当前位置:首页 >> 数学 >>

【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.9函数的应用教案 理 新人教A版


§2.9
2014 高考会这样考

函数的应用

1.综合考查函数的性质;2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基

本初等函数的建模问题;3.考查函数的最值. 复习备考要这样做 1.讨论函数的性质一定要在定义域内;2.充分搜集、应用题目信息,

正确建立函数模型;3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合.

1. 几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函 数模型 二次函数模型 函数解析式

f(x)=ax+b (a、b 为常数,a≠0) k f(x)= +b (k,b 为常数且 k≠0) x f(x)=ax2+bx+c
(a,b,c 为常数,a≠0)

指数函数模型

f(x)=bax+c
(a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1)

对数函数模型 幂函数模型 (2)三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 图象的变化 值的比较

f(x)=blogax+c
(a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1)

f(x)=axn+b (a,b 为常数,a≠0)

y=ax
(a>1) 单调递增 越来越快 随 x 的增大逐渐表现为 与 y 轴平行

y=logax
(a>1) 单调递增 越来越慢 随 x 的增大逐渐表现为 与 x 轴平行

y=xn
(n>0) 单调递增 相对平稳 随 n 值变化而各有不同
n x

存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<x <a

1

2. 解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:

1. 要注意实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 2. 解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关系,把握其中的数学本 质. (2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题. (3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题. (4)还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论.

1. 某物体一天中的温度 T(单位:℃)是时间 t(单位:h)的函数:T(t)=t -3t+60,t=0 表示中午 12∶00,其后 t 取正值,则下午 3 时的温度为________. 答案 78℃ 解析 T(3)=3 -3×3+60=78(℃). 2. 某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元,并且每生产一单位产品,成本增加 10 万 1 2 元.又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数,K(Q)=40Q- Q ,则总利润 L(Q)的最大值 20 是________万元. 答案 2 500 1 2 解析 L(Q)=40Q- Q -10Q-2 000 20 1 2 =- Q +30Q-2 000 20 1 2 =- (Q-300) +2 500 20
2
3

3

当 Q=300 时,L(Q)的最大值为 2 500 万元. 3. (2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素, 其含量不断减 少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含量 M(单位: 太贝克)与时间 t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M02- ,其中 M0 为 t=0 时铯 137 30 的含量.已 知 t = 30 时 , 铯 137 含 量 的 变 .化 .率 .是 - 10ln 2( 太 贝 克 / 年 ) , 则 M(60) 等 于 ( ) A.5 太贝克 C.150ln 2 太贝克 答案 D 1 t 解析 ∵M′(t)=- M02- ·ln 2, 30 30 1 1 ∴M′(30)=- × M0ln 2=-10ln 2,∴M0=600. 30 2 ∴M(t)=600×2- ,∴M(60)=600×2 =150(太贝克). 30 4. 某企业第三年的产量比第一年的产量增长 44%,若每年的平均增长率相同(设为 x),则 以下结论正确的是 A.x>22% B.x<22% C.x=22% D.x 的大小由第一年的产量确定 答案 B 解析 设第一年的产量为 a,则 a(1+x) =a(1+44%), ∴x=20%. 5. (2012·东莞一模)某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费 y1 与仓库到车站的距离成 反比,而每月车载货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车 站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1,y2 分别是 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用 之 ( ) B.4 千米处 D.2 千米处 和 最 小 , 仓 库 应 建 在 离 车 站
2

t

B.75ln 2 太贝克 D.150 太贝克

t

-2

(

)

A.5 千米处 C.3 千米处 答案 A

3

解析 由题意得,y1= ,y2=k2x,其中 x>0,当 x=10 时,代入两项费用 y1,y2 分别 4 20 4 是 2 万元和 8 万元, 可得 k1=20, k2= ,y1+y2= + x≥2 5 x 5 4 = x, 5 即 x=5 时取等号,故选 A. 20 4 20 · x=8, 当且仅当 x 5 x

k1 x

题型一 二次函数模型 例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, 其生产的总成本 y(万元)与年产量

x2 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= -48x+8 000, 已知此生产线年产量最
5 大为 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元, 那么当年产量为多少吨时, 可以获得最大利润? 最大利润是多少? 思维启迪:(1)根据函数模型,建立函数解析式.(2)求函数最值. 解 (1)每吨平均成本为 (万元).

