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浙江省金丽衢十二校2014-2015学年高三第二次联考 数学理(含答案)

浙江省金丽衢十二校 2014-2015 学年高三第二次联考 数学试卷(理科)
本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时间为 120 分钟,试卷总分为 150 分。请考生将所有试 题的答案涂、写在答题纸上。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) A. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2}

B=

D. {x | 0 ? x ? 2}

2.已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 13, a13 ? 33 ,则数列 ?an ? 的公差为 A.1 3. 若 0 ? x ? B.2 C.3 D.4

?
2

,则 x tan x ? 1 是 x sin x ? 1 的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 4.设

1 1 1 ? ( )b ? ( ) a ? 1 ,那么 2 2 2
a b a

A. a ? a ? b

B. a ? b ? a
a a

b

C. a ? a ? b
b a

a

D. a ? b ? a
b a

a

5. 已知点 A?2,0? , B?? 2,4? , C ?5,8? ,若线段 AB 和 CD 有相同的中垂线, 则点 D 的坐标是 A. ?? 4,?5? B. ?7,6? C. ?? 5,?4? D. ?6,7 ?
O

y

Q P A x

3 1 6. 已知角 ? , ? 均为锐角,且 cos ? ? , tan( ? ? ? ) ? ? , 则 tan ? ? 5 3 1 9 13 A.3 B. C. D. 3 13 9 (第 7 题图) 2 2 x y 7. 如图,已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的右顶点为 A, O 为坐标原点,以 A 为 a b
圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P, Q .若 ?PAQ ? 60? 且 OQ ? 3OP ,则双曲线

C 的离心率为
A. 8.

2 3 3
已 知 函

B. 数

7 2

C.

39 6
R


D. 3 的 奇 函 数 , 当

f ?x ?



x?0





f ( x) ?

1 ( x ? cos ? ? x ? 2 cos ? ? 3 cos ? ) 2

( ? ? ? ? ? ? ), 若对任意实数 x ? R, 都有f ( x ? 3) ? f ( x)恒成立 , 则实数 ? 的取值范围 是 A. ?? ? ,? 3 ? ? ?

?

2? ?

B. ?? , ? ? 6 6 ?

? 5? 5? ?

C. ?? , ? ? 3 3 ?

? 2? 2? ?

D. ? ,? ? ?6 ?

? 5?

?

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 7 小题,前 4 小题每题 6 分,后 3 小题每题 4 分,共 36 分。 9. 函数f ?x? ? lo g 2 (4 ? x 2 )的定义域为 ▲ , 值域为 ▲ , 不等式 f ?x ? ? 1 的解集为

▲ . 10. 一个简单几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,俯视图是等腰直角三 角形,则该几何体的体积为 ▲ ,表面积为 ▲ .

?2 x ? y ? 0 y ? 11.如果实数 x,y 满足: ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 的取值 x ?x ? 3 ?
范围是 ▲ , z ?

x2 ? y2 的最大值为 ▲ . xy

12. 已知圆 x2 ? y 2 ? 10 , ?ABC 内接于此圆, A 点的 坐标 (1,3) .若 ?ABC 的重心 G ( , ) ,则线段 BC 的中点 坐标为 ▲ ,直线 BC 的方程为 ▲ . 13. 已知平面向量 a ? (1, 3 ), a ? b ? 1, 则 b 的取值
E
? ? ? ?

2 2 3 3

P F D A B C

范围是 ▲ . 14. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, 点 E , F 为 PA, PD 的中点,则面 BCFE 将四棱锥 P ? ABCD 所 分成的上下两部分的体积的比值为 ▲ . 15.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a ,a n ?1 ? 1 ?

(第14题图)

3 1 ,若对任意的自然数 n ? 4 ,恒有 ? a n ? 2 , 2 an

则 a 的取值范围为 ▲ . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题满分 15 分)在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且满足:

a 2 ? (b ? c) 2 ? (2 ? 3)bc, 又 sin A sin B ?
(Ⅰ)求角 A 的大小 ; (Ⅱ)若 a=2,求△ABC 的面积 S.

1 ? cos C . 2

17.(本题满分 15 分) 如右图,在多面体 ABCDE 中,DB⊥平面 ABC,AE∥DB,且△ABC 是边长为 2 的等边三角形,2AE=BD=2. (Ⅰ)若 F 是线段 CD 的中点,证明:EF⊥面 DBC; (Ⅱ)求二面角 D-EC-B 的平面角的余弦值.

