【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评：第二章 平面向量 2.2.3 Word版含解析

学业分层测评(十七) (建议用时：45 分钟) 学业达标] 一、填空题 向量的数乘 1．已知 λ∈R，则下列说法错误的是________．(填序号) ①|λa|＝λ|a|；②|λa|＝|λ|a；③|λa|＝|λ||a|； ④|λa|>0. 【解析】 当 λ<0 时，①式不成立；当 λ＝0 或 a＝0 时，④式不成立；又|λa| ∈R，而|λ|a 是数乘向量，故②必不成立． 【答案】 ①②④ 1 1? ? 2．化简4??a＋2b?＋3a－3?6a－12b??为________． ? ? 【解析】 【答案】 1 1 1 3 原式＝4 ?a＋2b?＋3a－2a＋4b ＝4(2a＋6b)＝2a＋2b. [ ] 1 3 a＋ b 2 2 → 5→ → → 3．若AC＝7AB，则BC＝________AC. → → 5→ → → |AC| 【解析】 ∵AC＝7AB，∴点 A，B，C 三点共线，且AC与AB同向，∵ → ＝ |AB| 5 7(如图)， → → → → |BC| 2 2→ ∴ → ＝5，又BC与AC反向，∴BC＝－5AC. |AC| 【答案】 2 －5 → → → → → 4．在△ABC 中，已知BC＝3BD，则AD＝________(用AB，AC表示)． 【解析】 → → ∵BC＝3BD， → → → → ∴AC－AB＝3(AD－AB)， → 2→ 1→ ∴AD＝3AB＋3AC. 【答案】 2→ 1→ 3AB＋3AC 5．(2016· 苏州高一检测)设 e1，e2 是两个不共线的向量，若向量 m＝－e1＋ ke2(k∈R)与向量 n＝e2－2e1 共线，则 k＝________. 【导学号：06460050】 【解析】 ∵m 与 n 共线， ∴存在实数 λ，使得 m＝λn， ∴－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)， ? ?－1＝－2λ， ∴? ? ?k＝λ， 1 1 ∴λ＝2，k＝2. 【答案】 1 2 → → → 6．已知向量 a，b 且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共 线的三点是________． 【解析】 → → → → ∵BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB， ∴A，B，D 三点共线． 【答案】 A，B，D → → 7．若 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点，AB＝2e1，BC＝3e2，则 → BO＝________.(用 e1，e2 表示) 【解析】 → → ∵AD＝BC， → → → ∴BD＝AD－AB＝3e2－2e1. → → 又∵BD＝2BO， → 3 ∴BO＝2e2－e1. 【答案】 3 2e2－e1 → → → 8． (2016· 南通高一检测)已知平面内有一点 P 及一个△ABC， 若PA＋PB＋PC → ＝AB，则下列说法正确的是________．(填序号) ①点 P 在△ABC 外部；②点 P 在线段 AB 上； ③点 P 在线段 BC 上；④点 P 在线段 AC 上． 【解析】 → → → → → PA＋PB＋PC＝PB－PA， → → ∴2PA＋PC＝0. 如图，易知 P 在线段 AC 上． 【答案】 二、解答题 ④ 9． 如图 2223 所示， 已知在?ABCD 中， 点 M 为 AB 的中点， 点 N 在 BD 上， 且 3BN＝BD. 图 2223 求证：M，N，C 三点共线． 【证明】 → → → → → 设AB＝a，AD＝b，则BD＝BA＋AD＝－a＋b， → 1→ → 1 → → 1 1 BN＝3BD＝－3a＋3b，MB＝2a，BC＝AD＝b， → → → 1 ∴MC＝MB＋BC＝2a＋b， → → → 1 1 1 MN＝MB＋BN＝2a－3a＋3b 1? 1 ? ＝3?2a＋b?， ? ? → 1→ → → ∴MN＝3MC，∴MN∥MC， 又 M 为公共点，∴M，N，C 三点共线． 10．如图 2224，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＝2CD，M，N 分别是 → → → → DC 和 AB 的中点，若AB＝a，AD＝b，试用 a，b 表示BC和MN. 图 2224 【解】 1 连接 CN.∵AN∥DC，且 AN＝DC＝2AB， ∴四边形 ANCD 为平行四边形， → → ∴CN＝－AD＝－b. → → → ∵CN＋NB＋BC＝0， → → → 1 ∴BC＝－NB－CN＝b－2a， → → → → 1→ 1 MN＝CN－CM＝CN＋2AN＝4a－b. 能力提升] → → → → 1． 若AB＝5e， CD＝－7e， 且|AD|＝|BC|， 则四边形 ABCD 的形状是________． 【解析】 → → → 7→ ∵AB＝5e，CD＝－7e，∴CD＝－5AB， → → → → ∴AB与CD平行且方向相反，易知|CD|＞|AB|. → → 又∵|AD|＝|BC|，∴四边形 ABCD 是等腰梯形． 【答案】 等腰梯形 → → → → → 2． 已知△ABC 和点 M 满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数 m 使得AB＋AC＝ → mAM成立，则 m 的值为________． 【解析】 → → → 由MA＋MB＋MC＝0 可知，M 是△ABC 的重心． → → → 取 BC 的中点 D，则AB＋AC＝2AD. → → → 3→ 又 M 是△ABC 的重心，∴AM＝2MD，∴AD＝2AM， → → → ∴AB＋AC＝3AM，即 m＝3. 【答案】 3 → → → → → 3． 在△ABC 中， BD＝2DC， AD＝mAB＋nAC， 则 m＝________， n＝________. 【解析】 【答案】 → → → → → → → → 1→ 2→ AD－AB＝2AC－2AD，∴3AD＝AB＋2AC，∴AD＝3AB＋3AC. 1 3 2 3 4．已知向量 a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中 e1，e2 为两个非 零不共