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河北省唐山市滦县一中2016届高三上学期期中考试理科数学试题


滦县一中 2015-2016 学年度第一学期高三期中考试 数学试题(理科) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合 A={x∈N|x -2x≤0},则满足 A∪B={0,1,2}的集合 B 的个数为( A.3 2. 已知复数 z ? B.4 C.7 D.8
2



i ? i 2 ? i 3 ? ? ? i 2013 ,则复数 z 在复平面内 1? i
) C.第三象限 D.第四象限 )

对应的点位于( A.第一象限

B.第二象限

3.执行如图 1 所示的程序框图,则输出的 n 值为( A.4 D.7 4.已知正项等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2014 ? 2 , B.5 C.6

图1 则

1 1 ? a 2 a 2013
的最小值为( A.1 ) B.2 C.2013 D.2014 上,

5.某几何体的三视图如图,若该几何体的所有顶点都在一个球面 则该球面的表面积为( )

A.4π

B.

π

C.

π D.20π

6. 已知函数 f(x)=asin3x+bx +4(a∈R,b∈R) ,f′(x)为 f(x)的导函数, 则 f(2014)+f(﹣2014)+f (2015)﹣f (﹣2015)=(
/ /

3



A.8 7.设 n ?

B.2014

C.2015

D.0 )

?

?

2 0

1 4 sin xdx, 则二项式 ( x ? ) n 的展开式的常数项是( x
B.6 C.4 )
2 2

A.12

D.1

8.下列说法错误的是(

A.若命题 p:? x∈R,x ﹣x+1=0,则¬p:? x∈R,x ﹣x+1≠0 B. “sinθ = ”是“θ =30°”的充分不必要条件 C.命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是: “若 a≠0,则 ab≠0” D.已知 p:? x∈R,cosx=1,q:? x∈R,x ﹣x+1>0,则“p∧¬q”为假命题 9. 函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0)的图象如图所 示, 为了得到函数 ( ) 个单位 个单位 B.向右平移 D.向右平移 个单位 个单位 , 的图象,只需将 y=f(x)的图象
2

A.向左平移 C.向左平移

10. 如图在矩形 ABCD 中, AB= 则 A. 的值是( B.

, BC=4, 点 E 为 BC 的中点, 点 F 在 CD 上,若 ) C. D.

11. 如 图 , 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a,b ? 0) 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 、 F2 , a 2 b2
y
A

|F1F2|=2,P 是双曲线右支上的一点,PF1⊥PF2,F2P 与 y 轴交于 点 A,△APF1 的内切圆半径为
2 ,则双曲线的离心率是( 2


P

A.

5 2

B. 2

C. 3

D. 2 2

F1

12.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,其导函数为 f ?( x ) ,若

O x 第 11 题图

F2

x

f ?( x) ? f ( x) ,且 f ( x ? 1) ? f (3 ? x) , f (2015) ? 2 ,
则不等式 f ( x) ? 2e
x ?1

的解集为(



A. (1, ??)

B. (e, ??)

C. ( ??, 0)

D. (??, )

1 e

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上)

?y ?1 ? 13. 实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z=x—y 的最小值为-2, 则实数 m 的值为 ?x ? y ? m ?



14.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一或最 后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有 数字作答) 种.(用

15.记等比数列{an}的前 n 项积为 Tn(n∈N ),已知 am-1am+1-2am=0,且 T2m-1=128,则 m 的值 为______________. 16. 抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 A,B 两点,若△ABF 3 3 为等边三角形,则 p=________. 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答 写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2 sinxcosx﹣3sin x﹣cos x+3.
2 2 2

*

x2 y2

(1)当 x∈时,求 f(x)的值域; (2)若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 = =2+2cos(A+C) ,求 f(B)的值. ,

18. (本小题满分 12 分) 某网站用“10 分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所 示茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为 叶) : (1)指出这组数据的众数和中位数;

(2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福” .求从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记ξ 表示抽到“极幸福”的人数,求ξ 的分布列及数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图:四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,∠ACB=90°,平面
P

PAD⊥平面 ABCD,PA=BC=1,PD=AB= 2 ,E、F 分别为线段 PD 和 BC 的中
E

点. (1) 求证:CE∥平面 PAF; (2) 在 线 段 BC 上 是 否 存 在 一 点 G , 使 得 平 面 PAG 和 平 面 PGC
B F C A D

所成二面角的大小为 60°?若存在,试确定 G 的位置;若不存在,请 说明理由.

20.(本小题满分 12 分) 定长为 3 的线段 AB 的两个端点 A、 B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,动点 P 满足 =2 .

(1)求点 P 的轨迹曲线 C 的方程; (2)若过点(1,0)的直线与曲线 C 交于 M、N 两点,求 ? 的最大值.

