圆 是y??

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,离心率互为倒数,则双曲线 C 的渐近线的方程 49 24

2 6 x 5

6.已知椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 在第一象限内的交点为 P ,则点 P 到椭圆右 25 9 9 7

焦点的距离等于__2 _ 7.如图,点 A 是椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的短轴位于 x 轴下方的端点,过 A 作斜率 a2 b2

为 1 的直线交椭圆于 B 点,点 P 在 y 轴上,且 BP∥x 轴, AB ? AP =9,若点 P 的坐标为(0, 1),求椭圆 C 的方程.
y

P O

B x A

第 20 页 共 21 页

8.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切

于坐标原点 O . 椭圆

x2 y 2 求圆 C ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 . a2 9

的方程. 解:设圆心坐标为(m,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8 已知该圆与直线 y=x 相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则

m?n 2

=2 2

即 m ? n =4



又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得 m2+n2=8 ② 联立方程①和②组成方程组解得

?m ? ?2 ? ?n ? 2
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8

p ?p ? 9.已知动圆过定点 ? ,0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 ,求动圆圆心 C 的轨迹的方 2 ?2 ?
程. 解: 如图, M 为动圆圆心, 设 ?

p ?p ? 过点 M 作直线 x ? ? 的垂线, 垂足为 N , ,0 ? 为记为 F , 2 ?2 ? p 的距离相等 2
的轨迹为抛物

由题意知: MF ? MN 即动点 M 到定点 F 与定直线 x ? ? 由抛物线的定义知,点 M 线,其中 F ?

?p ? ,0 ? 为焦点, ?2 ?

B
y

x??

p 为准线 2

所 以 轨 迹 方 程 为

y ? 2 px( P ? 0) ;
2

A

N

M

o

x
?p ? F ? ,0 ? ?2 ?

p x ? ?第 21 2

页 共 21 页

第9题


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