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2010年高三数学试题精编


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高考数学学习资料

第三章 四

数列

数列综合应用

【考点阐述】 数列综合应用 【考试要求】 (4)运用等差数列、等比数列及求和知识解决数列综合问题。 【考题分类】 (一)选择题(共 2 题)

1 a3 , 2a2 a a 1.(湖北卷文 7)已知等比数列{ m }中,各项都是正数,且 1 , 2 成等差数列,则
a9 ? a10 ? a7 ? a8
A. 1 ? 2 【答案】C B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2 D3? 2 2

2. (江西卷理 5) 等比数列 则

?an ? 中,a1 ? 2 ,a8 =4, f ? x ? ? x( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a8 ) , 函数

f ' ?0? ?
6

( ) B. 2
9

A. 2

C. 2

12

D. 2

15

【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数 学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有 x 项均取 0,则 有关;得:

f ' ? 0?

只与函数

f ? x?

的一次项

a1 ? a2 ? a3 ? a8 ? (a1a8 )4 ? 212



(二)填空题(共 1 题)

1. (辽宁卷理 16) 已知数列

? an ?

an a ? 33, an ?1 ? an ? 2n, n 满足 1 则 的最小值为_________ _.
1

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(三)解答题(共 14 题) 1.(安徽卷文 21)设

C1 , C2 ,?, Cn ,?

是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半

y?
轴上,且都与直线

3 x 3 相切,对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆

Cn?1

相互外切,以

rn

表示

Cn

的半径,已知

{rn }

为递增数列.

(Ⅰ)证明:

{rn }

为等比数列;

n { } r ?1 r (Ⅱ)设 1 ,求数列 n 的前 n 项和.
【命题意图】本题考查等比列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考察抽象概括 能力以及推理论证能力. 【解题指导】(1)求直线倾斜角的正弦,设

Cn

的圆心为

(?n , 0)

,得

?n ? 2rn ,同理得

?n ?1 ? 2rn ?1 , {r } r 结合两圆相切得圆心距与半径间的关系, 得两圆半径之间的关系, n 中 n ?1 即
n r {r } {r } r 与 n 的关系,证明 n 为等比数列; (2)利用 (1) 的结论求 n 的通项公式,代入数列 n ,
然后用错位相减法求和.

2

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【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题,通常利用几何知识,并结合图形,得出关 于数列相邻项

an



an ?1

之间的关系,然后根据这个递推关系,结合所求内容变形,得出通

项公式或其他所求结论.对于数列求和问题,若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成 的数列时,通常是利用前 n 项和

Sn

乘以公比,然后错位相减解决.
n?1

?1? 1 an a Sn Sn?1 S n ? 3 ? 2.(福建卷文 17)数列{ } 中 = 3 ,前 n 项和 满足 - =? ?
( I ) 求数列{

(n ? N ).
*

an

}的通项公式

an

以及前 n 项和

Sn



(II)若 S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列,求实数 t 的值。

3

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3.(湖北卷文 19)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位:m2),其中有部分 旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房,同事也拆 除面积为 b(单位:m2)的旧住房。 (Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式: (Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%,则每年拆除的 旧住房面积 b 是多少?(计算时取 1.15=1.6)

4.(湖南卷文 20)给出下面的数表序列:

4

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其中表 n(n=1,2,3 ? )有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5, ? 2n-1,从第 2 行起,每行 中的每个数都等于它肩上的两数之和。 (I)写出表 4,验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推 广到表 n(n≥3)(不要求证明); (II)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列 1,4,12 ? ,记此数列为

?bn ?



b3 b b ? 4 ?? n ? 2 b b b2b3 bnbn ?1 和: 1 2

5

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5.(江苏卷 19)设各项均为正数的数列

?a n ?的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列

? S ?是公差为 d 的等差数列。
n

(1)求数列

?a n ?的通项公式(用 n, d 表示);
S m ? S n ? cS k

(2)设 c 为实数, 对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k , 不等式

9 都成立。求证: c 的最大值为 2 。
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分 析及论证的能力。满分 16 分。 (1)由题意知: d ? 0 ,