21.(本小题满分 12) 分 已知函数 f . ( x ) ? e ? a x ? 1 ( a ? 0 , e 为 自 然 对 数 的 底 数 )
x

(1)求函数 f ( x ) 的最小值; (2)若 f ( x ) ≥0 对任意的 x ?R 恒成立,求实数 a 的值;
n n n n (3)在(2)的条件下,证明: ( ) ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) ? ( ) ?( 其 中 n ? N * )

1 2 n n

n ? 1n e n ne ? 1

请考生在(22).(23). (24)三题中任选一题作答, 如果多答, 则按做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 PA 为圆 O 的切线,切点为 A ,直径 BC ? OP ,连接 O C D P A

AB 交 PO 于点 D .
(1)证明: PA ? PD ; (2)求证: PA ? AC ? AD ? OC . B

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 C
2 ?? 2 a co ? sa ? ( 的极坐标方程为 ?sin

0过 ) 点 P (?2 , ?4) 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ,

2 ? ? x ??2? 2 t ? 2 ? ? y ??4? 2 t

( t 为参数) ,直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点.

(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若 PA ? PB ? AB ,求 a 的值.
2

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 1 . (1)求使不等式 f ( x) ? 6 成立的 x 的取值范围; (2) ?xo ? R , f ( xo ) ? a ,求实数 a 的取值范围.

2015-2016 学年度第一学期高三期中考试数学试题(理科)参考答案 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

号 答 案 二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 8 14.96 15.4 16.6 D A D B B A B B C B B A

三、解答题:共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解析:解: (1)∵f(x)=2 = sin2x﹣3? ﹣ ∈,∴sin(2x+ )+1∈; sinxcosx﹣3sin x﹣cos x+3 +3= )∈, sin2x﹣cos2x+1=2sin(2x+ )+1,
2 2

∵x∈,∴2x+

∴f(x)=2sin(2x+ (2)∵

=2+2cos(A+C) ,

∴sin(2A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C) , ∴sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C) , ∴﹣sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA,即 sinC=2sinA, 由正弦定理可得 c=2a,又由 = 可得 b= a,

由余弦定理可得 cosA=

=

=



∴A=30°,由正弦定理可得 sinC=2sinA=1,C=90°, 由三角形的内角和可得 B=60°,∴f(B)=f(60°)=2

18.解: (1)由茎叶图得到所有的数据从小到大排,8.6 出现次数最多, ∴众数:8.6;中位数:8.75; (2)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福” ,至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A,则 (3)ξ 的可能取值为 0、1、2、3.;

; ,

ξ P 所以 Eξ = = .

0

1

2

3

.另解:

所以 Eξ

19.1)取 PA 中点为 H,连结 CE、HE、FH, 因为 H、E 分别为 PA、PD 的中点,所以 HE∥AD, HE ? 因为 ABCD 是平行四边形,且 F 为线段 BC 的中点 所以 HE∥FC, HE ? FC 四边形 FCEH 是平行四边形 又因为 CE ? 平面PAF, HF ? 平面PAF 分 (2)因为四边形 ABCD 为平行四边形且∠ACB=90°, 所以 CA⊥AD 又由平面 PAD⊥平面 ABCD 可得 所以 CA⊥PA

1 AD , 2 1 AD 2

所以 FC∥AD, FC ? 所以 EC∥HF

所以 CE∥平面 PAF

????4

CA⊥平面 PAD

所以可建立如图所示的平面直角坐标系 A-xyz 由 PA=AD=1,PD=

2 可知,PA⊥AD????5 分
所以 B(1, ?1,0), C(1,0,0), P(0,0,1)

因为 PA=BC=1,AB= 2 所以 AC=1

假设 BC 上存在一点 G,使得平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60°, 设点 G 的坐标为(1,a,0) , ?1 ? a ? 0 所以 AG ? (1, a,0), AP ? (0,0,1) 设平面 PAG 的法向量为 m ? ( x, y, z) 则?

.H

.E

? x ? ay ? 0 令 x ? a, y ? ?1, z ? 0 ?z ? 0

所以 m ? (a,?1,0) 又 CG ? (0, a,0), CP ? (?1,0,1) 设平面 PCG 的法向量为 n ? ( x, y, z)

??? ?

??? ?

则? 因 为 平 面

?ay ? 0 令 x ? 1, y ? 0, z ? 1 所以 n ? (1,0,1) ?? x ? z ? 0
PAG 和 平 面 PGC

?????9 分 60° , 所 以

所 成 二 面 角 的 大 小 为

c o ?m s, n? ?

a a2 ?1 ? 2

?

