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抛物线简单几何性质教学设计参赛


抛物线的简单几何性质教学设计
蒙山第一中学:蔡喜彬

1. 教学目标: (1)掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;
(2)能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论; (3)在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化。

2. 过程与方法
学会用类比的思想分析解决问题。

3. 情态与价值观
学生通过和椭圆, 双曲线和抛物线之间的简单几何性质类比, 了解到事物之间的普遍联系性。

教学重点:抛物线的几何性质及其运用 教学难点:抛物线几何性质的运用 授课类型:新授课 教学方法:学导式,启发式

教学过程设计: 教学环节
1. 温故知新, 引入新课
图形
l

教学内容
标准方程 y2=2px 焦点坐标 准线方程

设计意图
通过图表的方 式把前面学习 的内容复习一 遍, 这样不但让 学生温习了旧 知识, 而且将对 新知识的掌握 起到承上启下 的作用

y
O

F

(p>0)

x
y2=-2px (p>0)

?p ? ? ,0 ? ?2 ?

x??

p 2

y
F

l
O

x
x2=2py F
O

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

x?

p 2

y
lx

(p>0)

? p? ? 0, ? ? 2?

y??

p 2

y
O F

x2=-2py
l

(p>0)

x
l

p? ? ? 0,? ? 2? ?

y?

p 2

2. 新课探讨 以抛物线 y2=2px p>0) ( 1. 范围 为例

y

数形结合, 讲解 新课, 通俗易懂 形因数而精准, 数因形而形象。

O

F

x

1

由抛物线 y2 =2px(p>0)有 x 所以抛物线在 y 轴的右侧。 当 x 增大时,

?

y2 2p

,又

p ? 0 所以 x ? 0

y

也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延

伸。所以 y 的取值范围是

y?R

2.对 称性 以?

y 代 y ,方程不变,所以抛物线关于 x 轴对称.我们把抛

物线的对称轴叫做抛物线的轴.

3.顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点,在方程中,当 时 ,因此抛物线的顶点就是坐标原点.

4.离心率
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物 线的离心率,由抛物线的定义可知 标准方程 y2 = 2px (p>0) 范围 x≥0 y∈R x轴 y2 = -2px (p>0) x≤0 y∈R (0,0) x2 = 2py (p>0) y≥0 x∈R y轴 x2 = -2py (p>0) y ≤ 0 x∈R 1 对称性 顶点 离心率

由此及彼, 本表 格由学生独立 完成, 锻炼学生 类比, 独立自主 的能力

2

学习新知识不 忘老知识, 比较 着学习, 总结归 纳更容易让学 生掌握本课内 容。 3. 三种圆锥曲 线的简单几 何性质比较

4.经典例题

例1:已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点

出此题的主要 意图是巩固各 位学生的基础。 此题比较简单, 便于各种水平 不同的学生掌 握。

M 2,?2 2
解:

? ?

? ?

,求它的标准方程。

因为抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点

2 ,又因为点 M 在抛物线 M 2,?2 2 。所以设方程为:y = 2px(p>0)

上:

?? 2 2 ?

2

? 2 p ? 2 , p ? 2 。因此所求抛物线标准方程为:

y 2 ? 4x
当焦点在 x(y)轴上,开口方向不定时,设为 y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论 例 2.斜率为 1 的直线 经过抛物线 此题主要是焦 点弦问题, 求的 是焦点弦的弦 长。同样很基 础, 但是方法三 很恰当的把抛 物线的定义给 融合进去, 利用 定义解决此问 题, 凸显抛物线 与椭圆。 双曲线 的不同

y 2 ? 4 x 的焦点 F,且与抛物线

相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长。 分析:法一、直线和抛物线联立为方程组,求出两个交点 A、B,然 后用两点间的距离公式求

AB 的长。 法二、设而不求,利用弦长公式来求 AB 的长。 法三、设而不求,数形结合,利用定义来求 AB 的长。
本题重在考试第三种方法。

p ? 1, 2 焦点F ?1,0?, 准线l : x ? ?1. 解 由题意可知 p ? 2, ,
如图:设

A?x1 , y1 ? B?x2 , y2 ? ,它们
3

y
A A`

到准线的距离分别是 d A , d B ,
O

F
B

由抛物线的定义可知

p AF ? d A ? 2

B`

x

BF ? d B ?
所以

p 2 p p + d B ? = x1 + x2 +P 2 2

AF ? BF = d A ?

由题意得过焦点,且斜率为 1 的直线的方程为 y=x-1(1)
将 ?1? 代入 y 2 ? 2 x ,
2

得 ? x ? 1? ? 4 x.
化简得 x 解得 x1 所以:
2

? 6x ? 1 ? 0

? 3 ? 2 2 , x2 ? 3 ? 2 2

AF ? BF

=8

5.本课小结

1. 范围:抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸, 但没有渐近线; 2.对称性:抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4.离心率:抛物线的离心率是确定的,等于1; 练习: P.72 页练习 1 作业: P.73 页习题

通过小结, 让各 位同学的知识 系统化,结构 化, 形成自己的 知识网络, 从而 掌握本科知识。

6.练习作业

巩固新鲜的记 忆, 弥补自己的 3 4 5 缺漏。

4


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