Sn ? S1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d


2a2 ? a1 ? a3 ? 3a2 ? S3 ? 3( S2 ? S1 ) ? S3
化简,得:

3[( a1 ? d ) 2 ? a1 ]2 ? ( a1 ? 2d ) 2 ,

a1 ? 2 a1 ? d ? d 2 ? 0, a1 ? d , a1 ? d 2
, ,适合 n ? 1 情形。

Sn ? d ? (n ? 1)d ? nd , Sn ? n 2 d 2
当 n ? 2 时, 故所求

an ? Sn ? Sn ?1 ? n 2 d 2 ? (n ? 1)2 d 2 ? (2n ? 1)d 2

an ? (2n ? 1)d 2

(2)(方法一)

6

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c?


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Sm ? Sn ? cSk ? m2 d 2 ? n 2 d 2 ? c ? k 2 d 2 ? m2 ? n 2 ? c ? k 2

m2 ? n2 k 2 恒成立。

又 m ? n ? 3k且m ? n ,

2(m2 ? n 2 ) ? (m ? n) 2 ? 9k 2 ?

m2 ? n 2 9 ? k2 2,

c?


9 9 2 ,即 c 的最大值为 2 。
a1 ? d


(方法二)由

S n ? a1 ? (n ? 1)d

S ? n2 d 2 ,得 d ? 0 , n 。

于是,对满足题设的 m, n, k , m ? n ,有

S m ? S n ? (m 2 ? n 2 )d 2 ?
cmax ?

( m ? n) 2 2 9 2 2 9 d ? d k ? Sk 2 2 2 。

所以 c 的最大值

9 2。 9 3 3 m ? k ? 1, n ? k ? 1 2 。设 k 为偶数,令 2 2 ,则 m, n, k 符合条件,

a?
另一方面,任取实数

3 3 1 Sm ? Sn ? (m2 ? n 2 )d 2 ? d 2 [( k ? 1)2 ? ( k ? 1) 2 ] ? d 2 (9k 2 ? 4) 2 2 2 且 。

于是,只要 9k ? 4 ? 2ak ,即当
2 2

k?

2 1 Sm ? Sn ? d 2 ? 2ak 2 ? aSk 2a ? 9 时, 2 。

c?
所以满足条件的

9 9 cmax ? 2 ,从而 2。

9 因此 c 的最大值为 2 。
6.(江西卷理 22)证明以下命题:
2 2 2 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a ,b ,c 成等差数列。

存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长

an,bn,cn

为正整数且

an 2,bn 2,cn 2

成等差

数列。 【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。
2 2 2 (1)考虑到结构要证 a ? c ? 2b ,;类似勾股数进行拼凑。

7

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2 2 2

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证明:考虑到结构特征,取特值 1 ,5 , 7 满足等差数列,只需取 b=5a,c=7a,对一切正整 数 a 均能成立。 结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形, 再证明互不相似,且无穷。 证明:当 分解得:
2 2 2 an,bn,cn

成等差数列,则

2 2 2 2 bn ? an ? cn ? bn



(bn ? an )(bn ? an ) ? (cn ? bn )(cn ? bn )
2

选取关于 n 的一个多项式, 4n(n ? 1) 做两种途径的分解

4n(n2 ? 1) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n) ? (2n2 ? 2n)(2n ? 2) 4n(n2 ? 1)

对比目标式,构造 ,由第一问结论得,等差数列成立, 考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。 下证互不相似。

?an ? n 2 ? 2n ? 1 ? 2 ? bn ? n ? 1 (n ? 4) ? c ? n 2 ? 2n ? 1 ? n

m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 1 m 2 ? 2 m ? 1 ? 2 ? 2 n ? 1 n 2 ? 2n ? 1 , 任取正整数 m, 若△m, n 相似: n, △ 则三边对应成比例 n ? 2n ? 1
m ?1 m ? 1 ? ?m?n 由比例的性质得: n ? 1 n ? 1 ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。
7.(江西卷文 22)正实数数列 (1) 证明数列

{an }

中,

a1 ? 1, a2 ? 5

,且

2 {an }

成等差数列.