y x

y x 8 000 则 = + -48≥2 x 5 x

x 8 000 · -48=32, 5 x

x 8 000 当且仅当 = ,即 x=200 时取等号. 5 x
∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低为 32 万元. (2)设可获得总利润为 R(x)万元, 则 R(x)=40x-y=40x- +48x-8 000 5 =- +88x-8 000 5 1 2 =- (x-220) +1 680 (0≤x≤210). 5 ∵R(x)在[0,210]上是增函数,∴x=210 时,

x2

x2

R(x)有最大值为- (210-220)2+1 680=1 660.
∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润 1 660 万元.
4

1 5

探究提高 二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最 值.解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时, 一定要注意对称轴与给定区间的关系: 若对称轴在给定的区间内, 可在对称轴处取一最 值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在区间 的端点处取得. 某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x- 0.1x (0<x<240,x∈N ),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销 售 ( ) A.100 台 答案 C 解析 设利润为 f(x)万元,则 B.120 台 C.150 台 D.180 台 收 入 不 小 于 总 成 本 ) 的 最 低 产 量 是
2 *

f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)
=0.1x +5x-3 000 (0<x<240,x∈N ). 令 f(x)≥0,得 x≥150, ∴生产者不亏本时的最低产量是 150 台. 题型二 指数函数模型 例2 诺贝尔奖发放方式为每年一发, 把资金总额平均分成 6 份, 奖励给分别在 6 项(物理、 化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖 金的总金额是基金在该年度所获利息的一半, 另一半利息作基金总额, 以便保证奖金数 逐年增加. 假设基金平均年利率为 r=6.24%.资料显示: 1999 年诺贝尔奖金发放后基金 总额约为 19 800 万美元.设 f(x)表示第 x(x∈N )年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999 年记为 f(1),2000 年记为 f(2),?,依次类推). (1)用 f(1)表示 f(2)与 f(3),并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式; (2)试根据 f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖各项奖金高达 150 万美 元”是否为真,并说明理由.(参考数据:1.031 2 =1.32) 思维启迪:从所给信息中找出关键词,增长率问题可以建立指数函数模型. 解 1 (1)由题意知,f(2)=f(1)(1+6.24%)- f(1)·6.24%=f(1)(1+3.12%), 2 1 2
9 * 2 *

f(3)=f(2)(1+6.24%)- f(2)·6.24%
=f(2)(1+3.12%)=f(1)(1+3.12%) , ∴f(x)=19 800(1+3.12%)
x-1
2

(x∈N ).

*

(2)2008 年诺贝尔奖发放后基金总额为

5

f(10)=19 800(1+3.12%)9=26 136,
1 1 故 2009 年度诺贝尔奖各项奖金为 · f(10)·6.24%≈136(万美元), 与 150 万美元相比 6 2 少了 约 14 万美元,是假新闻. 探究提高 此类增长率问题, 在实际问题中常可以用指数函数模型 y=N(1+p) (其中 N 是基础数,p 为增长率,x 为时间)和幂函数模型 y=a(1+x) (其中 a 为基础数,x 为增 长 率,n 为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对 应求解. 已知某物体的温度 θ (单位:摄氏度)随时间 t(单位:分钟)的变化规律: θ =m·2 +2
t n x

1-t

(t≥0,并且 m>0).

(1)如果 m=2,求经过多少时间,物体的温度为 5 摄氏度; (2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围. 解 (1)若 m=2,则 θ =2·2 +2
t
1-t

? t 1? =2?2 + t?, 2? ?

1 5 1 5 t t 当 θ =5 时,2 + t= ,令 2 =x≥1,则 x+ = , 2 2 x 2 1 2 即 2x -5x+2=0,解得 x=2 或 x= (舍去),此时 t=1. 2 所以经过 1 分钟,物体的温度为 5 摄氏度. (2)物体的温度总不低于 2 摄氏度,即 θ ≥2 恒成立, 2 ?1 1 ? t 亦 m·2 + t≥2 恒成立,亦即 m≥2? t- 2t?恒成立. 2 ?2 2 ? 1 2 令 t=x,则 0<x≤1,∴m≥2(x-x ), 2 1 1 2 由于 x-x ≤ ,∴m≥ . 4 2

?1 ? 因此,当物体的温度总不低于 2 摄氏度时,m 的取值范围是? ,+∞?. 2 ? ?
题型三 分段函数模型 例 3 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,

新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目, 经测算, 该项目月处理成 本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y=

