当前位置:首页 >> 数学 >>

高三一轮复习导学案01 第01章 第01节——集合的概念与运算,第02节——命题及其关系、充分条件与必要条件


§ 1.1

集合的概念及其基本运算

1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:____________、______________、____________. (2)元素与集合的关系是________或__________关系,用符号______或______表示. (3)集合的表示法:____________、__________、__________、__________. (4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为__________、__________、 __________. 2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). 若 A?B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 x?A,则_________(或________). ?_______A;A______A;A?B,B?C?A______C. 若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有______个,A 的非空子集有________个,A 的非空 真子集有________个. (2)集合相等 若 A?B 且 B?A,则 A=B. 3.集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}; 交集:A∩B=______________; 补集:?UA=______________. U 为全集,?UA 表示 A 相对于全集 U 的补集.

(2)集合的运算性质 并集的性质: A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质: A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A. [难点正本 疑点清源] 1.正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念, 特别是集合中元素的三个特征, 尤其是“确定性和互异性” 在解题中要注意运用.在解决含参数问题时,要注意检验,否则很可能会因为不满足 “互异性”而导致结论错误. 2.注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合 非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A?B,则需考虑 A=?和 A≠?两种可 能的情况. 3.正确区分?,{0},{?} ?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元素 0 的集合,它不是空集,因为 它有一个元素,这个元素是 0.{?}是含有一个元素?的集合.??{0},??{?},?∈{?}, {0}∩{?}=?.

1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则 A∩(?UB)=________. 2.若全集 U=R,集合 A={x|x≥1}∪{x|x≤0},则?UA=________. 3.已知集合 A={x|a-1≤x≤1+a},B={x|x2-5x+4≥0},若 A∩B=?,则实数 a 的取 值范围是________. 4.已知集合 A={-1,2},B={x|mx+1=0},若 A∪B=A,则 m 的可能取值组成_ ___________________. 2 5. 已知 R 是实数集, M={x| <1}, N={y|y= x-1}, N∩(?RM)等于 则 x A.(1,2) B.[0,2] C.? D.[1,2] ( )

题型一 集合的基本概念 例1 (1)已知 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且 1∈A,求实数 2 013a 的值;

(2)x,x2-x,x3-3x 能表示一个有三个元素的集合吗?如果能表示一个集合,说明理 由;如果不能表示,则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合. 探究提高 特别注意. (2)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. 若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a=________. 题型二 集合间的基本关系 例2 1 ? ? 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B=?x|-2<x≤2?.
? ?

(1)加强对集合中元素的特征的理解,互异性常常容易忽略,求解问题时要

(1)若 A?B,求实数 a 的取值范围; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围; (3)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试说明理由. 探究提高 在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮 助分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行分类讨论.分 类时要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对每一类情况都要给出问题的解答. 分类讨论的一般步骤:①确定标准;②恰当分类;③逐类讨论;④归纳结论. 已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取值范围 是(c,+∞),其中 c=________. 题型三 集合的基本运算 例 3 设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(?UA)∩B

=?,则 m 的值是________. 探究提高 本题的主要难点有两个:一是集合 A,B 之间关系的确定;二是对集合 B 中方程的分类求解.集合的交并补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系,这 些联系通过 Venn 图进行直观的分析不难找出来,如 A∪B=A?B?A,(?UA)∩B=?? B?A 等, 在解题中碰到这种情况时要善于转化, 这是破解这类难点的一种极为有效的 方法. 设全集是实数集 R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围.

题型四 集合中的新定义问题 例4 在集合{a,b,c,d}上定义两种运算⊕和?如下:

那么⊕×(a ? c)等于 A.a B.b C.c D.d

(

)

探究提高 本题新定义了两种运算,看似复杂,但事实上运算结果可以通过题目中的 表格得出.借助于集合定义新运算是高考中命制创新试题的一个良好素材. 已知集合 S={0,1,2,3,4,5},A 是 S 的一个子集,当 x∈A 时,若有 x-1? A,且 x+1?A,则称 x 为 A 的一个“孤立元素”,那么 S 中无“孤立元素”的 4 个元 素的子集共有________个,其中的一个是____________.