D

E A

F B C

18.(本题满分 15 分)已知动圆 Q 过定点 F ?0,?1? , 且与直线 l : y ? 1 相切, 椭圆 N 的对称轴 为坐标轴, O 点为坐标原点, F 是其一个焦点,又点 A?0,2? 在椭圆 N 上. (Ⅰ)求动圆圆心 Q 的轨迹 M 的标准方程和椭圆 N 的标准方程; (Ⅱ)若过 F 的动直线 m 交椭圆 N 于 B, C 点,交轨迹 M 于 D, E 两点,设 S1 为 ?ABC 的 面积, S 2 为 ?ODE 的面积,令 Z ? S1 S 2 ,试求 Z 的最小值.

y A

O F

x

第 18 题图

3 2x 1 x ? ,且 19. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx - ?a ? 0? , g ( x) ? 4 ? 4 b 4
2

1 ? ? y ? f ? x ? ? 为偶函数.设集合 A ? ?x t ? 1 ? x ? t ? 1?. 4a ? ?
(Ⅰ)若 t ? ?

b ,记 f ?x ? 在 A 上的最大值与最小值分别为 M , N ,求 M ? N ; 2a

(Ⅱ)若对任意的实数 t ,总存在 x1 , x 2 ? A ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x) 对 ?x ? ?0,1? 恒 成立,试求 a 的最小值.

20. (本题满分14分)在单调递增数列 {an } 中,a1 ? 2 ,a2 ? 4 ,且 a2n?1 , a2n , a2n?1 成 等差数列, a2n , a2n?1 , a2n?2 成等比数列, n ? 1 , 2 , 3 , ?. (Ⅰ) (ⅰ)求证:数列 { a 2 n } 为等差数列; (ⅱ)求数列 {an } 的通项公式. (Ⅱ)设数列 {

4n 1 * ,n?N . } 的前 n 项和为 S n ,证明: Sn ? 3(n ? 3) an

金丽衢十二校 2014 学年第二次联合考试 数学参考答案及评分标准(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8

B

B

A

C

D

A

B

C

二、填空题:本大题共 7 小题,前 4 小题每题6分,后 3 小题每题 4 分,共 36 分。 9、 (?2,2)

?? ?,2?
10 3
14、

??

2, 2

?
12、 ?

10、

3 3

3 ? 7 ?1
y ? x ?1

11、[ , 2 ]

1 3

?1 1? ,? ? ?2 2?

13、 ? 1,3?

3 5

15、 a ? 0

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。 16、解: (1)∵ a 2 ? (b ? c) 2 ? (2 ? 3)bc, ∴ b ? c ? a ? 3bc ,又∵ cos A ?
2 2 2

b2 ? c2 ? a2 3bc 3 ? ? 2bc 2bc 2

∴A?

?
6

——————————————7 分

(2)∵ sin A sin B ?

1 ? cos C 2

∴ 2 sin A sin B ? 1 ? cosC ? 1 ? cos(A ? B) , ∴ cos A cos B ? sin A sin B ? 1 即 cos(A ? B) ? 1 ——————————————12 分 ∴ A ? B ? 0, 即B ? A ? 又∵ a ? 2, S ?

?
6

,C ?

2? 3
E F A H G C

D

1 ab sin C 2

∴ S ? 3 ——————————————15 分 17(ⅰ)证明:取 BC 的中点 G ,连接 FG, AG

B

? AG ? BC, AG ? BD BD ? BC ? B ? AG ? 面DBC 又因为 AE // BD // FG, AE ? FG
? AGFE 为平行四边形,? EF // AG

? EF ? 面DBC . ————————————6分
(ⅱ)连接 BF ,过 F 在面 DEC 内作 EC 的垂线,垂足为 H 连接 HB . 因为 EF ? 面DBC ,? BF ? EF 又? BC ? BD

? BF ? CD

? BF ? 面EDC 所以易证得 ?FHB 为二面角 D-EC-B 的平面角
在 ?DEC 中, EC ? ED ? 5

CD ? 2 2 所以易求得 FH ?

6 5

在直角 ?BFH 中, FH ?

6 4 , BF ? 2 , BH ? 5 5
6 ——————————15分 4

所以二面角 D ? EC ? B 的平面角的余弦值为

方法二: 取 BD 的中点为 G,以 O 为原点, OC 为 x 轴, OB 为 y 轴, OG 为 z 轴建立如图空间直 角坐标系,则 C

? 3,0,0?, B?0,1,0? , D?0,1,2? , E?0,?1,1?
(
3, - 1, 2

取平面 DEC 的一个法向量 n = 又 CE = -

) )
E

z
M

D

(

3, - 11 ,, CB = -

)

(

31 , , 0 ,

)

由此得平面 BCE 的一个法向量 m = 1, 3, 2 3

(

F
O

A

B

y

G C

x

则 cos m, n =

mn m n

=

6 , 4

所以二面角 D ? EC ? B 的平面角的余弦值为

6 4

18、解: (1)依题意,由抛物线的定义易得动点 Q 的轨迹 M 的标准方程为:

x 2 ? ?4 y

——————————————3 分

依题意可设椭圆 N 的标准方程为 显然有 c ? 1, a ? 2 ?b ? 3

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1 ——————————————5分 ∴椭圆 N 的标准方程为 4 3
(2)显然直线 m 的斜率存在,不妨设直线 m 的直线方程为:

y ? kx ? 1 ①
联立椭圆 N 的标准方程

y2 x2 ? ? 1有 4 3
——————————————7分

(3k 2 ? 4) x 2 ? 6kx ? 9 ? 0
设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 则有

BC ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2
又 A(0,2)到直线 m 的距离 d1 ?

12 1 ? k 2 12(1 ? k 2 ) ? 3k 2 ? 4 3k 2 ? 4 3 1? k 2

∴ S1 ?

1 18 1 ? k 2 ; ——————————————10分 BC d1 ? 2 3k 2 ? 4
2

再将①式联立抛物线方程 x ? ?4 y 有

x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,同理易得 DE ? 4(1 ? k 2 ), d 2 ?
∴ S2 ? 2 1 ? k 2

1 1? k 2

——————————————13 分

∴ Z ? S1 S 2 ?

36(1 ? k 2 ) 1 1 ? 12(1 ? 2 ) ? 12(1 ? ) ? 9 2 4 3k ? 4 3k ? 4
——————————————15 分

∴当 k ? 0时,Z min ? 9 19、解: (1) y ? f ? x ? 所以 b ? ?

? ?

1? 1 b 3 1 ? ? 2 ? ? 为偶函数, ? ? ax ? ? b ? ? x ? 2 ? 16a 4a 4 4a ? ?

1 .———————————3 分 2 1 1 ? 1, ? 1] 上, 在区间 [ 4a 4a 1 3 1 1 3 1 ? M ? f ( ? 1) ? a ? ( ? ), N ? f ( ) ? ?( ? ) 4a 4 16 a 4a 4 16 a
?M ? N ? a
(2)设 2 ? t
x

———————————6 分

? x ? [0,1],? t ? 2 x ? [1,2]
1 4
所以 g ?x ? 的最大值为

g ? x ? ? t 2 ? 2t ?

1 4

依题意原命题等价于

在 A 上,总存在两个点 x1、x 2 , 使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 即只需满足在 A 上

1 4

f max ( x) ? f min ( x) ?

1 4

———————8 分

因为对任意的 t 都成立,所以当 t ? ? 分

b 也成立,由(1)知 2a

a?

1 ———————10 4

1 1 当a ? 时, f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ,下面证明在 [t ? 1, t ? 1] 上总存在两点 x1、x2 , 使得 4 4 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 成立. 4

当t ? 1时,f ( x)在[t , t ? 1]上是增函数 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) max ? f (t ? 1) ? f (t ) ? 当t ? 1时,f ( x)在[t ? 1, t ]上是减函数 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) max ? f (t ? 1) ? f (t ) ?
综上所述, a的最小值为 20.解 (Ⅰ) (ⅰ)因为数列 ?an ? 为单调递增数列, a1 ? 2 ? 0 ,所以 an ? 0 ( n ? N ).
*

1 1 1 t? ? 2 4 4

3 1 1 ? t? 4 2 4

1 . 4

———————————15分

2 由题意得 2a2n ? a2n?1 ? a2n?1 ,a2 于是 2a 2 n ? n?1 ? a2n a2n?2 ,

a2 n?2 a2 n ? a2 n a 2 n? 2 ,

化简得 2 a2 n ?

a2 n?2 ?

a 2 n ? 2 ,所以数列 { a2 n } 为等差数列.——————4分

2 a3 (ⅱ)又 a3 ? 2a2 ? a1 ? 6 , a4 ? ? 9 ,所以数列 { a2 n } 的首项为 a2 ? 2 ,公差 a2

为 d ? a4 ? a2 ? 1 ,所以 a2 n ? n ? 1 ,从而 a2 n ? (n ? 1)2 .
2 结合 a2 n?1 ? a2n?2 a2 n 可得 a2 n?1 ? n(n ? 1) .

因此,当 n 为偶数时 an ? 分

1 (n ? 1)(n ? 3) (n ? 2) 2 ,当 n 为奇数时 an ? . 4 4
——————————8

(2)所以数列 {an } 的通项公式为

1 (n ? 1)(n ? 3) 1 (n ? 2) 2 1 2 7 ? (?1) n an ? [1 ? (?1)n?1 ] ? ? [1 ? (?1) n ] ? ? n ?n? . 2 4 2 4 4 8 1 2 7 ? (?1)n 1 2 (n ? 2)2 1 ? n ? n ?1 ? ? (n ? 2)(n ? 3) ,所以 因为 an ? n ? n ? 4 8 4 4 4

1 4 1 1 ? ? 4( ? ), an (n ? 2)(n ? 3) n?2 n?3 Sn ? 1 1 1 1 ? ? ?? ? a1 a 2 a 3 an
?( 1 1 1 1 ? )?( ? )] n ?1 n ? 2 n?2 n?3

1 1 1 1 ? 4[( ? ) ? ( ? ) ? 3 4 4 5

1 1 4n ? 4( ? )? , 3 n ? 3 3(n ? 3)
所以 Sn ?

4n * , n?N . 3(n ? 3)

——————————14分


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