1 2
?????11 分

所以 a ? ?1 又 ? 1 ? a ? 0 所以 a ? ?1

所以线段 BC 上存在一点 G,使得平面 PAG 和平面 PGC 所成二面角的大小为 60°点 G 即为 B 点??12 分 20.解: (Ⅰ)设 A(x0,0) ,B(0,y0) ,P(x,y) , 由 得, (x,y﹣y0)=2(x0﹣x,﹣y)



, (2 分) ,又因为

,所以(

) +(3y) =9,

2

2

化简得:

,这就是点 P 的轨迹方程. (4 分) ,

(Ⅱ)当过点(1,0)的直线为 y=0 时, 当过点(1,0)的直线不为 y=0 时,可设为 x=ty+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

联立

,化简得: (t +4)y +2ty﹣3=0,

2

2

由韦达定理得:



, (6 分)

又由△=4t +12(t +4)=16t +48>0 恒成立, (10 分) 得 t∈R,对于上式,当 t=0 时, 综上所述 的最大值为 .?(12 分)
x

2

2

2

? 21.解析: (1)由题意 a , ? 0 ,f () x ? e ? a ? 由f 得 x?lna. () x? e?? a0
x

当x 时, f ?(x ? ( ? ? , l n) a时, f ?(x )?0;当 x ? ( l n, a ? ? ) )?0. ∴ f ( x) 在 ( ? ? ,l na )单调递减,在 ( l na ,? ? )单调递增. 即 f ( x ) 在 x?lna处取得极小值,且为最小值, 其最小值为 f ( l n a ) ? e ?? a l n aa 1 ? ?? a l n a 1 .
l n a

??????4 分

(2) f (x) )m ≥ 0. ≥ 0对任意的 x ?R 恒成立,即在 x ?R 上, f (x in 由(1) ,设 g ,所以 g(a) ( a ) ? a ? aa l n ? 1 . ≥ 0.

? 由g 得 a ? 1. ( a ) ? 1 ? l n a ? 1 ? ? l n a ? 0
易知 g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1 , ??) 上单调递减, ∴

g ( a ) 在 a ? 1 处取得最大值,而 g( 1 ) ?0.
??????8 分

因此 g(a) ≥ 0的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1 .

x x (3)由(2)知,对任意实数 x 均有 e ,即 1 . ? x ? 1 ≥ 0 ?x≤ e



x? ?

k n

( n ? N * , k ? 0 , 1 , 2 , 3 , … , n ? 1 )





k k ?? ? ? k kn n ? k . 0 ?1? ≤e n .∴ ( 1 ?) ≤ ( e n) ? e n n
n n n n ? ( n ? 1 ) ? ( n ? 2 ) ? 2? 1 ∴ ( ) ? ( ) ? … ? () ? ( ) ≤ e ? e ? … ? e ? e ? 1

12 nn

n ? 1 n n n

? n 1 ? e 1 e ? ? ? ? ? 1 1 1 ? e 1 ? e e ? 1 .

????????12 分

22.证明:(1)∵直线 PA 为圆 O 的切线,切点为 A ∴∠PAB=∠ACB????????????????2 分 ∵BC 为圆 O 的直径,∴∠BAC=90° ∴∠ACB=90°-B ∵OB⊥OP,∴∠BDO=90°-B???????????4 分 又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90°-B ∴PA=PD???????????????????5 分 (2)连接 OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO ∵∠OAC=∠ACO O C D P A

B

∴Δ PAD∽Δ OCA??8 分
2

PA AD ∴ = OC AC

∴PA?AC=AD?OC?10 分
2 2

23.解析:(1) 由 ρ sin θ =2acosθ (a>0)得 ρ sin θ =2aρ cosθ (a>0) ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y =2ax(a>0)?????????2 分 直线 l 的普通方程为 y=x-2?????????????4 分 (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y =2ax 中, 得 t -2 2(4+a)t+8(4+a)=0 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2 则有 t1+t2=2 2(4+a), t1t2=8(4+a)???????????6 分 ∵|PA|?|PB|=|AB| ∴t1t2=(t1-t2) , 即(t1+t2) =5t1t2??????8 分
2 2 2 2 2 2

∴ =40(4+a)

2

a +3a-4=0 解之得:a=1 或 a=-4(舍去)

2

∴a 的值为 1??????10 分 24. 解析:(1) 由绝对值的几何意义可知 x 的取值范围为(-2,4) (Ⅱ) ? x0?R,f(x0)<a,即 a>f(x)min ???5 分

??????????????7 分

由绝对值的几何意义知:|x-3|+|x+1|可看成数轴上到 3 和-1 对应点的距离和. ∴f(x)min=4 ∴a>4 ???????????????????9 分 ???????10 分

所求 a 的取值范围为(4,+∞)


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