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2013湖北省八市高三3月调考数学理试题及答案


南闸中学2013届高三理科数学综合测试题(一)
制卷人 刘向阳 使用时间 2013-3-24 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.复数
5 2i ? 1

10.抛物线 y 2 的射影为 M
4 3 3

? 4x
?, 则

的焦点为 F ,点 A , B 在抛物线上,且 ? A F B
| MM ?| | AB |

?

2 3

π

,弦 A B 中点 M 在准线 l 上

的最大值为
3 2 3 3

开始

的共轭复数是
输入N

A.

B.

3

C.

D.

3

A. 2 i ? 1 B. ? 1 ? 2i C. 2 i ? 1 2.已知命题 p : ? x ? R , 2 x ? 0 ,那么命题 ? p 为 A. ? x ?
R,2 ≤ 0
x

D. 1 ?
x

2i

k=1,p=1 p=p?k k<N 否 输出p 结束 是 k=k+1

B. ? x ?

R,2 ? 0

二、填空题(本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应 题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分) (一)必做题(11—14 题) 11.在 (1 ? 3 x ) n 的展开式中,各项系数的和等于 64,那么此 3 展开式中含 x 项的系数 ▲
2

C. ? x ? R , 2 x ? 0 D. ? x ? R , 2 x ≤ 0 3.执行右边的框图,若输入的 N 是 6 ,则输出 p 的值是 A.120 B.720 C.1440 D.5040 4.不等式组 ?
? ( x ? y ? 3)( x ? y ) ≥ 0 , ?0 ≤ x ≤ 4

.

4 正视图

2 侧视图

12.如图所示,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 (单位:cm),则该三棱锥的外接球的表面积为 ___▲___ c m 2 . 13. 函数
f ( x ) ? 3 s in ( 2 x ? π ) 3

俯视图

表示的平面区域是 C.直角梯形
?x

第 12 题图

第 3 题图

的图象为 C ,如下结论中正确的是





A.矩形 5.设 a ? R ,函数 A. 1

B.三角形
f (x) ? e
x

D.等腰梯形 ,且
f ?( x )

? a ?e

的导函数是 C.
1 2

f ?( x )

是奇函数,则 a 的值为
y y=x3 1

(写出所有正确结论的编号) .. ① 图象 C 关于直线 x ③ 函数
f (x)

B. ?

1 2

D. ? 1
3

?

11 12

π

对称;

② 图象 C 关于点 (

2π 3

,) 0

对称;
7 ???

6.如图,设 D 是图中边长为 2 的正方形区域, E 是函数 y ? x

在区间 ( ?

的图象与 x 轴及 x ? ? 1 围成的阴影区域.向 D 中随机投一点, 则该点落入 E 中的概率为 A.
1 16

-1 O 1

x

5π , ) 12 12

π

内是增函数;
π 3

2 3 4 5

3 5

4 7

5 9

6

④ 由y
-1

? 3 s in 2 x

的图象向右平移

个单位长度可

11 13 ???

B.

1 8

C.

1 4

D.

1 2

7.下列结论正确的是 ①“ a
? 1 4
2

”是“对任意的正数 x ,均有 x

?

a x

≥ 1 ”的充分非必要条件

第 6 题图

以得到图象 C . 14.如图表中数阵为“森德拉姆素数筛” ,其特点是 每行每列都成等差数列,记第 i 行第 j 列的数为
a ij ( i , j ? N ) ,则
*

7 10 13 16 19 ??? 9 13 17 21 25 ???

6 11 16 21 26 31 ??? 7 13 19 25 31 37 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???

②随机变量 ? 服从正态分布 N ( 2 , 2 ) ,则 D ( ? ) ? 2 ③线性回归直线至少经过样本点中的一个 ④若 10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均 数为 a ,中位数为 b ,众数为 c ,则有 c ? b ? a c A.③④ B.①② C. ①③④ D.①④ 8. 《莱因德纸草书》 (Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道题目: 把 1 0 0 个面包分给 5 个人, 使每人所得成等差数列, 且使较大的三份之和的 则最小 1 份为 A.
5 6
1 7

(Ⅰ) a 9 9 ?



; ▲ 次.

(Ⅱ)表中数 82 共出现

第 14 题图

是较小的两份之和,

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(选修4-1:几何证明选讲)如图所示,圆 O 的直径 A B ? 6 , C 为圆周上一点, B C ? 3 ,过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l D 的垂线 A D ,垂足为 D ,则 ? D A C ? ▲ . E C 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)设直线 l 1 的参数方程为
?x ?1? t ? ? y ? a ? 3t

B.

10 3

C. ,则函数 y

5 3

D. 的零点个数是

11 6

( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴非负半

A

O

B

轴为极

9.已知函数 A.4

? x ? 1( x ≤ 0 ) f (x) ? ? ? lo g 2 x ( x ? 0 )

? f [ f ( x )] ? 1

轴 建 立 极 坐 标 系 , 另 一 直 线 l2 的 方 程 为
? n ? 3 ?c i s o ? s
4 0? ? ?

, 若 直 线 l1 与 l 2 间 的 距 离 为 .

第 15 题图

10

, 则

B.3

C. 2

D.1

实数 a 的值为



三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分)已知 A、B、C 为 ? A B C 的三个内角且向量
?? ? C C C 3 m ? (1, c o s ) 与 n ? ( 3 s in ? cos , ) 2 2 2 2

共线。

21. (本题满分 13 分)已知△ A B C 的两个顶点 A , B 的坐标分别是 ( 0 , ? 1), ( 0 ,1) ,且 A C , B C 所在直 线的斜率之积等于 m ( m ? 0 ) . (Ⅰ)求顶点 C 的轨迹 E 的方程,并判断轨迹 E 为何种圆锥曲线; (Ⅱ)当 m
Q

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)设角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且满足 2 a co s C ? c ? 2 b ,试判断 ? A B C 的形状.

? ?

1 2

时,过点 F (1, 0 ) 的直线 l 交曲线 E 于 M

,N

两点,设点 N 关于 x 轴的对称点为

( M 、 Q 不重合) 试问:直线 M Q 与 x 轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是, 请说明理由.

18. (本题满分 12 分)已知等差数列 { a n } 的首项 a 1 ? 1 ,公差 d 列{b n } 的 b 2 , b3 , b 4 . (Ⅰ)求数列 { a n } 与 { b n } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 { c n } 对任意自然数 n 均有
c1 b1 ? c2 b2 ? ??
cn bn

? 0 .且 a 2 , a 5 , a 14

分别是等比数

? a n ?1

成立,求 c 1 ? c 2 ? ? ? c 2 0 1 3 的值.

19. (本题满分 12 分)如图,在长方体 A B C D ? A1 C 1 B 1 D 1 中, 已知上下两底面为正方形,且边长均为 1;侧棱 A A1 ? 2 ,
E
A1

D1 B1

C1

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln ( x ? 1) ? m x ( m ? R ) . (Ⅰ)当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 取得极大值,求实数 m 的值; (Ⅱ)已知结论:若函数
x0 ? (a , b )
g (x) ?

f ( x ) ? ln ( x ? 1) ? m x ( m ? R )

在区间 (a, b) 内存在导数,则存在

为 B C 中点, F 为 C D 中点, G 为 B B 1 上一个动点.
? 平 面 AFG

, 使 得

f ?( x 0 ) ?

f (b ) ? f ( a ) b? a

.

试 用 这 个 结 论 证 明 : 若 函 数
? x1 ? ? 1

(Ⅰ)确定 G 点的位置,使得 D 1 E (Ⅱ)当 D 1 E
? 平 面 AFG

; 的平
D A F G E C

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

( x ? x1 ) ? f ( x1 ) ,

(其中 x 2

) ,则对任意 x ? ( x 1 , x 2 ) ,都有

时,求二面角 G

? AF ? E

面角余弦值.

f ( x) ? g ( x) ;

第 19 题图

B

(Ⅲ)已知正数 ? 1 , ? 2 满足 ? 1

? ?2 ? 1

,求证:对任意的实数 x1 , x 2 ,若 x 2 .

? x1 ? ? 1

时,都有

f ( ? 1 x1 ? ? 2 x 2 ) ? ? 1 f ( x1 ) ? ? 2 f ( x 2 )

20. (本题满分 12 分)如图是在竖直平面内的一个“通道游戏” .图中竖直线段和斜线段都表示通 道, 并且在交点处相遇, 若竖直线段有一条的为第一层, 有二条的为第二层, 依次类推. ?, 现 有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动,若在通道的分叉处,小弹子以 相同的概率落入每 个通道.记小弹子落入第 n 层第 m 个竖直通道(从左至右)的概率为 P (n, m) ,某研究性学 习小组经探究发现小弹子落入第 n 层的第 m 个通道的次数服从二项分 布,请你解决下列问题. (Ⅰ)试求 P ( 2 ,1), P (3, 2 ) 及 P ( 4 , 2 ) 的值,并猜想 P (n, m) 的表达式; (不必 证明) (Ⅱ)设小弹子落入第 6 层第 m 个竖直通道得到分数为
? ,其中 ? ? ?
? 4 ? m (1 ≤ m ≤ 3 ) ? m ? 3(4 ≤ m ≤ 6 )

入口 第1层 第2层 第3层 第4层

,试求 ? 的分布列
第 20 题图

及数学期望.

2013 年湖北省八市高三三月联考

∴ (1 ? 4 d ) ? (1 ? d )( 1 ? 13 d )
2

即d ? 2

???????????2 分 ???????????4 分

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题: (每小题 5 分,10 小题共 50 分) 1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.D 8.C 9.A 10.B 二、填空题: (每小题 5 分,5 小题共 25 分) 必考题:11.135 12. 2 9 π 13.①②③ 14.(Ⅰ) 82 (Ⅱ) 5 选考题:15.30? 16.9 或-11 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分)
?? ? 17. (Ⅰ)∵ m 与 n 共线
3 2
? 3 2

∴ a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1 又∵ b 2 ? a 2 ? 3 ,
c1 b1 c2 b2 ? a2 c2 b2 cn bn
b3 ? a 5 ? 9 .
n ?1 ∴ q ? 3 , b1 ? 1 , b n ? 3

???????????6 分 ①

(Ⅱ)∵ ∴ 又

?

? ??

cn bn

? a n ?1

c1 b1

即 c 1 ? b1 a 2 ? 3
c n ?1 bn ?1 ? an (n ≥ 2)



? cos

C 2

(

3 sin
1 2

C 2

? cos

C 2

c1 b1

?

? ??

② ???????????8 分

)
π 6 )? 1 2

s in C ?

(1 ? c o s C ) ? s in ( C ?

??????????3 分 ??????????4 分

①-②:

? a n ?1 ? a n ? 2

得 s in ( C ∴C=
?
3

?

π 6

)?1

n ?1 ∴ c n ? 2 bn ? 2 ? 3 ( n ≥ 2 )

∴ 则 c1

???????????6 分

(n ? 1 ) ? 3 cn ? ? n ?1 n≥ 2 ) ( ?2 ? 3
? c2 ? c3 ?
1

???????????10分
1 2

(Ⅱ)方法 1:由已知 a ? c ? 2 b (1) 2 2 2 根据余弦定理可得: c ? a ? b ? a b (2) ????????8 分 (1)(2)联立解得: b ( b ? a ) ? 0 、 ???????????????10 分
b ? 0 , ? b ? a , 又. C=

? ? c 2013
2 3

? 3 ? 2 ?3 ? 2 ?3 ?
2012

? ? 2 ? 3 2 0 1 3 ?1

? 3 ? 2 ? (3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3

)

π 3

,所以△ A B C 为等边三角形, ??????12 分

? 3? 2?

3 (1 ? 3

2012

)

1? 3

? 3

2013

???????????12 分

方法 2: 由正弦定理得:
2 s in A c o s C ? s in C ? 2 s in B ? 2 s in ( A ? C ) 2 s in A c o s C ? s in C ? 2 s in A c o s C ? 2 c o s A s in C

19.方法一: (Ⅰ)如图,分别以 D A , D C , D D 1 所在直线为 ????????8 分 ???????????10 分
D ( 0 , 0 , 0 ) ,A (1 , 0 , 0 ) , B (1 , 1 , 0 ) , C ( 0 , 1 ,D ) , 0 1

x , y , z 轴建立空间直角坐标系 D ? x y z ,则
( 0 , 0 , 1)
z D1 A1 B1 C1

易得 E ( ,1, 0 ), F ( 0 ,
2 ???? ?

1

1 2

, 0)

??????2 分

∴ cos A ? 又. C=
π 3

1 2

, ∴在△ A B C 中 ∠ A

?

π 3

由题意得 D 1 E ? A F , D 1 E ? A G ,设 G (1,1, t ) ???????????12 分 又 D 1 E ? ( ,1, ? 1), A F ? ( ? 1,
1 ???? 1 ???? , 0 ), A G ? ( 0 ,1, t ), 2 2 ???? ???? ? ???? ???? ? 1 则由 D 1 E ? A F ? 0 , D 1 E ? A G ? 0 得 t ? , 2

, 所以 △ A B C 为等边三角形,
π 3

方法 3:由(Ⅰ)知 C=

,又由题设得: a ? c ? 2 b ,

在 ? A B C 中根据射影定理得:
a ? c ? 2(a cos C ? c cos A) ? a ? 2c cos A

∴ BG ????????8 分 ???????????10 分

?

1 2

,得 G 为 B B 1 的四等分点.?????????6 分
A x

D

F G B C E

y

? cos A ?

1 2

,? A ?

?
3

(Ⅱ)易知平面 A F E 的一个法向量为 m ? ( 0 , 0 ,1) ,设平面 A F G 的法向量为 n ? ( x , y , z )

?

?

又. C=

π 3

, 所以 △ A B C 为等边三角形, ???????????12 分

18.(Ⅰ)∵a2=1+d ,a5=1+4d ,a14=1+13d,且 a2、a5、a14 成等比数列

???? ? AF ? 则 ? ???? ? AG ?

1 ? ? ?x ? y ? 0 ? ?n ? 0 ? ? 2 ,得 ? ,取 x ? ? 1 ,得 n ? ( ? 1, ? 2 , 4 ) , ? ?n ? 0 ? y ? 1 z ? 0 ? ? 2

20
P

10 32

2 32

?????10 分 故 E?
4 21 21
? 1? 20 32 ? 2? 10 32 y ?1 x
2 2

32
2 32 ? y ?1 x ? m 23 16

????????11 分
? 3? ?

???????????12 分

∴ cos ? m , n ? ?

? ?

4 1? 21

?

4 21 21

,∴二面角 G ? A F ? E 的平面角余弦值为

.12 分

21. .(Ⅰ)由题知:

方法二: (Ⅰ)∵ D 1 E 在平面 A B C D 内的射影为 D E , ,且四边形 A B C D 为正方形, E , F 为中点, ∴
D1 E ? A F

同理, D 1 E 在平面 A B B 1 A1 内的射影为 A1 B ,则 A G ? A1 B 由△ A1 A B ~△ A B G , ∴BG ?
1 2

,得 G 为 B B 1 的四等分点. ???????6 分

(Ⅱ)∵ B G ? 平面 A E F ,过 B 点作 B H ? A F ,垂足为 H ; 连结 H G ,则 ? G H B 为二面角 G ? A F ? E 的平面角;??????????8 分 由 ? D A F ? ? H B A ,得
AD AF ? BH AB

化简得: ? m x ? y ? 1( x ? 0 ) ???????????2 分 当 m ? ? 1 时 轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且除去 ( 0 ,1), ( 0 , ? 1) 两点; 当 m ? ? 1 时 轨迹 E 表示以 ( 0 , 0 ) 为圆心半径是1的圆,且除去 ( 0 ,1), ( 0 , ? 1) 两点; 当 ? 1 ? m ? 0 时 轨迹 E 表示焦点在 x 轴上的椭圆,且除去 ( 0 ,1), ( 0 , ? 1) 两点; 当 m ? 0 时 轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的双曲线,且除去 ( 0 ,1), ( 0 , ? 1) 两点; ???????????6 分 (Ⅱ)设 M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ), Q ( x 2 , ? y 2 ) ( x1 ? x 2 ? 0 ) 依题直线 l 的斜率存在且不为零,则可设 l : x 代入
x
2

? ty ? 1 ,

,解得 B H ?
1

2 5

? y

2

? 1( x ? 0 ) 整理得 ( t ? 2 ) y ? 2 ty ? 1 ? 0
2 2

2

∴在 R t ? G H B 中, ta n ? G H B ?

BG HB

?

2 2 5

?

5 4

,

y1 ? y 2 ?

?2t t ? 2
2

, y1 y 2 ?

?1 t ? 2
2



????????????9 分

又因为 M 、 Q 不重合,则 x1
Q MQ

? x 2 , y1 ? ? y 2

∴cos ? G H B ?

4

21 21

;∴二面角 G ? A F ? E 的平面角余弦值为

4

21 21

的方程为 y ? y 1 ?
y 1 ( x 2 ? x1 ) y1 ? y 2

y1 ? y 2 x1 ? x 2

( x ? x1 ) 令 y ? 0 ,

.

?12 分 得 x ? x1 ?

20. ( Ⅰ ) 因 为 小 弹 子 落 入 第 n 层 的 第 m 个 通 道 的 次 数 服 从 二 项 分 布 , 则 :
0 1 0 1 1 P ( 2 ,1) ? C 1 ( ) ( ) 2 2

? ty 1 ? 1 ?

ty 1 ( y 2 ? y 1 ) y1 ? y 2

?

2 ty 1 y 2 y1 ? y 2

?1? 2



???????????1 分 ???????????3 分 ???????????4 分 ???????????6 分

故直线 M Q 过定点 ( 2 , 0 ) . 解二:设 M
2

???????????13 分

P (3, 2 ) ? C 2 (
1 1

1 2

) (

1

1 2

( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ), Q ( x 2 , ? y 2 ) ( x 1 ? x 2 ? 0 )

)

1

依题直线 l 的斜率存在且不为零,可设 l : y ? k ( x ? 1) 代入
x ? y
2

1 1 2 3 P (4, 2) ? C 3 ( ) ? 2 2 8
P (n, m ) ? C n ?1 2
m ?1 n ?1

? 1( x ? 0 ) 整理得: (1 ? 2 k ) x ? 4 k x ? 2 k
2 2 2

2

? 2 ? 0

2 x1 ? x 2 ?
Q MQ

4k

2 2

(Ⅱ)依题: ?

? 1, 2 , 3


2

1 ? 2k

, x1 x 2 ?

2k

2

? 2
2

1 ? 2k


( x ? x1 )

???????????9 分 令y ? 0,
? 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 ? 2 ? 2

由(Ⅰ)知, p ( ? ? 1) ? p ( 6 , 3 ) ? p ( 6 , 4 ) ? 2 C 5 ( ) ( ) ?
2 3

1

1

20 32

?

5 8

的方程为 y ? y 1 ?
y1 ( x 2 ? x1 ) y1 ? y 2

y1 ? y 2 x1 ? x 2

2

2

p (? ? 2 ) ? p ( 6 , 2 ) ? p ( 6 , 5 ) ? 2 C 5 (
1 0

1 2

)(

1 2

) ?
4

10 32

? 2

5 16 ? 1 16

得 x ? x1 ?

? x1 ?

k ( x 1 ? 1) ( x 2 ? x 1 ) k ( x1 ? x 2 ? 2 )

p ( ? ? 3 ) ? p ( 6 ,1) ? p ( 6 , 6 ) ? 2 C 5 (

1 2

) (

0

1 2

? 直线 M Q 过定点 ( 2 , 0 )

???????????13 分
f ?( x ) ? 1 x ?1 ? m

) ?
5

????????9 分

32

22.(Ⅰ)由题设,函数的定义域为 ( ? 1, ? ? ) ,且 所以
f ? (1) ? 0

所以 ? 的分布列如下表:
?

1

2

3

,得 m

? ?

1 2

,此时.

f ?( x ) ?

1? x 2 ( x ? 1)

当 x ? ( ? 1,1) 时, f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 ( ? 1,1) 上单调递增; 当 x ? (1, ? ? ) 时, f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 (1, ? ? ) 上单调递减.
?
1 2

函数 f ( x ) 在 x

? 1 处取得极大值,故 m ? ?

??????????4 分
( x ? x1 ) ? f ( x1 ) ,

(Ⅱ)令 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ? 则 h ?( x ) ? f ?( x ) ?
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

.

因为函数 f ( x ) 在区间 ( x1 , x 2 ) 上可导,则根据结论可知:存在 x 0 ? ( x1 , x 2 ) 使得 f ? ( x 0 ) ? 又
?
f ?( x ) ? 1 x ?1

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2
? m

??????????7 分
1 x ?1 ? 1 x0 ? 1 ? x0 ? x ( x ? 1) ( x 0 ? 1)

,? h ? ( x ) ? f ? ( x ) ? f ? ( x 0 ) ?

当 x ? ( x 1 , x 0 ) 时, h ? ( x ) ? 0 ,从而 h ( x ) 单调递增,? h ( x ) ? h ( x 1 ) ? 0 ; 当 x ? ( x 0 , x 2 ) 时, h ? ( x ) ? 0 ,从而 h ( x ) 单调递减,? h ( x ) ? h ( x 2 ) ? 0 ; 故对任意 x ? ( x 1 , x 2 ) ,都有 f ( x ) ? g ( x ) . ??????????9 分
? x1 ? ? 1
? ? 1 x1 ? ? 2 x 2 ? x1

(Ⅲ) Q ? 1 ? ? 2 ? 1 ,且 ? 1 ? 0 , ? 2 ? 0 , x 2 同理? ? 1 x1
?
? ? 2 x 2 ? x 2 ? ? 1 x1 ? ? 2 x 2 ? ( x1 , x 2 )

? ? 1 x1 ? ? 2 x 2 ? x1 ? x1 ( ? 1 ? 1) ? ? 2 x 2 ? ? 2 ( x 2 ? x1 ) ? 0



??????????12 分

由(Ⅱ)知对任意 x ? ( x 1 , x 2 ) ,都有 f ( x ) ? g ( x ) ,从而
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ( ? 1 x1 ? ? 2 x 2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? ? 1 f ( x1 ) ? ? 2 f ( x 2 ) .

f ( ? 1 x1 ? ? 2 x 2 ) ?

??????????14 分

命题:荆门市教研室 方延伟 鄂州市教研室 林春宝 十堰市教科院 程世平 审校:仙桃市教科院 曹时武

龙泉中学 鄂州高中

王萍 吕长征

崔东林


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