{an }

中有无穷多项为无理数;

(2)当 n 为何值时,

an

为整数,并求出使

an ? 200
,从而

的所有整数项的和. ,

证明:(1)由已知有: 方法一:取 n ? 1 ? 24 用反证法证明这些 假设 故

2 an ? 1 ? 24(n ? 1)

an ? 1 ? 24(n ? 1)
*

2 k ?1

,则

an ? 1 ? 24 2 k

(k?N )

an

都是无理数.

an ? 1 ? 24 2 k
.

为有理数,则 ,与
*

an

必为正整数,且

an ? 24k



an ? 24k ? 1 an ? 24k ? 1
an ? 1 ? 24 2 k

(an ? 24k )(an ? 24k ) ? 1

矛盾, 中有无穷多项为无理数;
8

所以

( k ? N )都是无理数,即数列

{an }

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方法二:因为
2 an?1 ? 1 ? 24n, (n ? N )

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,当 n 的末位数字是 3, 4,8,9 时,1 ? 24n 的末位数字

是3和7 , 它不是整数的平方, 也不是既约分数的平方, 故此时 因这种 n 有无穷多,故这种无理项 (2) 要使

an ?1 ? 1 ? 24n

不是有理数,

an ?1

也有无穷多. 可知:

an

为整数,由

(an ? 1)(an ? 1) ? 24(n ? 1)

an ? 1, an ? 1


同为偶数,且其中一个必为 3 的倍数,所以有 时,有

an ? 1 ? 6m



an ? 1 ? 6m

an ? 6m ? 1

2 an ? 36m2 ? 12m ? 1 ? 1 ? 12m(3m ? 1)

( m? N )

又 m(3m ? 1) 必为偶数,所以

an ? 6m ? 1

( m ? N )满足

2 an ? 1 ? 24(n ? 1)

n?
即 同理

m(3m ? 1) ?1 a 2 ( m ? N )时, n 为整数;

2 an ? 36m2 ? 12m ? 1 ? 1 ? 12m(3m ? 1)

an ? 6m ? 1(m ? N * ) a ? 1 ? 24(n ? 1)
2 n

(m? N )
*

n?
,即 和

也满足 显然

m(3m ? 1) ?1 * a 2 ( m ? N )时, n 为整数;
( m ? N )是数列中的不同项;

an ? 6m ? 1(m ? N * )

an ? 6m ? 1

n?
所以当 由 由 设

m(3m ? 1) m(3m ? 1) ?1 n? ?1 * a 2 2 ( m ? N )和 ( m ? N )时, n 为整数;
( m ? N )有 0 ? m ? 33 , ( m ? N )有 1 ? m ? 33 .
*

an ? 6m ? 1 ? 200 an ? 6m ? 1 ? 200
an
中满足

an ? 200

的所有整数项的和为 S ,则

S ? (5 ? 11 ? ? ? 197) ? (1 ? 7 ? ? ? 199)
8.(全国Ⅰ新卷理 17)设数列 求数列 令

?

5 ? 197 1 ? 199 ? 33 ? ? 34 ? 6733 2 2

?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3?22n?1

?an ? 的通项公式;
,求数列的前 n 项和

bn ? nan

Sn

解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,
9

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an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an ?1 ) ? ? ? (a2 ? a1 )] ? a1 ? 3(22 n?1 ? 22 n?3 ? ? ? 2) ? 2

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? 22( n?1)?1 。


a1 ? 2, an
}的通项公式为

所以数列{ (Ⅱ)由

an ? 22 n ?1



bn ? nan ? n ? 22 n ?1

知 ①

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ? ? n ? 22 n ?1
从而

22 ? Sn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ? ? ? n ? 22 n ?1
①-②得



(1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n ?1 ? n ? 22 n ?1





1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9

9. (上海卷理 20)已知数列 (1)证明: (2)求数列

?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N *

?an ? 1? 是等比数列;

?S n ? 的通项公式,并求出 n 为何值时, S n 取得最小值,并说明理由。

解 析 : (1) 当 n?1 时 , a1??14 ; 当 n≥2 时 , an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1 , 所 以 5 an ? 1 ? (an?1 ? 1) 6 , 又 a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? an ? 1 ? ?15 ? ? ? ?6? (2) 由(1)知: ?5? ? ? 解不等式 Sn<Sn?1,得 ? 6 ?
n?1 n ?1 n ?1 n ?1

?5? an ? 1 ? 15 ? ? ? ?6? ,得

?5? Sn ? 75 ? ? ? ?6? ,从而

? n ? 90

(n?N*);

?

