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华中师大一附中2015届高三年级5月适应性考试数学答案 -文


华中师大一附中 2015 届高三年级 5 月适应性考试

数学(文)
华中师大一附中高三年级数学组提供

答案及评分标准
2015.5

一、选择题 二、填空题
11. 9 12.

1-5 ABDBD

6-10

CDCCD

3 2

13. 5

14. 1 -

? 8

15. ?? 1,0? ? ?1,???

16.

5

17 . 0,2 3 ? 2 ;

?

?

2

三、解答题
18.解: (1)∵A,B,C 成等差数列,∴ B ?

?

3 3 ,又∵ CB ? BA ? ? ,∴ BA ? BC ? , 3 2 2

1 3 3 ∴ ac cos B ? ,∴ ac ? ,即 ac ? 3 2 2 2
∵ b ? 3 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,∴ a 2 ? c 2 ? ac ? 3 ,即 (a ? c) 2 ? 3ac ? 3 ∴ (a ? c) 2 ? 12 , a ? c ? 2 3 ………………………………………………6 分

2? 3 1 (2) 2 sin A ? sinC ? 2 sin( ? C ) ? sinC ? 2( cos C ? sinC ) ? sinC ? 3 cos C 3 2 2 3 2? , 3) ,∴ 3 cos C ? (? 2 3 3 , 3) . ∴ 2 sin A ? sin C 的取值范围是 (? 2

∵0?C ?

……………………………12 分

5? 4 ? d ? 20 ?5a1 ? 2 19.解: (1)设 {an } 的公差为 d ,由已知得 ? ?( a ? 2 d ) 2 ? a ( a ? 6 d ) 1 1 ? 1

? ?d ? 1 ?a1 ? 2d ? 4 即? 2 , d ? 0,? ? ,故 an ? n ? 1(n ? N * ) a ? 2 2 d ? a d ? ? 1 1 ?
(2)

…………………………5 分

1 1 1 1 ? ? ? an an ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

1 1 1 1 ?Tn ? ? ? ? ? 2 3 3 4

?

1 1 ? n ?1 n ? 2
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华中师大一附中高三年级数学(文)答案

?

1 1 n ? ? 2 n ? 2 2(n ? 2)

………………………………………………7 分

∵存在 n ? N * ,使得 Tn ? ? an ?1 ? 0 成立 ∴存在 n ? N * ,使得

n ? ? (n ? 2) ? 0 成立 2(n ? 2)
………………………………………………9 分

即? ?

n 有解 2( n ? 2) 2 n }max 2(n ? 2) 2

?? ? {



n 1 1 ? ? , n ? 2 时取等号 2 4 2(n ? 2) 2(n ? ? 4) 16 n

?? ?

1 . 16

………………………………………………12 分 P

20.解: (1)在 Rt ?PAC和Rt ?PBC 中

AC ? PC 2 ? PA2 , BC ? PC 2 ? PB2
PA ? PB,? AC ? BC

B M

D

取 AB 中点 M ,连结 PM , CM ,则 AB ? PM , AB ? MC A ? AB ? 平面 PMC ,而 PC ? 平面 PMC ? AB ? PC ………………………………………………6 分 (2)在平面 PAC 内作 AD ? PC ,垂足为 D ,连结 BD ∵平面 PAC ? 平面 PBC ,? AD ? 平面 PBC ,又 BD ? 平面 PBC

C

?AD ? BD ,又 Rt ?PAC ? RtPBC
? AD ? BD,??ABD 为等腰直角三角形
设 AB ? PA ? PB ? a ,则 AD ? …………………………………………9 分

2 a 2

2 在 Rt ?PAC 中:由 PA ? AC ? PC ? AD 得 a ? 4 ? a ? 2 ?

2 a ,解得 a ? 2 2

………………………………………………11 分

? S ?ABD ?

? VP ? ABC

1 1 AD ? BD ? ( 2 2 1 ? S ?ABD ? PC ? 3

2 2 1 a) ? 2 2 1 1 1 ? ?2 ? . 3 2 3

…………………………………………13 分

21.解: (1)? f ( x) ?

e e 1 ? ln x ,∴ f ' ( x) ? ? 2 ? ? 0 , x x x ∴ f ( x) 在 (0,??) 上是减函数,又 f (e) ? 0 ∴当 0 ? x ? e 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? e 时, f ( x) ? 0 .
华中师大一附中高三年级数学(文)答案 第 2 页 共 4 页

∴ x ? e 是 f ( x) 的唯一零点.