6

1 ? ?3x -80x +5 040x,x∈[120,144? , ?1 ? ?2x -200x+80 000,x∈[144,500],
3 2 2

且每处理一吨二氧化碳得到可利用的

化工产 品价值为 200 元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时, 判断该项目能否获利?如果获利, 求出最大利润; 如果不获利, 则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 思维启迪: 题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系, 项目获利和月处理量 的关系也是分段函数关系. 解 (1)当 x∈[200,300]时,设该项目获利为 S,

?1 2 ? 则 S=200x-? x -200x+80 000? ?2 ?
1 2 1 2 =- x +400x-80 000=- (x-400) , 2 2 所以当 x∈[200,300]时,S<0,因此该单位不会获利. 当 x=300 时,S 取得最大值-5 000, 所以国家每月至少补贴 5 000 元才能使该项目不亏损. (2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为 1 x -80x+5 040,x∈[120,144? . ? ? 3 y = x ?1 80 000 ? ?2x+ x -200,x∈[144,500].
2

y 1 2 ①当 x∈[120,144)时, = x -80x+5 040 x 3
1 2 = (x-120) +240, 3 所以当 x=120 时, 取得最小值 240. ②当 x∈[144,500]时,

y x

y 1 80 000 = x+ -200≥2 x 2 x

1 80 000 x× -200=200, 2 x

1 80 000 y 当且仅当 x= ,即 x=400 时, 取得最小值 200. 2 x x 因为 200<240,所以当每月的处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.

7

探究提高 本题的难点是函数模型是一个分段函数, 由于月处理量在不同范围内, 处理 的成本对应的函数解析式也不同, 故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值, 然 后将这些区间内的最值进行比较确定最值. (2011·北京)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分 钟)

c ? ? x,x<A, 为 f(x)=? c ? ? A,x≥A
组装

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,

第 A 件产品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是 A.75,25 C.60,25 答案 D 解析 由函数解析式可以看出,组装第 A 件产品所需时间为 品 所需时间为 B.75,16 D.60,16

(

)

c =15,故组装第 4 件产 A

c

=30,解得 c=60,将 c=60 代入 =15,得 A=16. 4 A 3.函数建模问题

c

典例:(12 分)

在扶贫活动中, 为了尽快脱贫(无债务)致富, 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖 店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙, 并约定 从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后, 逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件 14 元;② 该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大 余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?

8

审题视角 (1)认真阅读题干内容,理清数量关系.(2)分析图形提供的信息,从图形可 看出函数是分段的.(3)建立函数模型,确定解决模型的方法. 规范解答 解 设该店月利润余额为 L,

则由题设得 L=Q(P-14)×100-3 600-2 000,① -2P+50 ? 14≤P≤20? , ? ? 由销量图易得 Q=? 3 - P+40 ? 20<P≤26? , ? ? 2 代入①式得 ? -2P+50? ? P-14? ×100-5 600 ? 14≤P≤20? , ? ? L=?? 3 ? ?- P+40?? P-14? ×100-5 600 ? 20<P≤26? , ? ? ?? 2 (1)当 14≤P≤20 时,Lmax=450 元,此时 P=19.5 元; 1 250 61 当 20<P≤26 时,Lmax= 元,此时 P= 元. 3 3 故当 P=19.5 元时,月利润余额最大,为 450 元.[8 分] (2)设可在 n 年后脱贫, 依题意有 12n×450-50 000-58 000≥0,解得 n≥20. 即最早可望在 20 年后脱贫.[12 分]

[2 分]

[4 分]

解函数应用题的一般程序: 第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量 关系; 第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知 识建立相应的数学模型; 第三步:求模——求解数学模型,得到数学结论; 第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际 问题的意义. 第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学解, 必须验证这个数学解对实际问题的合理性.

温馨提醒 (1)本题经过了三次建模:①根据月销量图建立 Q 与 P 的函数关系;②建立利润

9

余额函数;③建立脱贫不等式. (2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数,在实际问题中,由于在不同的背景 下解决的问题发生了变化,因此在不同范围中,建立函数模型也不一样,所以现实生活 中分段函数的应用非常广泛. (3)在构造分段函数时,分段不合理、不准确,是易出现的错误.

方法与技巧 (1)认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础; (2)实际问题中往往解决一些最值问题, 我们可以利用二次函数的最值、 函数的单调性、 基本不等式等来得到最值. 失误与防范 1. 函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以,正确理解题意,选择适当的函数模型. 2. 要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 3. 注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.

(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.

有一批材料可以围成 200 m 长的围墙, 现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地 (如图),且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形,则围成的矩形场地的最大面积为 ( A.1 000 m C.2 500 m 答案 C 解析 设围成的场地宽为 x m,面积为 y m , 1 则 y=3x(200-4x)× 3 =-4x +200x (0<x<50).
10
2 2 2

)

B.2 000 m D.3 000 m

2

2

2

当 x=25 时,ymax=25×100=2 500. ∴围成的矩形场地的最大面积为 2 500 m . 2. (2011·湖北改编)里氏震级 M 的计算公式:M=lg A-lg A0,其中 A 是测震仪记录的地 震 曲线的最大振幅,A0 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大 振幅是 1 000,此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为________级;9 级 地 震 的 最 大 振 幅 是 倍. A.6 1 000 C.6 10 000 答案 C 解析 由 M=lg A-lg A0 知,M=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6,∴此次地震的 震级为 6 级. 设 9 级地震的最大振幅为 A1,5 级地震的最大振幅为 A2,则 lg =lg A1-lg A2=(lg A1 -lg A0)-(lg A2-lg A0)=9-5=4.∴ =10 =10 000,∴9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 10 000 倍. 3. ( 5 ) B.4 1 000 D.4 10 000 级 地 震 最 大 振 幅 的 _______
2

A1 A2

A1 A2

4

某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个 月的本地网内打出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图,当打出电话 150 分钟时, 这两种方式电话费相差 A.10 元 C.30 元 答案 A 解析 设 A 种方式对应的函数解析式为 s=k1t+20, B.20 元 40 D. 元 3 ( )

B 种方式对应的函数解析式为 s=k2t,
1 当 t=100 时,100k1+20=100k2,∴k2-k1= , 5

t=150 时,150k2-150k1-20=150× -20=10.

1 5

11

4.

某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润

y(单位:10 万元)与营运年数 x(x∈N*)为二次函数关系(如右图所示),则每辆客车营运
多少年时,其营运的平均利润最大 A.3 答案 C 解析 由题图可得营运总利润 y=-(x-6) +11,
2

( C.5 D.6

)

B.4

y 25 则营运的年平均利润 =-x- +12, x x
∵x∈N ,∴ ≤-2
*

y x

x· +12=2, x

25

25 当且仅当 x= ,即 x=5 时取“=”.

x

∴x=5 时营运的平均利润最大. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5.

如图,书的一页的面积为 600 cm ,设计要求书面上方空出 2 cm 的边,下、左、右方都 空出 1 cm 的边, 为使中间文字部分的面积最大, 这页书的长、 宽应分别为____________. 答案 30 cm、20 cm 解析 设长为 a cm,宽为 b cm,则 ab=600, 则中间文字部分的面积 S=(a-2-1)(b-2) =606-(2a+3b)≤606-2 6×600=486, 当且仅当 2a=3b,即 a=30,b=20 时,S 最大=486. 6. 某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付 费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超 过部分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租 车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________ km.

2

12

答案 9 解析 设出租车行驶 x km 时,付费 y 元, 9,0<x≤3 ? ? 则 y=?8+2.15? x-3? +1,3<x≤8 ? ?8+2.15×5+2.85? x-8? +1,x>8 由 y=22.6,解得 x=9. 7.(2012·绍兴模拟)2008 年我国人口总数为 14 亿, 如果人口的自然年增长率控制在 1.25%, 则________年我国人口将超过 20 亿.(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 7≈0.845 1) 答案 2037 解析 由已知条件:14(1+1.25%)
x-2 008

>20,

10 lg 7 1-lg 7 x-2 008> = =28.7, 81 4lg 3-3lg 2-1 lg 80 则 x>2 036.7,即 x=2 037. 三、解答题(共 25 分) 8. (12 分)

如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC=b (a>b).在 AB、AD、CD、CB 上分别截 取 AE、AH、CG、CF 都等于 x,当 x 为何值时,四边形 EFGH 的面积最大?求出这个最大 面积. 解 设四边形 EFGH 的面积为 S,

1 2 由题意得 S△AEH=S△CFG= x , 2

S△BEF=S△DHG= (a-x)·(b-x).

1 2

?1 2 1 ? 由此得 S=ab-2? x + ? a-x? ? b-x? ? 2 ?2 ? ? a+b?2+? a+b? =-2x +(a+b)x=-2?x- 4 ? 8 ? ?
2 2

.

函数的定义域为{x|0<x≤b}, 因为 a>b>0,所以 0<b< 若

a+b
2

. ? a+b? 时面积 S 取得最大值 4 8
2

a+b
4

≤b,即 a≤3b,x=

a+b


13



a+b
4

>b,即 a>3b 时,函数 S=-2?x-
2

? ?

a+b?2 ? a+b?
+ 4 ? ? 8

2

在(0,b]上是增函数,因此,

当 x=b 时,面积 S 取得最大值 ab-b . 综上可知, 若 a≤3b, 当 x=

a+b

? a+b? 时, 四边形 EFGH 的面积取得最大值 4 8
2

2

; 若 a>3b,

当 x=b 时,四边形 EFGH 的面积取得最大值 ab-b . 9. (13 分)某种出口产品的关税税率为 t,市场价格 x(单位:千元)与市场供应量 p(单位: 万 件)之间近似满足关系式:p=2(1-kt)(k-b) ,其中 k,b 均为常数.当关税税率 t= 75% 时,若市场价格为 5 千元,则市场供应量为 1 万件;若市场价格为 7 千元,则市场供应 量约为 2 万件. (1)试确定 k,b 的值; (2)市场需求量 q(单位:万件)与市场价格 x 近似满足关系式:q=2 ,当 p=q 时,市 场 价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过 4 千元时,试确定关税税率的最大值. 解
? ?? ?? ?? ? ? ?1=2? (1)由已知? ?2=2? ?
-x 2

1-0.75k? ? 5-b? 1-0.75k? ? 7-b?
2 2

2 2



1-0.75k? ? 5-b? 1-0.75k? ? 7-b?

=0 =1

.

解得 b=5,k=1. (2)当 p=q 时,2(1-t)(x-5) =2 , ∴(1-t)(x-5) =-x? t=1+ ? x-5? 25 而 f(x)=x+ 在(0,4]上单调递减,
2 2 -x

x

2

=1+

1 25 x+ -10

x

x

41 ∴当 x=4 时,f(x)有最小值 , 4 故当 x=4 时,关税税率的最大值为 500%. B 组 专项能力提升 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x 和
2

L2
=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得最大 利润为 ( )
14

A.45.606 万元 C.45.56 万元 答案 B

B.45.6 万元 D.45.51 万元

解析 依题意可设甲销售 x 辆,则乙销售(15-x)辆,总利润 S=L1+L2,则总利润 S= 5.06x-0.15x +2(15-x)=-0.15x +3.06x+30=-0.15(x-10.2) +0.15×10.2 + 30 (x≥0).∴当 x=10 时,Smax=45.6(万元). 2.
2 2 2 2

某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些 边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用, 当截取的矩形面积最大时, 矩形两边长

x、y 应为
A.x=15,y=12 C.x=14,y=10 答案 A 24-y x 5 解析 由三角形相似得 = ,得 x= (24-y), 24-8 20 4 5 2 ∴S=xy=- (y-12) +180, 4 ∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 3. (2012·江西)如图, B.x=12,y=15 D.x=10,y=14

(

)

已知正四棱锥 S-ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点,过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记 SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为 V(x), 则 ( ) 函 数

y



V(x)













15

答案 A 解析 “分段”表示函数 y=V(x),根据解析式确定图象. 1 当 0<x< 时,截面为五边形,如图所示. 2

由 SC⊥面 QEPMN,且几何体为正四棱锥,棱长均为 1,可求得正四棱锥的高 h= 取 MN 的中点 O,

2 , 2

易推出 OE∥SA,MP∥SA,NQ∥SA,则 SQ=SP=AM=AN=2x,四边形 OEQN 和 OEPM 为全等的直角梯形, 1 1 2 2 则 VS-AMN= × ·AM·AN·h= x , 3 2 3 此时 V(x)=VS-ABCD-VS-AMN-VS-EQNMP = 2 2 2 1 2 - x - ×(2 2x-3 2x )x 6 3 3
3 2

= 2x - 2x +

1 2? 0<x< ? , ? 2? 6 ? ?

非一次函数形式,排除选项 C,D. 当 E 为 SC 中点时,截面为三角形 EDB,且 S△EDB= 2 . 4

16

1-x? 1 S截面 ? 2 2 ? 当 <x<1 时, = 1 ? ? S 截面= 2(1-x) . 2 2 ? 2 ? ? ? 4 此时 V(x)= 2 3 2 (1-x) ? V′=- 2(1-x) . 3

