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矩阵特征值及特征多项式问题探讨

矩阵特征值及特征多项式问题探讨
摘要 矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向 .在高等代数的学习当中 , 对 学生来说熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数学习中学 生提出的一些有趣问题 , 概括了有关矩阵特征值的重要结论 , 并对矩阵特征值问题进行探 讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认 识, 从而提高高等代数和相关课程教与学的质量. 前言 高等代数是数学系大学生必修的一门重要基础课, 与其他一些课程的学习密切相关, 是报考 数学系研究生的必考课程, 而矩阵特征值是必考的内容之一。本文记录了高等代数教学中矩 阵的历史发展, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和 总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识 , 从而提 高高等代数和相关课程的教与学质量. 然后, 对几种不同类型的矩阵, 比如正交矩阵、三角矩 阵等的特征多项式做了简单的探讨.也给出了特征多项式以及特征值的求法. 历史过程 矩阵的研究历史悠久,拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。 作为解决线性方程的工具,矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》 中,用分离系数法表示线性方程组,得到了其增广矩阵。在消元过程中,使用的把某行乘以 某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧,相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现 今理解的矩阵概念, 虽然它与现有的矩阵形式上相同, 但在当时只是作为线性方程组的标准 表示与处理方式。 矩阵的现代概念在 19 世纪逐渐形成。1800 年代,高斯和威廉· 若尔当建立了高斯—若 尔当消去法。1844 年,德国数学家费迪南· 艾森斯坦(F.Eisenstein)讨论了“变换”(矩阵) 及其乘积。1850 年,英国数学家詹姆斯· 约瑟夫· 西尔维斯特(James Joseph Sylvester)首 先使用矩阵一词 。 1854 年时法国数学家埃尔米特 (C.Hermite) 使用了“正交矩阵”这一术语, 但他的正式定义直到 1878 年才由费罗贝尼乌斯发表。1879 年,费罗贝尼乌斯引入矩阵秩 的概念。至此,矩阵的体系基本上建立起来了。 无限维矩阵的研究始于 1884 年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理 论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906 年,希尔伯特引入无限二次型(相当于无 限维矩阵)对积分方程进行研究,极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上,施密茨、 赫林格和特普利茨发展出算子理论,而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具 。 矩阵的概念最早在 1922 年见于中文。1935 年,中国数学会审查后,中华民国教育部 审定的《数学名词》(并“通令全国各院校一律遵用,以昭划一”)中,“矩阵”作为译名首次 出现。1993 年,中国自然科学名词审定委员会公布的《数学名词》中,“矩阵”被定为正式 译名,并沿用至今。 定义 由 m × n 个数 aij 排成的 m 行 n 列的数表称为 m 行 n 列的矩阵,简称 m × n 矩阵。记作:

这 m×n 个数称为矩阵 A 的元素,简称为元,数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列,称为矩 阵 A 的(i,j)元,以数 aij 为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n,m×n 矩阵 A 也记作 Amn。 这种表被称为矩阵(对于上述方程组来说,被称为方程组的系数矩阵),通常用符号 A={aij}来表示,为了运算时方便,通常用一个大写字母来表示。 用途 矩阵图法的用途十分广泛.在质量管理中,常用矩阵图法解决以下问题: ①把系列产品的硬件功能和软件功能相对应, 并要从中找出研制新产品或改进老产品的切入 点 ②明确应保证的产品质量特性及其与管理机构或保证部门的关系,使质量保证体制更可靠 ③明确产品的质量特性与试验测定项目、 试验测定仪器之间的关系, 力求强化质量评价体制 或使之提高效率 ④当生产工序中存在多种不良现象, 且它们具有若干个共同的原因时, 希望搞清这些不良现 象及其产生原因的相互关系,进而把这些不良现象一举消除 ⑤在进行多变量分析、研究从何处入手以及以什么方式收集数据。 矩阵运算的基本性质 根据矩阵的运算规则可以得到矩阵的如下运算性质: 矩阵加法满足交换律和结合律。 矩阵加法与数乘运算满足分配律。 矩阵乘法满足结合律(一般不满足交换律)。 矩阵加法与数乘满足分配律。 矩阵加法与矩阵乘法满足分配率 运用

图像处理

在图像处理中图像的仿射变换一般可以表示为一个仿射矩阵和一张原始图像相乘的形 式 线性变换及对称 线性变换及其所对应的对称,在现代物理学中有着重要的角色。例如,在量子场论中, 基本粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示。 量子态的线性组合 1925 年海森堡提出第一个量子力学模型时,使用了无限维矩阵来表示理论中作用在量 子态上的算子。这种做法在矩阵力学中也能见到。例如密度矩阵就是用来刻画量子系统中 “纯”量子态的线性组合表示的“混合”量子态 。另一种矩阵是用来描述构成实验粒子物理基石 的散射实验的重要工具。 简正模式 矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。 这类系统的运动方程可以用 矩阵的形式来表示, 即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项, 用力矩阵乘以位移 向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出(通过对角化等方 式),称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要:系统内 部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加] 。 描述力学振动或电路振荡 时,也需要使用简正模式求解 。 几何光学 在几何光学里, 可以找到很多需要用到矩阵的地方。 几何光学是一种忽略了光波波动性 的近似理论,这理论的模型将光线视为几何射线。这矩阵称为光线传输矩阵,内中元素编码 了光学元件的性质。对于折射,这矩阵又细分为两种:“折射矩阵”与“平移矩阵”。折射矩阵 描述光线遇到透镜的折射行为。 平移矩阵描述光线从一个主平面传播到另一个主平面的平移 行为。 电子学 在电子学里, 传统的网目分析或节点分析会获得一个线性方程组, 这可以以矩阵来表示 与计算。 结论 通过矩阵的概念以及相关的性质学习, 理解了它的各种求解方法, 更是有相关例题求解巩固 知识. 而后, 又学习了它的反问题, 也理解了相应的求解方法. 它不仅能应用在数学上, 帮助其 更简单的运算, 而且也能应用在生活上, 有效处理生活的各类问题. 学习并且研究数学, 从知 识联系到生活 , 通过数学的思维或方法来处理某些生活上的问题 . 离开数学 , 科技无法进 步, 生活恐难维持, 所以我们必须热爱数学, 深入探讨数学, 从而促进科技发展, 共创美好的明 天.


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