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人教B版高中数学(选修1-1)单元测试-第二章

选修 1-2 一、选择题 2 章末总结 ) 1.若 θ 是任意实数,则方程 x2+y2sinθ=4 表示的曲线不可能是( A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 [答案] C [解析] sinθ 可以等于 1, 这时曲线表示圆, sinθ 可以小于 0, 这时曲线表示双曲线, sinθ 可以大于 0 且小于 1,这时曲线表示椭圆. 2.(2018· 安徽高考)下列曲线中离心率为 x2 y2 A. - =1 2 4 x2 y2 B. - =1 4 2 x2 y2 C. - =1 4 6 x2 y2 D. - =1 4 10 [答案] B 4+2 x2 y2 6 [解析] 双曲线 - =1 的离心率 e= = . 4 2 2 2 x2 y2 3.双曲线 + =1 的离心率 e∈(1,2),则 k 的取值范围是( 4 k A.(-∞,0) B.(-12,0) C.(-3,0) D.(-60,-12) [答案] B c2 4-k [解析] ∵a2=4,b2=-k,∴c2=4-k.∵e∈(1,2),∴ 2= ∈(1,4),k∈(-12,0). a 4 4.抛物线 y=x2 到直线 2x-y=4 距离最近的点的坐标是( 3 5 A.( , ) 2 4 B.(1,1) ) ) 6 的是( 2 ) 3 9 C.( , ) 2 4 D.(2,4) [答案] B [ 解析 ] 设 P(x , y) 为抛物线 y = x2 上任一点,则 P 到直线的距离 d = |2x-y-4| = 5 |x2-2x+4| (x-1)2+3 3 5 = ,所以当 x=1 时,d 取最小值 ,此时 P 为(1,1). 5 5 5 x2 y2 5.(2018· 山东)设双曲线 2- 2=1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点, a b 则双曲线的离心率为( 5 A. 4 B.5 C. 5 2 ) D. 5 [答案] D b ? ?y=ax x2 y2 b [解析] 双曲线 2- 2=1 的一条渐近线方程为 y= x,由方程组? a b a ? ?y=x2+1 b?2 a2+b2 b b c x2- x+1=0 有唯一解, 所以 Δ=? - 4 = 0 , 所以 = 2 , ∴ e = = = ?a? a a a a 故选 D. 二、填空题 6.已知点 A(0,1)是椭圆 x2+4y2=4 上的一点,P 是椭圆上的动点,当弦 AP 的长度最大 时,则点 P 的坐标是________. 4 3 1 [答案] (± ,- ) 3 3 [解析] ∵点 P 在椭圆上, ∴设点 P 的坐标为(2cosθ, sinθ), 则|AP|= 4cos2θ+(sinθ-1)2 = 1 16 1 4 3 1 -3(sinθ+ )2+ .当 sinθ=- 时,|AP|最大,此时点 P 的坐标为(± ,- ). 3 3 3 3 3 7.点 P(8,1)平分双曲线 x2-4y2=4 的一条弦,则这条弦所在的直线方程是________. [答案] 2x-y-15=0 2 2 2 [解析] 设弦的两端点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x2 1-4y1=4,x2-4y2=4,两式相 消去 y,得 b?2 1+? ?a? = 5, 减得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.∵AB 的中点为 P(8,1),∴x1+x2=16,y1+y2=2, y1-y2 ∴ =2.∴直线 AB 的方程为 y-1=2(x-8),即 2x-y-15=0. x1-x2 三、解答题 x2 y2 8.已知双曲线与椭圆 + =1 有公共的焦点,并且椭圆的离心率与双曲线的离心率 36 49 3 之比为 ,求双曲线的方程. 7 x2 y2 13 [解析] 椭圆 + =1 的焦点为(0,± 13),离心率为 e1= .由题意可知双曲线的两 36 49 7 焦点为(0,± 13),离心率 e2= 13 . 3 y2 x2 所以所求双曲线的方程为 - =1. 9 4 x2 y2 9.如图所示,椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1,F2, 16 9 一条直线 l 经过 F1 与椭圆交于 A,B 两点,若直线 l 的倾斜角为 45° ,求△ABF2 的面积. [ 解析 ] 由椭圆的方程 x2 y2 + = 1 知, a = 4 , b = 3 , ∴c = 16 9 a2-b2= 7. 由 c= 7知 F1(- 7,0),F2( 7,0), 又 k1=tan45° =1, ∴直线 l 的方程为 x-y+ 7=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ? ?x-y+ 7=0, 则由? x2 y2 消去 x, ? ?16+ 9 =1, 整理得 25y2-18 7y-81=0, ∴|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2 = 18 7 2 81 72 ( ) +4× = 2. 25 25 25 1 1 72 ∴S△ABF2= |F1F2|· |y1-y2|= ×2 7× 2 2 2 25 = 72 14. 25

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