当 x→1 时,V′→0,则说明 V(x)减小越来越慢,排除选项 B. 方法二 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 4. 某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七月 份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、 八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是 ________. 答案 20 解析 由题意得, 3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%) ]×2≥7 000, 化简得(x%) +3·x%-0.64≥0, 解得 x%≥0.2 或 x%≤-3.2(舍去). ∴x≥20,即 x 的最小值为 20. 5. 某商人购货,进价已按原价 a 扣去 25%.他希望对货物订一新价,以便按新价让利 20% 销售后仍可获得售价 25%的利润,则此商人经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系式为______________. 答案 y= x (x∈N ) 4 解析 设新价为 b,依题意,有 b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%,化简得 b= 5 4 5 a a.∴y=b·20%·x= a·20%·x,即 y= x (x∈N*). 4 4 6. 某医院为了提高服务质量, 对挂号处的排队人数进行了调查, 发现: 当还未开始挂号时, 有 N 个人已经在排队等候挂号; 开始挂号后排队的人数平均每分钟增加 M 人. 假定挂号 的速度是每个窗口每分钟 K 个人,当开放一个窗口时,40 分钟后恰好不会出现排队现 象;若同时开放两个窗口时,则 15 分钟后恰好不会出现排队现象.根据以上信息,若 要求 8 分钟后不出现排队现象,则需要同时开放的窗口至少应有________个. 答案 4 解析 设要同时开放 x 个窗口才能满足要求,
2 2

a

*

17

N+40M=40K, ① ? ? 则?N+15M=15K×2, ② ? ?N+8M≤8Kx. ③
由①②,得?
? ?K=2.5M, ?N=60M, ?

代入③,得 60M+8M≤8×2.5Mx,解得 x≥3.4. 故至少同时开放 4 个窗口才能满足要求. 三、解答题(13 分) 7.(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下, 大桥上的车流速度 v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的 车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆 /千米时,车流速度为 60 千米/时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密 度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 / 时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/时) 解 (1)由题意,当 0≤x≤20 时,v(x)=60;

当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b, 1 ? ?a=-3, 解得? 200 b= . ? ? 3

?200a+b=0, ? 再由已知得? ?20a+b=60, ?

故函数 v(x)的表达式为 60, 0≤x≤20, ? ? v(x)=?1 ? 200-x? , 20<x≤200. ? ?3 (2)依题意并由(1)可得 60x, 0≤x≤20, ? ? f(x)=?1 x? 200-x? , 20<x≤200. ? ?3 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数, 故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 1 当 20<x≤200 时,f(x)= x(200-x) 3
18

1?x+? 200-x? ?2 10 000 ≤ ? ?= 3 , 2 3? ? 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10 000 所以当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 . 3 10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333, 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/时.

19


赞助商链接
相关文章:
【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义__函数图象与...
【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义__函数图象与性质的综合应用_数学_高中教育_教育专区。函数图象与性质的综合应用 1.函数的三要素是对应关系、定义域、值域;...
【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 函数图象与性...
【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 函数图象与性质的综合应用_数学_高中教育_教育专区。专题一 函数图象与性质的综合应用 1.函数的三要素是对应关系、定义域...
【步步高】届高三数学大一轮复习 导数的综合应用学案 ...
【步步高】届高三数学大一轮复习 导数的综合应用学案 新人教A版 - 学案 15 导数的综合应用 导学目标: 1.应用导数讨论函数的单调性, 并会根据函数的性质求...
【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 三角函数与平...
【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 三角函数与平面向量的综合应用_数学_...如图所示的是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|∈?0,2?)...
【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 导数在...
【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 导数在研究函数的应用学案 新人教A版 - 导数在研究函数的应用 0 导学目标: 1.了解函数单调性和导数的...
...专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义...
【浙江专用()】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义专题二利用导数研究函数的性质 - 专题 利用导数研究函数的性质 1.f′(x)>0 在(a,b)上成立是 f(...
【步步高】届高三数学大一轮复习 函数y=Asin(ωx+φ)的...
【步步高】届高三数学大一轮复习 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。学案 20 函数 y=Asin(ω x...
【步步高】届高三数学大一轮复习 函数模型及其应用学案...
【步步高】届高三数学大一轮复习 函数模型及其应用学案 新人教A版 - 学案 12 函数模型及其应用 导学目标: 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道...
【步步高】2016高考数学大一轮复习 2.9函数模型及其应...
【步步高】2016高考数学大一轮复习 2.9函数模型及其应用教师用书 苏教版_...(4)美缘公司 2013 年上市的一种化妆品,由于脱销,在 2014 年曾提价 25%,...
2014步步高大一轮复习数学2.9 函数的应用
2014步步高大一轮复习数学2.9 函数的应用_理学_高等...顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然...【步步高】2014届高三数... 19页 免费 【步步高...
更多相关标签: