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高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试


推理与证明 第 1 课时
基础过关 1. 推理一般包括合情推理和演绎推理; 2.合情推理包括 和 ; 归纳推理:从个别事实中推演出 ,这样的推理通常称为归纳推理;归纳 推理的思维过程是: 、 、 . 类比推理:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面 也 或 ,这样的推理称为类比推理,类比推理的思维过程 是: 、 、 . 3.演绎推理: 演绎推理是 , 按照严格的逻辑法则得到的 推理过 程;三段论常用格式为:①M 是 P,② ,③S 是 P;其中①是 ,它提供 了一个个一般性原理;②是 ,它指出了一个个特殊对象;③是 ,它根 据一般原理,对特殊情况作出的判断. 4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等) 、实验和实践的结 果, 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程, 归纳和类比是合情推理常用的思维 方法;在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有得 于创新意识的培养。 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论, 按照严格的逻辑法则得到的 新结论的推理过程. 典型例题
2 ? 2 ? 2 ? 例 1. 已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ?

合情推理与演绎推理

3 3 2 ? 2 ? 2 ? ; sin 5 ? sin 65 ? sin 125 ? 2 2

通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题:

3 ( * )并给出( * )式的证明. 2 3 2 2 ? 2 ? 解:一般形式: sin ? ? sin (? ? 60 ) ? sin (? ? 120 ) ? 2
________________________________________=

1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 120? ) 1 ? cos(2? ? 240? ) ? ? 证明:左边 = 2 2 2
3 1 ? [cos 2? ? cos( 2? ? 120 ? ) ? cos( 2? ? 240 ? )] 2 2 3 1 ? ? ? ? = ? [cos 2? ? cos 2? cos 120 ? sin 2? sin 120 ? cos 2 cos 240 ? sin 2? sin 240 ] 2 2
= =

3 3 1 1 3 1 3 ? [cos2? ? cos2? ? sin 2? ? cos2? ? sin 2? ] = ? 右边 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2

(将一般形式写成 sin (? ? 60 ) ? sin ? ? sin (? ? 60 ) ?

3 , 2

sin 2 (? ? 240? ) ? sin 2 (? ? 120? ) ? sin 2 ? ?
'

3 等均正确。) 2
'

变式训练 1:设 f 0 ( x) ? cos x, f1 ( x) ? f 0 ( x) , f 2 ( x) ? f1 ( x),
第 1 页 共 1 页

, fn?1 ( x) ? fn' ( x) ,n∈N,

则 f 2008 ( x) ? 解: cos x ,由归纳推理可知其周期是 4 例 2. 在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形, 按图所标边长,由勾股定理有: c ? a ? b .
2 2 2

设想正方形换成正方体, 把截线换成如图的截面, 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的 三棱锥 O—LMN,如果用 s1 , s2 , s3 表示三个侧面面积, s4 表示截面面积,那么你类比得到的 结论是 .

2 2 2 解: S12 ? S 2 。 ? S3 ? S4

变式训练 2:在△ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆的半径 r ? 把上面的结论推广到空间,写出相类似的结论。 答案:本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形, 所以在空间中我们可以选取有 3 个面两两垂直的四面体来考虑。 取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体 A—BCD,且 AB=a,AC=b,AD=c, 则此三棱锥的外接球的半径是 r ?
a2 ? b2 ? c2 。 2

a2 ? b2 , 2

2 a12 a2 例 3. 请你把不等式“若 a1 , a 2 是正实数,则有 ? ? a1 ? a2 ”推广到一般情形,并证 a2 a1

明你的结论。 答案: 推广的结论:若 a1 , a2 ,?, an 都是正数,
2 a2 a2 a12 a2 ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ?an a 2 a3 an?1 a1 2 a12 a2 ∴ ? a2 ? 2a1 , ? a1 ? 2a 2 a2 a1

证明: ∵ a1 , a2 ,?, an 都是正数

???,

2 an a2 ?1 ? an ? 2an?1 , n ? a1 ? 2a n an a1

2 a2 a2 a12 a2 ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ?an a 2 a3 an?1 a1

第 2 页 共 2 页

变式训练 3:观察式子: 1 ? ( )
1 2
2

1 2
2

?

3 1 1 5 1 1 1 7 ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,?,则可归纳出式子为 2 3 4 2 3 2 3 4

A、 1 ? C、 1 ?

?
?

1 3
2

??
??

1 n
2

?
?

