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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评:第二章 平面向量 2.2.3 Word版含解析

学业分层测评(十七) (建议用时:45 分钟) 学业达标] 一、填空题 向量的数乘 1.已知 λ∈R,则下列说法错误的是________.(填序号) ①|λa|=λ|a|;②|λa|=|λ|a;③|λa|=|λ||a|; ④|λa|>0. 【解析】 当 λ<0 时,①式不成立;当 λ=0 或 a=0 时,④式不成立;又|λa| ∈R,而|λ|a 是数乘向量,故②必不成立. 【答案】 ①②④ 1 1? ? 2.化简4??a+2b?+3a-3?6a-12b??为________. ? ? 【解析】 【答案】 1 1 1 3 原式=4 ?a+2b?+3a-2a+4b =4(2a+6b)=2a+2b. [ ] 1 3 a+ b 2 2 → 5→ → → 3.若AC=7AB,则BC=________AC. → → 5→ → → |AC| 【解析】 ∵AC=7AB,∴点 A,B,C 三点共线,且AC与AB同向,∵ → = |AB| 5 7(如图), → → → → |BC| 2 2→ ∴ → =5,又BC与AC反向,∴BC=-5AC. |AC| 【答案】 2 -5 → → → → → 4.在△ABC 中,已知BC=3BD,则AD=________(用AB,AC表示). 【解析】 → → ∵BC=3BD, → → → → ∴AC-AB=3(AD-AB), → 2→ 1→ ∴AD=3AB+3AC. 【答案】 2→ 1→ 3AB+3AC 5.(2016· 苏州高一检测)设 e1,e2 是两个不共线的向量,若向量 m=-e1+ ke2(k∈R)与向量 n=e2-2e1 共线,则 k=________. 【导学号:06460050】 【解析】 ∵m 与 n 共线, ∴存在实数 λ,使得 m=λn, ∴-e1+ke2=λ(e2-2e1), ? ?-1=-2λ, ∴? ? ?k=λ, 1 1 ∴λ=2,k=2. 【答案】 1 2 → → → 6.已知向量 a,b 且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共 线的三点是________. 【解析】 → → → → ∵BD=BC+CD=2a+4b=2AB, ∴A,B,D 三点共线. 【答案】 A,B,D → → 7.若 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点,AB=2e1,BC=3e2,则 → BO=________.(用 e1,e2 表示) 【解析】 → → ∵AD=BC, → → → ∴BD=AD-AB=3e2-2e1. → → 又∵BD=2BO, → 3 ∴BO=2e2-e1. 【答案】 3 2e2-e1 → → → 8. (2016· 南通高一检测)已知平面内有一点 P 及一个△ABC, 若PA+PB+PC → =AB,则下列说法正确的是________.(填序号) ①点 P 在△ABC 外部;②点 P 在线段 AB 上; ③点 P 在线段 BC 上;④点 P 在线段 AC 上. 【解析】 → → → → → PA+PB+PC=PB-PA, → → ∴2PA+PC=0. 如图,易知 P 在线段 AC 上. 【答案】 二、解答题 ④ 9. 如图 2223 所示, 已知在?ABCD 中, 点 M 为 AB 的中点, 点 N 在 BD 上, 且 3BN=BD. 图 2223 求证:M,N,C 三点共线. 【证明】 → → → → → 设AB=a,AD=b,则BD=BA+AD=-a+b, → 1→ → 1 → → 1 1 BN=3BD=-3a+3b,MB=2a,BC=AD=b, → → → 1 ∴MC=MB+BC=2a+b, → → → 1 1 1 MN=MB+BN=2a-3a+3b 1? 1 ? =3?2a+b?, ? ? → 1→ → → ∴MN=3MC,∴MN∥MC, 又 M 为公共点,∴M,N,C 三点共线. 10.如图 2224,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2CD,M,N 分别是 → → → → DC 和 AB 的中点,若AB=a,AD=b,试用 a,b 表示BC和MN. 图 2224 【解】 1 连接 CN.∵AN∥DC,且 AN=DC=2AB, ∴四边形 ANCD 为平行四边形, → → ∴CN=-AD=-b. → → → ∵CN+NB+BC=0, → → → 1 ∴BC=-NB-CN=b-2a, → → → → 1→ 1 MN=CN-CM=CN+2AN=4a-b. 能力提升] → → → → 1. 若AB=5e, CD=-7e, 且|AD|=|BC|, 则四边形 ABCD 的形状是________. 【解析】 → → → 7→ ∵AB=5e,CD=-7e,∴CD=-5AB, → → → → ∴AB与CD平行且方向相反,易知|CD|>|AB|. → → 又∵|AD|=|BC|,∴四边形 ABCD 是等腰梯形. 【答案】 等腰梯形 → → → → → 2. 已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m 使得AB+AC= → mAM成立,则 m 的值为________. 【解析】 → → → 由MA+MB+MC=0 可知,M 是△ABC 的重心. → → → 取 BC 的中点 D,则AB+AC=2AD. → → → 3→ 又 M 是△ABC 的重心,∴AM=2MD,∴AD=2AM, → → → ∴AB+AC=3AM,即 m=3. 【答案】 3 → → → → → 3. 在△ABC 中, BD=2DC, AD=mAB+nAC, 则 m=________, n=________. 【解析】 【答案】 → → → → → → → → 1→ 2→ AD-AB=2AC-2AD,∴3AD=AB+2AC,∴AD=3AB+3AC. 1 3 2 3 4.已知向量 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,其中 e1,e2 为两个非 零不共

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