2 2 n ? log 5 ? 1 ? 14.9 25 5, 6 ,当 n≥15 时,数列{Sn}单调递增;

同理可得,当 n≤15 时,数列{Sn}单调递减;故当 n?15 时,Sn 取得最小值. 10. (上海卷文 21)已知数列

?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N *

10

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(1)证明: (2)求数列

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?an ? 1? 是等比数列;

?S n ? 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .

解 析 : (1) 当 n?1 时 , a1??14 ; 当 n≥2 时 , an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1 , 所 以 5 an ? 1 ? (an?1 ? 1) 6 , 又 a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? an ? 1 ? ?15 ? ? ? ?6? (2) 由(1)知: ?5? ? ? 由 Sn?1>Sn,得 ? 6 ?
n?1 n ?1 n ?1 n ?1

?5? an ? 1 ?5 ? ? ? 1 ?6? , 得

?5? Sn ? 75 ? ? ? ?6? , 从而

? n ? 90

(n?N*);

?

2 2 n ? log 5 ? 1 ? 14.9 5, 6 25 ,最小正整数 n?15.

12. (天津卷理 22)在数列 等差数列,其公差为 (Ⅰ)若

?an ? 中,a1 ? 0 ,且对任意 k ? N * k ? N ,a2k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成

dk

。 成等比数列( k ? N * ); 成等比数列,其公比为

dk

=2k,证明

a2 k ?1 , a2 k , a2 k ? 2

(Ⅱ)若对任意 k ? N * ,

a2 k ?1 , a2 k , a2 k ? 2

qk

.

? 1 ? ? ? q1 ? ? qk ? 1 ? 是等差数列; (i)设 1.证明
3 k2 n ? 2n ? ? ? 2(n ? 2) a ?2 2 k ?2 ak (ii)若 2 ,证明
【命题意图】 本小题主要考查等差数列的定义及通项公式, n 项和公式、 前 等比数列的定义、 数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨 论的思想方法。

a ?a ? 4k , k ? N * 2k ? 1 2k ? 1 【解析】(Ⅰ)证明:由题设,可得 。
所以 2k ? 1

a

? a1 ? (a ?a ) ? (a ?a ) ? ... ? (a3 ? a1 ) 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3

= 4k ? 4(k ? 1) ? ... ? 4 ?1 =2k(k+1) 由

a1

=0,得 2k ? 1

a

? 2k (k ? 1), 从而a ? a ? 2k ? 2k 2 , a ? 2(k ? 1) 2 . 2k 2k ? 1 2k ? 2

a a a a 2k ? 1 ? k ? 1 , 2k ? 2 ? k ? 1 , 所以 2k ? 2 ? 2k ? 1 a k a k a a 2k ? 1 2k ? 1 2k 。 于是 2k
11

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d k ? 2k时,对任意k ? N * , a , a ,a 2k 2k ? 1 2k ? 2 成等比数列。 所以
(Ⅱ)证法一:(i)证明:由 2k ? 1

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a

, a2 k , a a ,a ,a 2k ? 1 成等差数列,及 2k 2k ? 1 2k ? 2 成

a a 2a ? a ?a , 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 1 ? qk 2k 2k ? 1 2k ? 1 a a q 2k 2k k ?1 等比数列,得


q1

≠1 时,可知

qk

≠1,k ? N

*

1 q k ?1
从而

? 2?

1 1 q k ?1 ?1

?

q ?1 k ?1

1

? 1,即

1 q k ?1

?

q ?1 k ?1

1

? 1(k ? 2)

? ? 1 ? ? ? ? ? qk ? 1 ? ? 是等差数列,公差为 1。 所以 ?
q1 ?

(Ⅱ)证明:

a1 ? 0



a2 ? 2

,可得

a3 ? 4

,从而

1 4 ? 2, q ? 1 2 1 =1.由(Ⅰ)有

1 q k ?1

? 1 ? k ? 1 ? k , 得qk ? k ? 1 , k ? N * k

2 a a a ( ) 2k ? 2 ? 2k ? 1 ? k ? 1 , 从而 2k ? 2 ? k ? 1 ,k ? N * a a k a k2 2k 2k 所以 2k ? 1

因此,

a2 k ?

2 a a a (k ? 1)2 22 2k . 2k ? 2 .... 4 .a ? k . ... .2 ? 2k 2 .a ? a . k ? 1 ? 2k (k ? 1), k ? N * 2 (k ? 1)2 (k ? 2)2 12 2k ? 1 2k k a a a 2k ? 2 2k ? 4 2

以下分两种情况进行讨论: 当 n 为偶数时,设 n=2m( m ? N )
*

k2 2n ? ? ? 2 k ? 2 ak 若 m=1,则 .
n

若 m≥2,则
m m k2 (2k ) 2 m ?1 (2k ? 1) 2 4k 2 ?? ?? ?? 2 ? a k ?1 a a2 k ?1 k ?2 k k ?1 k ?1 2k 2k + n

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m ?1

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m ?1 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 4k 2 ? 4k ? 1 1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? ? ? 2m ? ? ? 2 ? ? ? ? 2k (k ? 1) ? ? 2k ( k ? 1) ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 k ?1 ? 2 k ( k ? 1) k ?1 ? ?

1 1 3 1 ? 2m ? 2(m ? 1) ? (1 ? ) ? 2n ? ? 2 m 2 n.
n k2 3 1 3 k2 2n ? ? ? ? , 从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 4, 6,8... 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak 所以 n

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ? N )
*

k 2 2 m k 2 (2m ? 1) 3 1 (2m ? 1) 2 ? 4m ? ? ? ?a ??a ? a 2 2m 2m(m ? 1) k ?2 k k ?2 k 2 m ?1
n 2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2(m ? 1) 2 n ?1
2n ? ?
n k2 3 1 3 k2 ? ? , ? 2n ? ? ? 2, n ? 3,5, 7 2 n ? 1 从而 2 k ? 2 ak k ? 2 ak ··· n

所以

n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 ? 2 k ? 2 ak 综合(1)(2)可知,对任意 n ? 2 , n ? N ,有

证法二:(i)证明:由题设,可得

dk ? a2 k ?1 ? a2 k ? qk a2 k ? a2 k ? a2 k (qk ? 1),
所以

d k ?1 ? a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk 2 a2 k ? qk a2 k ? a2 k qk (qk ? 1),

d k ?1 ? qk d k

qk ?1 ?

a2 k ?3 a2 k ? 2 ? d k ?1 d d q ?1 ? ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? k ? 1 ? k a2 k ? 2 a2 k ? 2 qk a2 k qk a2 k qk 1 ?

q 1 1 ? k ? ?1 q1 ? 1 qk ? 1, k ? N * qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ? 1 由 可知 。可得 ,

? 1 ? ? ? ? qk ? 1 ? 是等差数列,公差为 1。 所以
(ii)证明:因为

a1 ? 0, a2 ? 2,
q1 ?
,从而

所以

d1 ? a2 ? a1 ? 2



所以

a3 ? a2 ? d1 ? 4

? 1 ? a3 1 ?2 ?1 ? ? a2 q ? 1 。于是,由(i)可知所以 ? qk ? 1 ? 是 , 1

1 k ?1 q ? qk ? 1 = 1 ? ? k ? 1? ? k ,故 k k 。 公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得
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d k ?1 k ?1 ? qk ? d k 。 从而 k

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dk d d d k k ?1 2 ? k . k ?1 ........ 2 ? . ...... ? k d ?2 d d k ?1 d k ? 2 d1 k ? 1 k ? 2 1 所以 1 ,由 1 ,可得

d k ? 2k



于是,由(i)可知 以下同证法一。

a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? , a2 k ? 2k 2 , k ? N *

13. (天津卷文 22)在数列 其公差为 2k. (Ⅰ)证明

?a n ? 中, a 1 =0,且对任意 k? N* , a 2k ?1 , a 2k , a 2k+1 成等差数列,

a4 , a5 , a6

成等比数列;

(Ⅱ)求数列

?an ? 的通项公式;
22 32 n2 3 ? ? ? ?? ? ? 2n ? Tn ? (n ? 2) 2 a2 a3 an ,证明 2 .

Tn ?
(Ⅲ)记

【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和 等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想 方法。 【解析】(I)证明:由题设可知,

a2 ? a1 ? 2 ? 2



a3 ? a2 ? 2 ? 4



a4 ? a3 ? 4 ? 8



a5 ? a4 ? 4 ? 12 a6 ? a5 ? 6 ? 18

, 。

a6 a5 3 ? ? a5 a4 2 ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列。 从而
(II)解:由题设可得 所以

a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? 4k , k ? N *

a2 k ?1 ? a1 ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?3 ? ? ... ? a3 ? a1 ? ? 4k ? 4 ? k ? 1? ? ... ? 4 ?1 ? 2k ? k ? 1? , k ? N *
.



a1 ? 0

,得

a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1?

,从而

a2 k ? a2 k ?1 ? 2k ? 2k 2

.

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? n2 ? 1 ? 2 , n为奇数 ? an ? ? 2 n n 2 ? ?1? ? 1 ? n , n为偶数 an ? ? ?a ? ?2 ? 2 4 所以数列 n 的通项公式为 或写为 , n ? N *。
(III)证明:由(II)可知 以下分两种情况进行讨论: 当 n 为偶数时,设 n=2m

a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1?



a2 k ? 2k 2



? m ? N *?

若 m ? 1,则

2n ? ?

k2 ?2 k ? 2 ak ,
n

若 m ? 2 ,则
m ? 2k ? ? m ?1 ? 2k ? 1? ? m 4k 2 ? m ?1 4k 2 ? 4k ? 1 k2 ?? ? a k ?1 a ? a ? 2k 2 ? 2k ? k ? 1? k ?2 k k ?1 k ?1 k ?1 2k 2 k ?1 n 2 2 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? ? ? ? 2m ? ? ? 2 ? ? ? ? 2k ? k ? 1? ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 ? 2 k ? k ? 1? k ?1 ? ? m ?1

1? 1? 3 1 ? 2m ? 2 ? m ? 1? ? ?1 ? ? ? 2n ? ? 2? m? 2 n.
n k2 3 1 3 k2 2n ? ? ? ? ? 2n ? ? ? 2, n ? 4, 6,8,.... 2 n ,从而 2 k ? 2 ak k ? 2 ak 所以 n

当 n 为奇数时,设
n

n ? 2 m ? 1 ? m ? N *?
2


2

? 2m ? 1? k 2 2 m k 2 ? 2m ? 1? 3 1 ? 4m ? ? ? ?a ??a ? a 2 2m 2m ? m ? 1? k ?2 k k ?2 k 2 m ?1
1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2 ? m ? 1? 2 n ?1
n k2 3 1 3 k2 2n ? ? ? ? ? 2n ? ? ? 2, n ? 3,5, 7,.... 2 n ? 1 ,从而 2 k ? 2 ak k ? 2 ak 所以 n

3 ? 2n ? Tn ? 2. n ? 2, n ? N *, 有 2 综合(1)和(2)可知,对任意

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xn ?1 ?
满足

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14. (上海春卷 23)已知首项为 x1 的数列

{x n }

axn xn ? 1 ( a 为常数)。

* x ? xn (1)若对于任意的 x1 ? ?1 ,有 n ?2 对于任意的 n ? N 都成立,求 a 的值;

{x } (2)当 a ? 1 时,若 x1 ? 0 ,数列 n 是递增数列还是递减数列?请说明理由;
(3)当 a 确定后,数列 “

{x n }

由其首项 x1 确定,当 a ? 2 时,通过对数列

{x n }

的探究,写出

{x n }

是有穷数列”的一个真命题(不必证明)。

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