1.忽略空集致误 试题:(1)(5 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a 的可取 值组成的集合为__________. (2)(5 分)若集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B?A,则由 m 的可 取值组成的集合为____________. 学生答案展示

审题视角

(1)从集合的关系看,S?P,则 S=?或 S≠?.(2)从集合元素看,第(1)小题 S≠

1 1 1 1 ?时,S 中元素为- =-3 或- =2,即 a= 或 a=- .第(2)小题 B≠?,必有 a a 3 2

?m+1≤2m-1 ? ?m+1≥-2 ?2m-1≤5 ?
正确答案 解析
?

.

1 1? ? (1)?0,3,-2?
?

(2){m|m≤3}

(1)P={-3,2}.当 a=0 时,S=?,满足 S?P;

1 当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解集为 x=- , a 1 1 为满足 S?P 可使- =-3 或- =2, a a

1 1 即 a= 或 a=- . 3 2 1 1? ? 故所求集合为?0,3,-2?.
? ?

(2)当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B=?,满足 B?A; 若 B≠?,且满足 B?A,如图所示,

?m+1≤2m-1, ? 则?m+1≥-2, ?2m-1≤5, ?

?m≥2, ? 即?m≥-3, ?m≤3, ?

∴2≤m≤3.

故 m<2 或 2≤m≤3,即所求集合为{m|m≤3}. 批阅笔记 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键 是抓住集合间的关系以及集合元素的特征. (2)在解答本题时, 存在两个典型错误. 一 是忽略对空集的讨论, S=?时, 如 a=0; B=?时, m<2.二是易忽略对字母的讨论. 如 1 - 可以为-3 或-2.因此,在解答此类问题时,一定要注意分类讨论,避免漏解. a

方法与技巧 1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行 检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2. 对连续数集间的运算, 借助数轴的直观性, 进行合理转化; 对已知连续数集间的关系, 求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图.这是数形结合思想 的又一体现. 失误与防范 1.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关 注对空集的讨论,防止漏解. 2. 解题时注意区分两大关系: 一是元素与集合的从属关系; 二是集合与集合的包含关系. 3.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求 解的两个先决条件. 4.Venn 图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图 示法要特别注意端点是实心还是空心. 5.要注意 A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性.

§ 1.1

集合的概念及其基本运算
(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练题组

一、选择题 1.(2011· 广东)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数, 且 y=x},则 A∩B 的元素个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 ) ( )

x 2.已知集合 M={x| ≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则 M∩N 等于( x-1 A.? B.{x|x≥1} C.{x|x>1} D.{x|x≥1 或 x<0} 3.如果全集 U=R,A={x|2<x≤4},B={3,4},则 A∩(?UB)等于 A.(2,3)∪(3,4) B.(2,4) C.(2,3)∪(3,4] D.(2,4] 二、填空题 4.已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 B?A,则 a=__________. (

)

5.已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B =__________. 6.定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合 A={0,1},B={2,3}, 则集合 A⊙B 的所有元素之和为________. 三、解答题 7.已知集合 A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 8.对任意两个集合 M、N,定义:M-N={x|x∈M 且 x?N},M*N=(M-N)∪(N-M), 设 M={y|y=x2,x∈R},N={y|y=3sin x,x∈R},求 M*N. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1.设集合 A={1,2,3,5,7},B={x∈Z|1<x≤6},全集 U=A∪B,则 A∩(?UB)等于( )

A.{1,4,6,7} C.{1,7}

B.{2,3,7} D.{1}

2.(2011· 安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S?A 且 S∩B≠?的集合 S 的个数是 A.57 C.49 B.56 D.8 ( ) ( )

1 3.(2011· 湖北)已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP 等于 x 1 A.?2,+∞? ? ? 1 B.?0,2? ? ? C.(0,+∞) 1 D.(-∞,0]∪?2,+∞? ? ? 4.已知集合 A={x|log2x+1>0},B={y|y= 3-2x-x2},则(?RA)∩B 等于 1 A.?0,2? ? ? C.(-3,2] 二、填空题 1 B.?0,2? ? ? 1 D.?-3,2? ? ?

(

)

5. 已知集合 A=(-∞, B={1,3, 0], a}, A∩B≠?, 若 则实数 a 的取值范围是________. 6.(2010· 重庆)设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2 +mx=0},若? UA={1,2},则实数 m= ________. 7. A={x||x|≤3}, 设 B={y|y=-x2+t}, A∩B=?, 若 则实数 t 的取值范围是__________. 三、解答题 x-5 8.已知集合 A={x| ≤0},B={x|x2-2x-m<0}, x+1 (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值.

答案
要点梳理 1.(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于 不属于 ∈ 区间法 (5)有限集 无限集 空集 2n-1 2n-2 ? (3)列举法 描述法 图示法

2.(1)A?B B?A ? ? ? 2n

3.(1){x|x∈A,且 x∈B} {x|x∈U,且 x?A} 基础自测 1.{2,4} 2.{x|0<x<1} 3.(2,3) 1? ? 4.?0,1,-2?
? ?

5.B

题型分类· 深度剖析 例1 解 (1)当 a+2=1,即 a=-1 时,

(a+1)2=0,a2+3a+3=1 与 a+2 相同, ∴不符合题意. 当(a+1)2=1,即 a=0 或 a=-2 时, ①a=0 符合要求. ②a=-2 时,a2+3a+3=1 与(a+1)2 相同,不符合题意. 当 a2+3a+3=1,即 a=-2 或 a=-1. ①当 a=-2 时,a2+3a+3=(a+1)2=1,不符合题意. ②当 a=-1 时,a2+3a+3=a+2=1,不符合题意. 综上所述,a=0. ∴2 013a=1. (2)因为当 x=0 时,x=x2-x=x3-3x=0. 所以它不一定能表示一个有三个元素的集合. 要使它表示一个有三个元素的集合,

?x≠x -x, ?2 3 则应有?x -x≠x -3x, ?x≠x3-3x. ?
∴x≠0 且 x≠2 且 x≠-1 且 x≠-2 时,{x,x2-x,x3-3x}能表示一个有三个元素的 集合. 9 变式训练 1 0 或 8 例2 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论:

2

①若 a=0,则 A=R;

1? ? 4 ②若 a<0,则 A=?x|a≤x<-a?;
? ?

1 4? ? ③若 a>0,则 A=?x|-a<x≤a?. ? ? (1)当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在. 当 a<0 时,若 A?B,如图,

?a>-2 则? 1 ?-a≤2
4 1

?a>0或a<-8 ? ,∴? 1 , ? ?a>0或a≤-2

又 a<0,∴a<-8. 当 a>0 时,若 A?B,如图,

?-a≥-2 则? 4 ?a≤2
1

1
? ?a≥2或a<0 ,∴? . ? ?a≥2或a<0

又∵a>0,∴a≥2. 综上知,当 A?B 时,a<-8 或 a≥2. (2)当 a=0 时,显然 B?A; 当 a<0 时,若 B?A,如图,

?a≤-2 则? 1 ?-a>2
4 1

?-8≤a<0 ? ,∴? 1 . ? ?-2<a<0

1 又∵a<0,∴- <a<0. 2 当 a>0 时,若 B?A,如图,

?-a≤-2 则? 4 ?a≥2
1

1
? ?0<a≤2 ,∴? . ? ?0<a≤2

又∵a>0,∴0<a≤2.

1 综上知,当 B?A 时,- <a≤2. 2 (3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时, A=B. 由(1)、(2)知,a=2. 变式训练 2 4 例3 1或2

1 变式训练 3 解 (1)∵A={x| ≤x≤3}, 2 当 a=-4 时,B={x|-2<x<2}, 1 ∴A∩B={x| ≤x<2}, 2 A∪B={x|-2<x≤3}. 1 (2)?RA={x|x< 或 x>3}, 2 当(?RA)∩B=B 时,B??RA, 即 A∩B=?. ①当 B=?,即 a≥0 时,满足 B??RA; ②当 B≠?,即 a<0 时, B={x|- -a<x< -a}, 1 要使 B??RA,需 -a≤ , 2 1 解得- ≤a<0. 4 1 综上可得,实数 a 的取值范围是 a≥- . 4 例4 A

变式训练 4 6 {0,1,2,3} 课时规范训练 A组 1.C 2.C 3.A 4.-1 或 2 5.{(0,1),(-1,2)} 6.18

7.解 由已知得 A={x|-1≤x≤3}, B={x|m-2≤x≤m+2}.
? ?m-2=0, (1)∵A∩B=[0,3],∴? ?m+2≥3. ?

∴m=2. (2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2},

∵A??RB,∴m-2>3 或 m+2<-1, 即 m>5 或 m<-3. 8.解 ∵M={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}, N={y|y=3sin x,x∈R}={y|-3≤y≤3}, ∴M-N={y|y>3}, N-M={y|-3≤y<0}, ∴M*N=(M-N)∪(N-M) ={y|y>3}∪{y|-3≤y<0} ={y|y>3 或-3≤y<0}. B组 1.C 2.B 3.A 4.A 5.a≤0 6.-3 7.(-∞,-3)

x-5 8.解 由 ≤0, x+1 所以-1<x≤5,所以 A={x|-1<x≤5}. (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3}, 则?RB={x|x≤-1 或 x≥3}, 所以 A∩(?RB)={x|3≤x≤5}. (2)因为 A={x|-1<x≤5}, A∩B={x|-1<x<4}, 所以有 42-2×4-m=0,解得 m=8. 此时 B={x|-2<x<4},符合题意, 故实数 m 的值为 8.

§ 1.2

命题及其关系、充分条件与必要 条件

1.命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以____________的陈述句叫做命题.其中 ______________的语句叫真命题,____________的语句叫假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 (2)四种命题间的逆否关系 表述形式 若 p,则 q

(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有________的真假性;

②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性______________关系. 3.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的____________,q 是 p 的____________; (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的____________. [难点正本 疑点清源] 1.用集合的观点,看充要条件 设集合 A={x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件 q},则有: (1)若 A?B,则 p 是 q 的充分条件,若 A?B,则 p 是 q 的充分不必要条件; (2)若 B?A,则 p 是 q 的必要条件,若 B?A,则 p 是 q 的必要不充分条件; (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; (4)若 A? B,且 B? A,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

2.从逆否命题,谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而,当判断原命题的真假比较困 难时,可转化为判断它的逆否命题的真假.这就是常说的“正难则反”.

1.给出命题:“若 x2+y2=0,则 x=y=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真 命题的个数是______. 2.下列命题中所有真命题的序号是________. ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件. 1 1 3. “x>2”是“ < ”的________条件. x 2 4.设集合 A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是 “x∈C”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) ( )

5.已知 α,β 的终边在第一象限,则“α>β”是“sin α>sin β”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

题型一 四种命题的关系及真假判断

例1

以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).

①“若 log2a>0,则函数 f(x)=logax (a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0”; ③命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M,则 a?M”等价. 探究提高 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键;(2)根据

“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直 接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)认真仔细读题,必要时举特 例. 有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 题型二 充分、必要、充要条件的概念与判断 例 2 指出下列命题中,p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条

件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC 中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B; (2)对于实数 x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6; (3)非空集合 A、B 中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (4)已知 x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0, q:(x-1)(y-2)=0. 探究提高 判断 p 是 q 的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件 p 能否推得条件 q; 二是由条件 q 能否推得条件 p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题, 除借助 集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题 和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题. 给出下列命题: ①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件; ②“a=2”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件; ③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0 与直线 mx-6y+5=0 互相垂直”的充要条 件; ④设 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3,则 A=30° 是 B=60° 的必要不充分条件.

其中真命题的序号是________. . 题型三 充要条件的证明 例3 求证:关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1. (1)条件已知证明结论成立是充分性,结论已知推出条件成立是必要性.

探究提高

(2)证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性.证明时,不要认为它是推理过程的 “双向书写”,而应该进行由条件到结论,由结论到条件的两次证明. (3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪是条件,哪是结论. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=pn+q(p≠0,且 p≠1),求证:数列{an}为等 比数列的充要条件为 q=-1.

1.等价转化思想在充要条件 关系中的应用 x-1? 试题:(12 分)已知 p:?1- ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且綈 p 是綈 q 的必 3 ? ? 要而不充分条件,求实数 m 的取值范围. 审题视角 (1)先求出两命题的解集,即将命题化为最简.

(2)再利用命题间的关系列出关于 m 的不等式或不等式组,得出结论. 规范解答 解 方法一 由 q:x2-2x+1-m2≤0, [2 分] [3 分] [5 分] [6 分]

得 1-m≤x≤1+m, ∴綈 q: A={x|x>1+m 或 x<1-m, m>0}, x-1? 由?1- ≤2, 解得-2≤x≤10, 3 ? ? ∴綈 p:B={x|x>10 或 x<-2}. ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件.

?m>0, ? ∴A?B,∴?1-m<-2, ?1+m≥10, ?

?m>0, ? 或?1-m≤-2, ?1+m>10, ?

即 m≥9 或 m>9.∴m≥9.[12 分] 方法二 ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件, ∴p 是 q 的充分而不必要条件, 由 q:x2-2x+1-m2≤0,得 1-m≤x≤1+m, ∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m}, [4 分] [2 分]

x-1? 由?1- ≤2,解得-2≤x≤10, 3 ? ? ∴p:P={x|-2≤x≤10}. ∵p 是 q 的充分而不必要条件, [6 分]

?m>0, ? ∴P?Q,∴?1-m<-2, ?1+m≥10, ?
即 m≥9 或 m>9.∴m≥9.

?m>0, ? 或?1-m≤-2, ?1+m>10, ?
[12 分]

批阅笔记 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏 的问题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充 要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关 键.

方法与技巧 1. 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时, 必须保留大前提, 也就是大前提不动; 对于由多个并列条件组成的命题,在写其它三种命题时,应把其中一个(或 n 个)作为 大前提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定理是有区别的;命题有真假 之分,而定理都是真的. 3.命题的充要关系的判断方法 (1)定义法:直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假. (2)等价法:利用 A?B 与綈 B?綈 A,B?A 与綈 A?綈 B,A?B 与綈 B?綈 A 的等 价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:若 A?B,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条 件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件. 失误与防范 1.否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,而命题的否定是只否定命题的结 论.要注意区别. 2.判断 p 与 q 之间的关系时,要注意 p 与 q 之间关系的方向性,充分条件与必要条件方 向正好相反,不要混淆.

§ 1.2

命题及其关系、充分条件与必要条件
(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练题组

一、选择题 1.(2011· 陕西)设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是 A.若 a≠-b,则|a|≠|b| B.若 a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b D.若|a|=|b|,则 a=-b 2.已知集合 M={x|0<x<1},集合 N={x|-2<x<1},那么“a∈N”是“a∈M”的 ( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列命题中为真命题的是 A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B.命题“x>1,则 x2>1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题 二、填空题 1 4. “m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的____________条件. 4 5.下列命题: ①若 ac2>bc2,则 a>b; ②若 sin α=sin β,则 α=β; ③“实数 a=0”是“直线 x-2ay=1 和直线 2x-2ay=1 平行”的充要条件; ④若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是________. 6.已知 p(x):x2+2x-m>0,如果 p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数 m 的取值范围为 ________. 三、解答题 7.已知 p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件, ` ( ) ) ( )

求实数 m 的取值范围. 8.设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0;q:实数 x 满足 x2-x-6≤0,或 x2+2x -8>0,且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1.(2011· 福建)若 a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2.已知 p: ≥1, |x-a|<1, p 是 q 的充分不必要条件, q: 若 则实数 a 的取值范围为( x-2 A.(-∞,3] C.(2,3] B.[2,3] D.(2,3) ( ) ) ( )

3.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题

4.设有两个命题 p、q.其中 p:对于任意的 x∈R,不等式 ax2+2x+1>0 恒成立;命题 q: f(x)=(4a-3)x 在 R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题,那么实数 a 的取值范围是____________. 5.若“x∈[2,5]或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取值范围是________. 6.在“a,b 是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非 空数集,则 a2-4b≥0”,给出下列命题: ①若 a2-4b≥0,则不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非空数集; ②若 a2-4b<0,则不等式 x2+ax+b≤0 的解集是空集; ③若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是空集,则 a2-4b<0; ④若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非空数集,则 a2-4b<0; ⑤若 a2-4b<0,则不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非空数集; ⑥若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是空集,则 a2-4b≥0. 其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是 ________(按要求的顺序填写).

7.(2011· 陕西)设 n∈N+, 一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根的充要条件是 n=________. .. 三、解答题 8.已知全集 U=R,非空集合 A=?x|
? x-a2-2 ? <0?. B=?x| x-a ? ? ? ? x-2 <0?, ? x-?3a+1? ?

1 (1)当 a= 时,求(?UB)∩A; 2 (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

答案
要点梳理 1.判断真假 判断为真 判断为假 2.(1)若 q,则 p 若綈 p,则綈 q 若綈 q,则綈 p (2)逆命题 否命题 逆否命题 (3)①相同 ②没有 3.(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件 基础自测 1.3 2.②③ 3.充分不必要 4.C 5.D

题型分类· 深度剖析 例1 ②④

变式训练 1 ①③ 例2 解 (1)在△ABC 中,∠A=∠B?sin A=sin B,反之,若 sin A=sin B,因为 A 与

B 不可能互补(因为三角形三个内角和为 180° ),所以只有 A=B.故 p 是 q 的充要条件. (2)易知,綈 p:x+y=8,綈 q:x=2 且 y=6,显然綈 q?綈 p,但綈 p 綈 q,即

綈 q 是綈 p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是 q 的充分 不必要条件. (3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B,但 x∈B 一定有 x∈A∪B,所以 p 是 q 的必要不充 分条件. (4)条件 p:x=1 且 y=2,条件 q:x=1 或 y=2,所以 p?q 但 q 充分不必要条件. 变式训练 2 ①④ 例3 证明 充分性: p,故 p 是 q 的

当 a=0 时,方程为 2x+1=0, 1 其根为 x=- ,方程有一个负根,符合题意. 2 1 当 a<0 时,Δ=4-4a>0,方程 ax2+2x+1=0 有两个不相等的实根,且 <0,方程有 a 一正一负根,符合题意. 当 0<a≤1 时,Δ=4-4a≥0,方程 ax2+2x+1=0 有实根,

?-a<0 且? 1 ?a>0
2



故方程有两个负根,符合题意. 综上知:当 a≤1 时,方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根. 必要性:若方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根. 当 a=0 时,方程为 2x+1=0 符合题意. 当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 应有一正一负根或两个负根.

? 2 ?- <0 1 则 <0 或? a a ?1>0 ?a

Δ=4-4a≥0 .

解得 a<0 或 0<a≤1. 综上知:若方程 ax2+2x+1=0 至少有一负根,则 a≤1. 故关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1. 变式训练 3 证明 充分性:当 q=-1 时, a1=S1=p+q=p-1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn 1(p-1). 当 n=1 时也成立. an+1 pn?p-1? 于是 = =p(n∈N*), an pn-1?p-1? 即数列{an}为等比数列. 必要性:当 n=1 时,a1=S1=p+q. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn 1(p-1). an+1 pn?p-1? ∵p≠0,p≠1,∴ = =p. an pn-1?p-1? ∵{an}为等比数列, a2 an+1 ∴ = =p,又 S2=a1+a2=p2+q, a1 an p?p-1? ∴a2=p2-p=p(p-1),∴ =p, p+q 即 p-1=p+q.∴q=-1. 综上所述,q=-1 是数列{an}为等比数列的充要条件. 课时规范训练 A组 1.D 2.B 3.A 4.充分不必要 5.①③④ 6.[3,8)
- -

7.解 由题意 p:-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5. ∴綈 p:x<1 或 x>5.

q:m-1≤x≤m+1, ∴綈 q:x<m-1 或 x>m+1. 又∵綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件,
?m-1≥1, ? ∴? ? ?m+1≤5.

∴2≤m≤4.

8.解 设 A={x|p}={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0}, B={x|q}={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0}={x|x2-x-6≤0}∪{x|x2+2x-8>0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2} ={x|x<-4 或 x≥-2}. ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, ∴綈 q?綈 p,且綈 pD?/綈 q. 则{x|綈 q}? { x|綈 p}, 而{x|綈 q}=?RB={x|-4≤x<-2}, {x|綈 p}=?RA={x|x≤3a 或 x≥a,a<0},
?3a≥-2, ?a≤-4, ? ? ∴{x|-4≤x<-2}? { x|x≤3a 或 x≥a,a<0},则? 或? ?a<0 ?a<0. ? ?

2 综上,可得- ≤a<0 或 a≤-4. 3 B组 1.A 2.C 8.解 3 3.B 4.?4,1?∪(1,+∞) ? ? 5.[1,2) 6.①③②④ 7.3 或 4

1 (1)当 a= 时, 2

A=?

?x|x-2<0? ? ? ? 5? 5 ?=?x|2<x< ?, 2? ? x-2 ? ? ? ?
9

? x-4 ? ? 1 9? B=?x| 1<0?=?x|2<x<4?, ? ? ? x-2 ?
1 9? ? ∴?UB=?x|x≤2或x≥4?. ? ? 5? ? 9 ∴(?UB)∩A=?x|4≤x<2?.
? ?

(2)∵a2+2>a,∴B={x|a<x<a2+2}.

1 ①当 3a+1>2,即 a> 时,A={x|2<x<3a+1}.∵p 是 q 的充分条件,∴A?B. 3
?a≤2 ? 3- 5 1 ∴? ,即 <a≤ . 2 3 2 ? ?3a+1≤a +2

1 ②当 3a+1=2,即 a= 时,A=?,不符合题意; 3 1 ③当 3a+1<2,即 a< 时,A={x|3a+1<x<2}, 3
? ?a≤3a+1 1 1 由 A?B 得? 2 ,∴- ≤a< . 2 3 ? ?a +2≥2

综上所述,实数 a 的取值范围是

?-1,1?∪?1,3- 5?. ? ? 2 3? ?3 2 ? ?


相关文章:
...第01节集合的概念与运算,第02节命题及其关....doc
高三一轮复习导学案01 第01章 第01节集合的概念与运算,第02节命题及其关系、充分条件与必要条件_数学_高中教育_教育专区。第01节集合的概念与运算...
高三数学一轮复习第01课集合的概念与运算教学案2.doc
高三数学一轮复习第01集合的概念与运算教学案2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学一轮复习第01集合的概念与运算教学案2 ...
2019年高考数学一轮复习专题1.1集合的概念及其基本运算....doc
2019年高考数学一轮复习专题1.1集合的概念及其基本运算(讲)理_高考_高中教育_教育专区。第 01 节 命题角度 考纲内容 集合的概念及其基本运算 5 年统计 2018 ...
必修第01章第02节导学案-时间和位移-A4-带答案.doc
必修第01章第02节导学案-时间和位移-A4-带答案_高一理化生_理化生_高中教育_教育专区。§1.2 时间和位移 导学案 【学习目标】 1.知道时刻与时间间隔的区别和...
2019届一轮复习人教A版集合的概念及其基本运算学案(2).doc
2019届一轮复习人教A版集合的概念及其基本运算学案(2)_高考_高中教育_教育专区。第 01 节 命题角度 考纲内容 集合的概念及其基本运算 5 年统计 2018 课标 II,...
2019年上海高考数学第一轮复习讲义 第01讲 集合.doc
2019年上海高考数学第一轮复习讲义 第01讲 集合_高考_高中教育_教育专区。2019 年上海高考数学第一轮复习 (第 01 讲 集合) [基础篇]一 集合的概念 的 ...
...一轮复习讲练测专题1.1+集合的概念及其基本运算(测)....doc
2019 年高考数学讲练测【新课标版理】 【测】第一章 集合常用逻辑用语 第 01 节 班级___ 集合的概念及其基本运算 学号___ 得分___ 姓名 2019 年高考数...
...一轮复习讲练测专题1.1+集合的概念及其基本运算(讲)....doc
2019年高考数学(文)一轮复习讲练测专题1.1+集合的概念及其基本运算(讲)_高三...第 01 节 集合的概念及其基本运算 【考纲解读】 命题角度 考纲内容 1.了解...
高三数学第一轮复习教案.doc
高三数学第一轮复习教案_数学_高中教育_教育专区。高考数学总复习教案及知识点 第一-集合§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构: 本章知识主要分为集合、...
2019届高三数学(理)第一轮复习教学进度表.doc
2019 届高三数学(理)第一轮复习教学进度表 第一轮...集合的概念及其基本运算 第一周 集合常 2.命题...(10.01-10.07) (国庆节) 11.导数的应用 第六...
2015届高三第一轮复习《文化生活》第一课导学案.doc
2015 届高三年级政治学科 《文化生活》第一轮复习导学案 编号:30101-02 第一课 文化与生活班级 课时:2 课时 组别 课型:复习课 姓名 审核:高三备课组 学号 一...
初三语文第一轮复习导学案.doc
2017 年初三语文第一轮复习导学案(01)内容:七(上)古诗背诵、鉴赏 一、复
高三生物 一轮复习免费学习_高中生物_教学视频大全.doc
高三生物 一轮复习课程 5 课时数60课时 在学人数403人价格: 免费 立即学习 ...第1章 专题一 种群、群落与生态(必修三)01 种群的特征 14分钟 02 种群的...
高三地理第一轮复习两极地区_图文.ppt
高三地理第一轮复习两极地区_高三政史地_政史地...气候严 寒 C 南极地区 南极大陆及其沿海岛屿...①②③④⑤ 【解题思路】 (1)题有关区时的计算...
高三一轮复习课杂交育种与诱变育种_图文.ppt
袁隆平超级稻创世纪单产记录 一轮复习 必修二 第6章第1节 杂交育种与诱变育种 考纲解读考纲内容 1.生物变异在 育种上的应用 2.转基因生物Ⅰ 能力要求Ⅱ 命题 ...
高三文科数学第一轮复习免费学习_中小学高三_教学视频....doc
目录(共1章)第1章 高三文科数学第一轮复习01 陈军_数学_高三_高三一轮复习-精彩片段_2013.9.3_01000563 4分钟 02 陈军_数学_高三_高三一轮复习-精彩片段_...
现代企业管理 第01章_图文.ppt
高等院校精品课程规划教材 经管系列 现代企业管理 (第2版) 姜真主编袁博董华
高三化学一轮复习 元素及其化合物 复习建议.doc
高三化学一轮复习 元素及其化合物 复习建议_理化生_高中教育_教育专区。高考一轮复习 “元素及其化合物” 一 教材体系的构建 旧过渡教材 新课标教材 高一 碱...
高三化学上学期教学计划修改版.doc
目标:高三化学第一轮总复习,主要是帮助考生对已基本...第一《化学反应及其能量变化》 第二章《碱金属》...10.2411.01 11.0211.16 第六章《硫...
《教育法学》第01章在线测试及答案.doc
《教育法学》第 01 章在线测试 《教育法学》第 01 章在线测试 剩余时间:58:05 答题须知:1、本卷满分 20 分。 2、答完题后,请一定要单击下面的“交卷”...
更多相关标签: