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测评网学习资料-新人教A版高二数学同步测试(6)


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新课标高二数学同步测试(6)—(2-2 第一章 1.1—1.4)
说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷 74 分,第二卷 76 分,共 150 分;答题 时间 120 分钟. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) . 1.两曲线 y ? x 2 ? ax ? b与2 y ? ?1 ? xy 3 相切于点(1,-1)处,则 a,b 值分别为( A.0,2 2. 设函数 f ? x ? ? ? B.1,-3 C.-1,1 D.-1,-1 ( ) )

2x , 则f ?x ? 1? x2

A.在(-∞,+∞)单调增加 B.在(-∞,+∞)单调减少 C.在(-1,1)单调减少,其余区间单调增加 D.在(-1,1)单调增加,其余区间单调减少 3.当 x≠0 时,有不等式





A.e ? 1 ? x
x

B.e x ? 1 ? x C.当x ? 0时e x ? 1 ? x, 当x ? 0时e x ? 1 ? x D.当x ? 0时e x ? 1 ? x, 当x ? 0时e x ? 1 ? x
4.若连续函数在闭区间上有惟一的极大值和极小值,则 A.极大值一定是最大值,极小值一定是最小值 B.极大值必大于极小值 C.极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值 D.极大值不一定是最大值,极小值也不一定是最小值 5. 设f ?x ?在x0 可导, 则 lim
x ?0





f ?x0 ? x ? ? f ?x0 ? 3x ? 等于 x
C. 3 f ??x0 ? D . 4 f ??x0 ?





A. 2 f ??x0 ?

B. f ??x0 ?

6.下列求导运算正确的是 A.(x+ ) ? ? 1 ?

( B.(log2x)′=



1 x

1 x2

1 x ln 2
( )

C.(3x)′=3xlog3e 7.函数 f(x)= a x2+x+1 有极值的充要条件是 A.a >0 C.a <0

D.(x2cosx)′=-2xsinx B.a≥0 D.a ≤0

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 8.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) > 0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 ( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0, 3) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞) D.(-∞,- 3)∪(0, 3) 9.f( x )是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令 g( x )=af( x )+b,则下列 关于函数 g( x )的叙述正确的是( ) A.若 a<0,则函数 g( x )的图象关于原点对称. B.若 a=-1,-2<b<0,则方程 g( x )=0 有大于 2 的实根. C.若 a≠0,b=2,则方程 g( x )=0 有两个实根. D.若 a≥1,b<2,则方程 g( x )=0 有三个实根 10.已知函数 f (x)的导数为 f ?( x) ? 4 x 3 ? 4 x, 且图象过点(0,-5) ,当函数 f (x)取得极大 值-5 时,x 的值应为 A.-1 B .0 C.1 D.±1 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) . ( )

? ?? 11.函数 f(x)=x+2cosx 在区间 ?0, ? 上的最大值为_________;在区间[0,2π ]上最大值为 ? 2?
___________. 12.已知 x ? R ,奇函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 [1, ??) 上单调,则字母 a, b, c 应满足的 条件是 .

13.两个和为 48 的正整数,第一个数的立方与第二个数的平方之和最小,则这两个正整数 分别为__________.

?, 则f ??0? ? __________ __ . 14. 设f ?x ? ? x?x ? 1??x ? 2???x ? 1000
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分) . 15. (12 分)设函数 y=x3+ax2+bx+c 的图象如图所示,且与 y=0 在原点相切,若函数的极小值 为-4, (1)求 a、b、c 的值; (2)求函数的递减区间.

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16. (12 分)是否存在这样的 k 值,使函数 f ( x) ? k x ?
2 4

2 3 1 x ? kx 2 ? 2 x ? 在(1,2) 3 2

上递减,在(2,-∞)上递增.

17. (12 分)设函数 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? a),(a ? 1) (1)求导数 f / ( x) ; 并证明 f ( x ) 有两个不同的极值点 x1 , x2 ; (2)若不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

18. (12 分)讨论函数 f ?x? ?| 4 x ? 18x ? 27 |, x ? ?0,2?的单调性,并确定它在该区间上的
3 2

最大值最小值.

19. (14 分)如图,把边长为 a 的正六边形纸板剪去相同的六个角,做成一个底面为正六边 形的无盖六棱柱盒子,设高为 h 所做成的盒子体积 V(不计接缝). (1)写出体积 V 与高 h 的函数关系式; (2)当 a 为多少时,体积 V 最大,最大值是多少?

h

A E F B C

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20. (14 分)已知过函数 f(x)= x ? ax ? 1 的图象上一点 B(1,b)的切线的斜率为-3.
3 2

(1)求 a、b 的值; (2)求 A 的取值范围,使不等式 f(x)≤A-1987 对于 x∈[-1,4]恒成立; 令 g ?x ? ? ? f ?x ? ? 3x 2 ? tx ? 1.是否存在一个实数 t,使得当 x ? (0,1] 时,g(x)有最 大值 1?

参考答案
一、 1.D;2.C;3.B;4.D; 5.D 提示:这里插入 f ?x0 ? ,因为题目假定 f(x)在 x 0 点可导,所以分成两项的极限都 存在.

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即 lim

f ?x 0 ? x ? ? f ?x 0 ? 3x ? x ?0 x ? f ?x 0 ? x ? ? f ?x 0 ?? ? ? f ?x 0 ? f ?x 0 ? 3x ??? ? lim x ?0 x f ?x 0 ? x ? ? f ?x 0 ? f ?x 0 ? 3x ? ? f ?x 0 ? ? lim ? 3 lim x ?0 x ? 0 x ? 3x ? f ?? x 0 ? ? 3 f ?? x 0 ? ? 4 f ?? x 0 ?.

注意:本题有个常见的 错误做法:令x 则x0 ? 3x ? t 0 ? 3x ? t,

f ?x0 ? x ? ? f ?x0 ? x ? f ?t ? 4 x ? ? f ?t ? ? lim x ?0 x ?0 x x ? 4 lim f ??t ? ? 4 lim f ??x0 ? 3x ? ? 4 f ??x0 ?. lim
x ?0 x ?0

因为题中只设 f (x) 在 x 0 可导, 没说在 x 0 及其邻域内可导, 更没假定 f ??x ? 在 x 0 点连续, 所以上面的做法是无根据的. 6.D;7.C 8.D 9.B 二、 11.

10.B

? 5? ? ? 2k? ,当 ? 3 ,2?? ? 1? ;提示: y ? ? 1 ? 2 sin x, 得 f(x)的驻点为 ? 2k? , 6 6 6

? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? 在区间 ?0, ? 内考虑时, 仅有一个驻点 , f ? ? ? ? 3, f ?0? ? 2, f ? ? ? , 比较后得 6 ?6? 6 ? 2? ?2? 2
? ? ?? 知,f(x)在 ?0, ? 上的最大值为 ? 3 ,而当考虑区间[0,2π ]上的最大值时,需比较 f 2 6 ? ?
(0), f(2π ), f ?

? ? ? ? 5? ? ?, f ? ? 四个值的大小. ?6? ? 6 ?
f (0) ? 0 ? c ? 0 ; f ( x) ? f (? x) ? 0 ? a ? 0 .

12. a ? c ? 0, b ? 3 ;解析:

f '( x) ? 3x2 ? b ,
2 若 f ( x ) x ? [1, ??) 上是增函数,则 f '( x) ? 0 恒成立,即 b ? (3x )min ? 3 ;

若 f ( x ) x ? [1, ??) 上是减函数,则 f '( x) ? 0 恒成立,这样的 b 不存在. ;

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 综上可得: a ? c ? 0, b ? 3 13.5 与 43; 14.1000! ;提示: f ??0? ? lim
x ?0

f ?x ? ? f ?0? ? lim?x ? 1??x ? 2????x ? 1000? ? 1000!. x ?0 x ?0

三、 15.解析: (1)函数的图象经过(0,0)点 ∴ c=0,又图象与 x 轴相切于(0,0)点, y ' =3x2+2ax+b ∴ 0=3×02+2a×0+b,得 b=0 ∴ y=x3+ax2, y ' =3x2+2ax

2 2 a 时, y' ? 0 ,当 x ? ? a 时, y' ? 0 3 3 2 当 x= ? a 时,函数有极小值-4 3 2 3 2a 2 ∴ (? a ) ? a( ) ? ?4 ,得 a=-3 3 3
当x?? (2) y ' =3x2-6x<0,解得 0<x<2 ∴ 递减区间是(0,2) 点拨:1、如果函数 f(x)在点 x=x0 的一个δ 区域:(x0-δ ,x0+δ )内有定义,对任意的 x ∈(x0-δ ,x0)∪(x0,x0+δ )总有 f(x)<f(x0)(f(x)>f(x0)) ,则称 f(x0)为函数 f(x)的极大(小) 值,x0 称为极大(小)值点; 2、注意极值与最值的区别,极值是相对于领域而言,它仅是极值点附近的局部范围内的相 对大小,而最值是相对于闭区间而言,它是函数在给定的闭区间上的全部函数值中最大(小) 的值. 16.解析:f(x)=4k2x3-2x2-2kx+2,由题意,当 x∈(1,2)时, f ' ( x ) <0 当 x∈(2,+∞)时, f ' ( x ) >0 由函数 f ' ( x ) 的连续性可知 f ' (2) =0 即 32k2-8-3=0 得 k ? 验证:当 k ?

1 3 或k ? ? 8 2

1 时, f ' (x) ? x 3 ? 2x 2 ? x ? 2 ? (x ? 1)(x ? 1)(x ? 2) 2

若 1<x<2, f ' ( x ) ? 0 , 若 x>2, f ' ( x ) ? 0 ,符合题意
9 3 9 7 ? 193 7 ? 193 3 )( x ? 2)( x ? ) 当 k ? ? 时, f ' ( x ) ? x 3 ? 2x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 16 4 16 9 9 8 显然不合题意

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1 ,满足题意 2 点拨:利用导数处理单调性问题,讨论的区间是开区间,注意递增与递减区间的交界处的导 数为 0,本题求出 k 值后还需讨论验证.
综上所述,存在 k ? 17. (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a.

令f ?( x) ? 0得方程 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a ? 0. 因? ? 4(a 2 ? a ? 1) ? 4a ? 0, 故方程有两个不同实根 x1 , x 2 不妨设x1 ? x 2 ,由f ?( x) ? 3( x ? x1 )(x ? x 2 )可判断f ?( x)的符号如下: 当x ? x1时, f ?( x) ? 0; 当x1 ? x ? x 2时, f ?( x) ? 0; 当x ? x 2时, f ?( x) ? 0 因此 x1 是极大值点, x2 是极小值点. (II)因 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 故得不等式
3 2 x13 ? x2 ? (1 ? a)(x12 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 0.

即( x1 ? x2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 3x1 x2 ] ? (1 ? a)[(x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ] ? a( x1 ? x2 ) ? 0. 2 ? x1 ? x 2 ? (1 ? a), ? ? 3 又由(I)知 ? ?x x ? a . 1 2 ? 3 ?
代入前面不等式,两边除以(1+a) ,并化简得

2a 2 ? 5a ? 2 ? 0. 1 (舍去) 2 因此,当a ? 2时, 不等式f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0成立. 解不等式得 a ? 2或a ?
18.解:设 ??x ? ? 4x 3 ? 18x 2 ? 27, 则 ???x ? ? 12x?x ? 3? ,于是当 0<x≤2 时, ???x ? ? 0, 而 只有 x=0 时, ???x ? ? 0 ,故在[0,2]上 ??x ? 为单调减少,

3 ? ??x ? 0 ? x ? , ? ?3? ? 2 而 ??0? ? 27, ?? ? ? 0, ??2? ? ?13, 所 以 f ?x ? ?| 4x 3 ? 18x 2 ? 27 |? ? 在 3 ?2? ?? ??x ? ? x ? 2. ? 2 ?
? 3? ?3 ? ?0, 2 ? 为单调减少,在 ? 2 ,2? 为单调增加, ? ? ? ?

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?3? 因而在[0,2]上 f(x)的最大值 f(0)=27,最小值 f ? ? ? 0. ?2?
19.解: (1)六棱柱的底边长( a ?
2

2 3 h )cm, 3

3? 2 3 ? ?a ? 底面积为( 6 ? )cm2 h? ? ? 4 ? 3 ? 3? 2 3 ? ?a ? ∴体积 V= h? ? h ? 2 ? 3 ? ?

2

A E F B C

2 3? 3 3 2 ? 2 ? h ? 3ah ? a h ? 3 ? 4 ?

(2)V′=

3 3 2 3? 2 3 2? a或h ? a (舍去) ? 3h ? 2 3ah ? a ? ? 0 得 h ? 6 2 3 ? 4 ?

∴当 h ?

a3 3 a cm 时 V 有最大值 cm3 3 6
'

20.解: (1) f

?x ?= 3x 2 ? 2ax

依题意得 k= f ' ?1? =3+2a=-3, ∴a=-3

? f ?x? ? x 3 ? 3x 2 ? 1,把 B(1,b)代入得 b= f ?1? ? ?1
∴a=-3,b=-1 (2)令 f
'

?x ?=3x2-6x=0 得 x=0 或 x=2

∵f(0)=1,f(2)=23-3×22+1=-3 f(-1)=-3,f(4)=17 ∴x∈[-1,4],-3≤f(x)≤17 要使 f(x)≤A-1987 对于 x∈[-1,4]恒成立,则 f(x)的最大值 17≤A-1987 ∴A≥2004. (1) 已知 g(x)=- x ? 3x ? 1 ? 3x ? tx ? 1 ? ? x ? tx
3 2 2 3

?

?

∴ g ?x? ? ?3x ? t
' 2

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. ∵0<x≤1,∴-3≤-3x2<0, ① 当 t>3 时,t-3x2>0, 即g ' ?x? ? 0 ∴g(x)在 (0.1] 上为增函数, g(x)的最大值 g(1)=t-1=1,得 t=2(不合题意,舍去) ② 当 0≤t≤3 时, g ' ?x? ? ?3x 2 ? t 令 g ' ? x ? =0,得 x= 列表如下: x (0, + ↗
3

t 3

t ) 3

t 3
0 极大值

(

t ,1] 3
- ↘

g ' ?x ?
g(x)

? t? t t ? +t g(x)在 x= 处取最大值- ? =1 ? ? 3 3 ? 3?
∴t= 3

27 33 2 t = < 3 2 4 3

∴x=

t <1 3
' 2

③当 t<0 时, g ?x? ? ?3x ? t <0,∴g(x)在 (0.1] 上为减函数, ∴g(x)在 (0.1] 上为增函数, ∴存在一个a=

33 2 ,使g(x)在 (0.1] 上有最大值1. 2

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