……………………………………………3 分

(2)∵ g ( x) ? e x?1 ? a ? ln x ,∴ g ' ( x) ? e x?1 ?

1 1 , g"( x) ? e x?1 ? 2 ? 0 x x ∴ g ' ( x) 在 (0,??) 上为增函数,又 g ' (1) ? 0 , ∴ x ? (0,1) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 递减,当 x ? (1,?? ) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 递增
∴ x ? 1 为 g ( x) 的极小值点,极小值为 g (1) ? a ? 1 , g ( x) 无极大值. ………………………………………6 分

(3)当 1 ? x ? e 时, | f ( x) | ? | g ( x) |? f ( x) ? g ( x) ? 设 m( x) ?

e ? e x?1 ? a x

e e ? e x?1 ? a ,则 m' ( x) ? ? 2 ? e x?1 ? 0 ,∴ m( x) 在 [1,?? ) 上为减函数 x x ∴ m( x) ? m(1) ? e ? 1 ? a ,∵ a ? 2 ,∴ m( x) ? 0 ,
∴ | f ( x) |?| g ( x) | , ∴

e x ?1 比 e ? a 更靠近 ln x x

…………………………………9 分

e 当 x ? e 时, | f ( x) | ? | g ( x) |? ? f ( x) ? g ( x) ? ? ? 2 ln x ? e x?1 ? a ? 2 ln x ? e x?1 ? a x
设 n( x) ? 2 ln x ? e x?1 ? a ,则 n' ( x) ?

2 2 ? e x?1 , n"( x) ? ? 2 ? e x?1 ? 0 x x

∴ n ?( x ) 在 (e,??) 上为减函数,∴ n ?( x) ? n ?(e) ? 2 ? e e ?1 ? 0 , e ∴ n( x) 在 (e,??) 上为减函数,∴ n( x) ? n(e) ? 2 ? a ? ee?1 ? 0 ,∴ | f ( x) |?| g ( x) | ∴

e 比 e x?1 ? a 更靠近 ln x x

………………………………………12 分

综上,在 a ? 2 , x ? 1 时,

e 比 e x?1 ? a 更靠近 ln x . x

…………………………14 分 y
B( x1 , y2 )

9 ?1 ? ? 2 ? 2 ?1 ?a ? 2 22.解: (1)由已知得 ? a ,解得 ? 4b ? ?a 2 ? b 2 ? 1 ?b ? 3 ?
x2 y2 ? ?1 ∴椭圆方程为: …………………3 分 4 3 (2)设直线 l 方程为: x ? my ? 1

o

A
F (1,0) T (t ,0)

x

C ( x2 , y2 )

? x ? my ? 1 ? 联立 ? x 2 y 2 得 (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ? ? 1 ? 3 ?4
设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ),( y1 ? 0, y2 ? 0) ,则 y1 ? y2 ? ? 当 m ? 0 时,显然 S1 ? S 2 ? 0 ;
6m 当 m ? 0 时, S1 ? S 2 ? 1 ? 2 ? y1 ? 1 ? 2 ? (? y 2 ) ? y1 ? y 2 ? 3m 2 ? 4 2 2
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6m 9 , y1 y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

?

6 4 3m ? m

?

6 2 3m ? 4 m

?

3 2

当且仅当 3 m ?

4 2 3 ,即 m ? ? 时取等号 m 3
……………………………8 分

综合得 m ? ?

2 3 时, S1 ? S 2 的最大值为 3 . 3 2

(3)假设在 x 轴上存在一点 T (t ,0) 满足已知条件,则 kTB ? ?kTC 即

y1 y ? ? 2 ? y1 ( x2 ? t ) ? y2 ( x1 ? t ) ? 0 x1 ? t x2 ? t

? y1 ( m y ) ? 2 y ( m1y? 1 ? ) t ?0 2 ?1 ? t ? 2m y y? 2 y )? 0 1 y 2 ? ( 1 ? t ) (1

? 2m ?

?9 ? 6m ? (1 ? t ) ? ?0 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

整理得: (4 ? t ) ? m ? 0 ,?m 任意,? t ? 4 ﹒故存在点 T (4,0) 满足条件﹒ ………………………………………………14 分

华中师大一附中高三年级数学(文)答案

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