1 2n ? 1
2n ? 1 n

B、 1 ? D、 1 ?

1 2
2

?
?

1 3
2

??
??

1 n
2

?
?

1 2n ? 1
2n 2n ? 1

1 22

1 32

1 n2

1 22

1 32

1 n2

答案:C。解析:用 n=2 代入选项判断。 例 4. 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b? ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误
?

的,这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案:A。解析:直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。 变式训练 4:“? AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线,? AC,BD 互相垂直且平分。 ”补充以上推理 的大前提是 。 答案:菱形对角线互相垂直且平分

第 2 课时
基础过关

直接证明与间接证明⑴

1.直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明; 直接证明的两种基本方法——分析法和综合法 ⑴ 综合法 —— ;⑵分析法 —— ; 2. 间接证明:间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证 明方法;反证法即从 开始,经过正确的推理,说明假设错误,从而证明了原命 题成立,这样的证明方法叫做反证法(归谬法).

典型例题 例 1.若 a, b, c 均为实数,且 a ? x2 ? 2 y ? , b ? y 2 ? 2 z ? , c ? z 2 ? 2 x ?
2 3

?

?

?
6



求证: a, b, c 中至少有一个大于 0。 答案:(用反证法) 假设 a, b, c 都不大于 0,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,则有 a ? b ? c ? 0 , 而 a ? b ? c ? ( x2 ? 2 y ? ) ? ( y 2 ? 2z ? ) ? ( z 2 ? 2x ? ) ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( z ? 1)2 ? ( ?
2 3 6 2

?

?

?

?

?
3

?

?
6

)?3

= ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( z ? 1)2 ? ? ? 3 ∴ ( x ? 1)2 , ( y ? 1)2 , ( z ? 1)2 均大于或等于 0, ? ? 3 ? 0 ,∴ a ? b ? c ? 0 ,这与假设 a ? b ? c ? 0 矛盾, 故 a, b, c 中至少有一个大于 0。 变式训练 1:用反证法证明命题“ a , b ? N , ab 可以被 5 整除,那么 a , b 中至少有一个能被 5 整 除。”那么假设的内容是 答案:a,b 中没有一个能被 5 整除。解析:“至少有 n 个”的否定是“最多有 n-1 个”。
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例 2. △ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列, 求证:
1 1 3 。 ? ? a?b b?c a?b?c 1 1 3 a?b?c a?b?c ,即需证 ? ? ? ?3。 a?b b?c a?b b?c a?b?c

答案:证明:要证 即证

c a ? ?1。 a?b b?c

又需证 c(b ? c) ? a(a ? b) ? (a ? b)(b ? c) ,需证 c 2 ? a 2 ? ac ? b2 ∵△ABC 三个内角 A、B、C 成等差数列。∴B=60°。 由余弦定理,有 b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos60? ,即 b2 ? c 2 ? a 2 ? ac 。 ∴ c 2 ? a 2 ? ac ? b2 成立,命题得证。 变式训练 2:用分析法证明:若 a>0,则 a 2 ? 答案:证明:要证 a 2 ? 只需证 a 2 ?
1 a
2

1 a
2

? 2 ? a?

1 ?2。 a

1 a
2

? 2 ? a?

1 ?2, a

?2? a?

1 ? 2。 a 1 a2 ? 2) 2 ? ( a ? 1 ? 2 )2 a

∵a>0,∴两边均大于零,因此只需证 ( a 2 ? 只需证 a 2 ?
1 a2
a

? 4 ? 4 a2 ?
?

1 a2

? a2 ?

1 a2

1 ? 2 ? 2 ? 2 2 (a ? ) , a

只需证 a 2 ? 即证 a2 ?
1 a2

1
2

2 1 1 1 1 ( a ? ) ,只需证 a 2 ? ? (a 2 ? 2 ? 2) , 2 a a2 2 a

? 2 ,它显然成立。∴原不等式成立。
2 2

例 3.已知数列 ?an ? , an ? 0 , a1 ? 0 , an?1 ? an?1 ? 1 ? an (n ? N ? ) . 记

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an . Tn ?
求证:当 n ? N 时, (1) an ? a n ?1 ; (2) S n ? n ? 2 ; (3) Tn ? 3 。
?

1 1 1 . ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ?(1 ? an )

解:(1)证明:用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,因为 a2 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的正根,所以 a1 ? a2 .
2

②假设当 n ? k (k ? N ) 时, ak ? ak ?1 ,
*

第 4 页 共 4 页

2 因为 ak ?12 ? ak ? (ak ?22 ? ak ?2 ?1) ? (ak ?12 ? ak ?1 ?1)

? (ak ?2 ? ak ?1 )(ak ?2 ? ak ?1 ? 1) ,
所以 ak ?1 ? ak ?2 . 即当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 也成立. 根据①和②,可知 an ? an?1 对任何 n ? N 都成立.
*

, 2, , n ? 1 ( n ≥ 2 ), (2)证明:由 ak ?12 ? ak ?1 ?1 ? ak 2 , k ? 1
2 得 an ? (a2 ? a3 ?

? an ) ? (n ?1) ? a12 .

2 因为 a1 ? 0 ,所以 Sn ? n ?1 ? an . 2 由 an ? an?1 及 an?1 ? 1 ? an ? 2an?12 ? 1得 an ? 1 ,

所以 Sn ? n ? 2 . (3)证明:由 ak ?12 ? ak ?1 ? 1 ? ak 2 ≥ 2ak ,得

a 1 ≤ k ?1 (k ? 2, 3, , n ? 1 ,n ≥ 3) 1 ? ak ?1 2ak
所以

1 (1 ? a3 )(1 ? a4 ) 1 (1 ? a2 )(1 ? a3 )

(1 ? an )



2

n n?2

a

a2

(a ≥ 3) ,

于是

(1 ? an )



2

n?2

an a 1 ? nn ? n ?2 (n ≥ 3) , 2 ?2 (a2 ? a2 ) 2 2
? 3,

故当 n ≥ 3 时, Tn ? 1 ? 1 ? 又因为 T1 ? T2 ? T3 , 所以 Tn ? 3 .

1 ? 2

?

1 2
n?2

第 5 页 共 5 页

推理与证明章节测试题
1.考察下列一组不等式: 23 ? 53 ? 2 2 ? 5 ? 2 ? 52 ,

2 4 ? 54 ? 23 ? 5 ? 2 ? 53 ,
. ,

25 ? 55 ? 23 ? 52 ? 2 2 ? 53 ,?? .将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,
使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式可以是 2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ?

1 ? an * ( n ? N ),则 a3 的值为 1 ? an


a1 ? a2 ? a3 ?

? a2007 的值为

2 f ( x) ,猜想 f ( x) 的表达式为( ) , f (1) ? 1 (x ? N *) f ( x) ? 2 4 2 1 2 A. f ( x ) ? x ; B. f ( x ) ? ; C. f ( x ) ? ; D. f ( x) ? . 2 ?2 x ?1 x ?1 2x ?1 ? 4. 某纺织厂的一个车间有技术工人 m 名( m ? N ),编号分别为 1、2、3、??、 m , ? 有 n 台( n ? N )织布机,编号分别为 1、2、3、??、 n ,定义记号 ai j :若第 i 名工人
3. 已知 f ( x ? 1) ? 操作了第 j 号织布机,规定 ai j ? 1 ,否则 ai j ? 0 ,则等式 a41 ? a42 ? a43 ? 实际意义是( ) A、第 4 名工人操作了 3 台织布机; C、第 3 名工人操作了 4 台织布机; 5. 已知 f ( n ) ? 1 ?

? a4n ? 3 的

B、第 4 名工人操作了 n 台织布机; D、第 3 名工人操作了 n 台织布机.

3 5 1 1 1 ? ? ? ( n ? N *) ,计算得 f (2) ? , f (4) ? 2 , f (8) ? , 2 2 2 3 n 7 f (16) ? 3 , f (32) ? ,由此推测:当 n ? 2 时,有 2 6. 观察下图中各正方形图案,每条边上有 n (n ? 2) 个圆圈,每个图案中圆圈的总数是 Sn , 按此规律推出:当 n ? 2 时, Sn 与 n 的关系式

??

n?2 S ?4
2

n ?3 S ?8
2

n ? 4 S ? 12
2 2

7.观察下式:1=1 ,2+3+4=3 ,3+4+5+6+7=5 ,4+5+6+7+8+9+10=7 ,?,则可得出一般结 论: . 8.函数 f ( x) 由下表定义:

x
f ( x)

2
1

5

3
3

1
4

4
5

2

若 a0 ? 5 , an?1 ? f (an ) , n ? 0,1, 2,

,则 a2007 ?



9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰是
第 6 页 共 6 页

由 6 颗珠宝构成如图 1 所示的正六边形, 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正六 边形, 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝构 成如图 4 所示的正六边形, 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 , 按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 , 使 它 构 成 更 大 的 正 六 边形 , 依 此 推 断 第 6 件 首饰上应有_______颗珠宝;则 前 n 件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用 n 表示)

图1

图2 图3 图4 第5列 7

10.将正奇数按下表排成 5 列 第1列 第1行 第2行 第3行 ?? 15 第2列 1 13 17 ?? 第3列 3 11 19 27 第4列 5 9 21 25 23

那么 2003 应该在第 行,第 列。 11.如右上图,一个小朋友按如图所示的规则练习数数,1 大拇指,2 食指,3 中指,4 无名 ... , 指, 5 小指, 6 无名指, 一直数到 2008 时, 对应的指头是 (填指头的名称). 12.在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,??中,第 25 项为_____. 13.观察下列的图形中小正方形的个数,则第 n 个图中有 个小正方形.

14.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第 n 个图案中需用黑色 瓷砖___________块.(用含 n 的代数式表示)

15.如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为

ai ?i ? 1, 2,3, 4? ,此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi ? i ? 1, 2,3, 4? ,若
4 a1 a2 a3 a4 2S ? ? ? ? k ,则. ? ? ihi ? ? 类比以上 1 2 3 4 k i ?1

第 7 页 共 7 页

性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si ?i ? 1,2,3,4? , 此三棱锥内任一点 Q 到第

i 个面的距离记为 Hi ?i ? 1, 2,3, 4? ,若
A.

4 S1 S 2 S3 S 4 ? ? ? ? K , 则 ? ? iH i ? ? ( B ) 1 2 3 4 i ?1

4V K

B.

3V K

C.

2V K

D.

V K

16.设 O 是 ABC 内一点, ABC 三边上的高分别为 hA , hB , hC ,O 到三边的距离依次为

la , lb , lc ,则

la lb lc ? ? ? __ _______,类比到空间,O 是四面体 ABCD 内一点,四顶点到 hA hB hC
__

对面的距离分别为 hA , hB , hC , hD ,O 到这四个面的距离依次为 la , lb , lc , ld ,则有_ 17.在 Rt?ABC 中,两直角边分别为 a 、 b ,设 h 为斜边上的高,则

1 1 1 ? 2 ? 2 ,由此类 2 h a b 比:三棱锥 S ? ABC 中的三条侧棱 SA 、 SB 、 SC 两两垂直,且长度分别为 a 、 b 、 c ,设 棱锥底面 ABC 上的高为 h ,则 . 1 18、若数列 ?a n ? 是等差数列,对于 bn ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ,则数列 ?bn ?也是等差数列。 n
类比上述性质,若数列 ?c n ?是各项都为正数的等比数列,对于 d n ? 0 ,则 d n = 数列 ?d n ? 也是等比数列。 19.已知△ABC 三边 a,b,c 的长都是整数,且 a ≤ b ≤ c ,如果 b=m(m ? N*),则这样的 三角形共有 个(用 m 表示). 20.如图的三角形数阵中,满足:(1)第 1 行的数为 1;(2)第 n(n≥2)行首尾两数均为 n,其余的数都等于它肩上的两个数相加.则第 n 行(n≥2)中第 2 个数是________(用 n 表 示). 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 21.在△ABC 中, sin A ? 时,

sin B ? sin C ,判断△ABC 的形状并证明. cos B ? cos C

第 8 页 共 8 页

22. 已知 a、 b、 c 是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程 ax +2bx+c=0, bx +2cx+a=0, 2 cx +2ax+b=0 至少有一个方程有两个相异实根.应假设

2

2

23. ?ABC 中,已知 3b ? 2 3a sin B ,且 cos A ? cos C ,求证: ?ABC 为等边三角形。

24.如图, P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x 2 , y 2 ) 、?、 P n ( xn , y n ) (0 ? y1 ? y 2 ? ? ? y n ) 是曲线 C :

y 2 ? 3x( y ? 0) 上的 n 个点,点 Ai (ai ,0) ( i ? 1,2,3?n )在 x 轴的正半轴上,且 ?Ai ?1 Ai Pi
是正三角形( A0 是坐标原点) . (1)写出 a1 、 a2 、 a3 ; (2)求出点 An (a n ,0) ( n ? N? )的横坐标 an 关于 n 的表达式并证明.

第 9 页 共 9 页

推理与证明章节测试题答案
1. an ? bn ? ambk ? ak bm (a, b ? 0, m ? k ? n, m, n, k ? N * ) 3. ? ,3 3. B. 4. A

1 2

2n ? 1 (n ? N * ) 2 6. n2 ? (n ? 2)2
5. f (2 ) ?
n

7. n ? (n ?1) ? 8.4 9.

? (3n ? 2) ? (2n ?1)2 , n ? N *

n(n ? 1)(4n ? 1) n? N* 6

10.251,3 12.食指 12.在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,??中,第 25 项为__7____. 13.

n2 ? 3n ? 2 2

14. 4n ? 8 15、B 提示:平面面积法类比到空间体积法 16. 1. 提示:平面面积法类比到空间体积法 17..

1 1 1 1 ? 2? 2? 2 2 h a b c

18、 n c1 ? c2

cn , n ? N * 提示:等差数列类比到等比数列,算术平均数 bn ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) cn , n ? N *

1 n

类比到几何平均数 dn ? n c1 ? c2 19.

m(m ? 1) 2

20.

n2 ? n ? 2 2
sin B ? sin C ,A? B?C ?? cos B ? cos C

21.解:? sin A ?

? sin A cos B ? sin A cosC ? sin( A ? C) ? sin(B ? C) ? sin C cos A ? sin B cos A ? (sin C ? sin B) cos A ? 0
? sin C ? sin B ? 0,? cos A ? 0 ? A ?
所以三角形 ABC 是直角三角形
第 10 页 共 10 页

?
2

22. 三个方程中都没有两个相异实根 证明:假设三个方程中都没有两个相异实根, 2 2 2 则Δ 1=4b -4ac≤0,Δ 2=4c -4ab≤0,Δ 3=4a -4bc≤0. 2 2 2 2 2 2 相加有 a -2ab+b +b -2bc+c +c -2ac+a ≤0, 2 2 2 (a-b) +(b-c) +(c-a) ≤0. 由题意 a、b、c 互不相等,∴①式不能成立. ∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. 方法总结:反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立. 凡是“至少” 、 “唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法. 23.解: 分析:由 3b ? 2 3a sin B ? 3 sin B ? 2 3 sin A sin B ? sin A ? 由 cos A ? cos C ? A ? C



3 ? 2? ? A? , 2 3 3

?A?C ?

?

3

?B

所以 ?ABC 为等边三角形 24.如图, P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x 2 , y 2 ) 、?、 P n ( xn , y n ) (0 ? y1 ? y 2 ? ? ? y n ) 是曲线 C :

y 2 ? 3x( y ? 0) 上的 n 个点,点 Ai (ai ,0) ( i ? 1,2,3?n )在 x 轴的正半轴上,且 ?Ai ?1 Ai Pi
是正三角形( A0 是坐标原点) . (1)写出 a1 、 a2 、 a3 ; (2)求出点 An (a n ,0) ( n ? N? )的 横坐标 an 关于 n 的表达式并证明. 解:(Ⅰ) a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 12; ??????.6 分 (2)依题意,得 x n ?

a n ?1 ? a n a ? a n ?1 2 , yn ? 3 ? n ,由此及 yn ? 3 ? xn 得 2 2

( 3?

a n ? a n ?1 2 3 ) ? (a n ? a n ?1 ) , 2 2
2

即 (an ? an?1 ) ? 2(an?1 ? an ) . 由(Ⅰ)可猜想: an ? n(n ? 1), (n ? N ) . 下面用数学归纳法予以证明: (1)当 n ? 1 时,命题显然成立; (2)假定当 n ? k 时命题成立,即有 an ? k (k ? 1) ,则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设及
?

第 11 页 共 11 页

(ak ?1 ? ak )2 ? 2(ak ? ak ?1 )
得 [ak ?1 ? k (k ? 1)]2 ? 2[k (k ? 1) ? ak ?1 ] ,即

(ak ?1 )2 ? 2(k 2 ? k ? 1)ak ?1 ? [k (k ? 1)] ? [(k ? 1)(k ? 2)] ? 0 ,
解之得

ak ?1 ? (k ? 1)(k ? 2) ( ak ?1 ? k (k ? 1) ? ak 不合题意,舍去),
即当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1)、(2)知:命题成立.??????.10 分

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