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高中数学必修二知识点、考点及典型例题


必修二

第一章 空间几何体
知识点:
1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的 多面体叫做棱台。 2、长方体的对角线长 l 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ;正方体的对角线长 l ? 3、球的体积公式: V ?
4 3
3a
2

?  R
1 3

3

,球的表面积公式: S ? 4 ?  R
S1 S2 h1 h2
2

4、柱体 V ? s ? h ,锥体 V ?

s ? h ,锥体截面积比:

?

2

5、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积;

S 侧面 ? 2 ? ? r ? l

⑵圆锥侧面积:

S 侧面 ? ? ? r ? l

典型例题:
★例 1:下列命题正确的是( ) A.棱柱的底面一定是平行四边形 B.棱锥的底面一定是三角形 C.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 D.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 ★★例 2:若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的 ( )
1
2

A 2 倍

B

4



C 2倍

D

2 倍

★例 3:已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体,其三视图如下图所示,则 这个组合体的上、下两部分分别是( ) A.上部是一个圆锥,下部是一个圆柱 B.上部是一个圆锥,下部是一个四棱柱

C.上部是一个三棱锥,下部是一个四棱柱 D.上部是一个三棱锥,下部是一个圆柱

正视图 侧视图 俯视图 ★★例 4:一个体积为 8 c m 3 的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是

A. 8 ? c m
二、填空题

2

B1 2? c m .
2

C1 6? c m .
2

D. 2 0 ? c m

2

★例 1:若圆锥的表面积为 a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥

的底面的直径为_______________.
★例 2:球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
知识点:
1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共
直线。

4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行: ⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简称线
线平行,则线面平行) 。

⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线
平行(简称线面平行,则线线平行) 。

10、面面平行: ⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简称线面
平行,则面面平行) 。

⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(简称面面平
行,则线线平行) 。

11、线面垂直: ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平
面垂直。

⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直(简称
线线垂直,则线面垂直) 。

⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。

12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直(简称线面垂直,则面
面垂直) 。

⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 (简称
面面垂直,则线面垂直) 。

典型例题:
★例 1:一棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比是 1:2,则此棱锥的高

(自上而下)被分成两段长度之比为 A、1: 2 B、1:4 C、1: ( 2 ? 1 ) D、1: ( 2 ? 1 )

★ 例 2:已知两个不同平面 ? 、? 及三条不同直线 a、b、c,? ? ? ,? ? ? ? c ,a ? ? ,
a ? b ,c 与 b 不平行,则(

) B. b ? ? 且 b // ? D. b ? ? 且与 ? 不相交

A. b // ? 且 b 与 ? 相交 C. b 与 ? 相交

★★ 例 3:有四个命题:①平行于同一直线的两条直线平行;②垂直于同一平面的两条直

线平行;③平行于同一直线的两个平面平行;④垂直于同一平面的两个平面平行。其中正确 的是 ( ) A.①②
★ ★ 例 4 : 在 正 方 体 ABCD
D 1 E ? 平面 A DF

B.②③

C.③④
1

D.①④ 的中点.求证:

? A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E , F 分 别 是 DC 和 CC

例 5:如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为 棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1

D1 A1 B1

C1

E

D F B

C

第三章
知识点:

直线与方程
y 2 ? y1 x 2 ? x1

A

1、倾斜角与斜率: k ? tan ? ? 2、直线方程:

⑴点斜式: y ? y 0 ? k ? x ? x 0 ? ⑵斜截式: y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 y 2 ? y1 x 2 ? x1

⑶两点式:

?

⑷截距式:

x a

?

y b

?1

⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 3、对于直线: l 1 : y ? k 1 x ? b 1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 有: ⑴ l 1 // l 2 ? ?
?k1 ? k 2 ? b1 ? b 2



⑵ l 1 和 l 2 相交 ? k 1 ? k 2 ; ⑶ l 1 和 l 2 重合 ? ?
?k1 ? k 2 ? b1 ? b 2



⑷ l1 ? l 2 ? k 1 k 2 ? ? 1 .
l1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

4、对于直线:

有:

⑴ l 1 // l 2 ? ?

? A1 B 2 ? A 2 B 1 ? B1C 2 ? B 2 C 1



⑵ l 1 和 l 2 相交 ? A 1 B 2 ? A 2 B 1 ; ⑶ l 1 和 l 2 重合 ? ?
? A1 B 2 ? A 2 B 1 ? B1C 2 ? B 2 C 1



⑷ l1 ? l 2 ? A1 A 2 ? B 1 B 2 ? 0 . 5、两点间距离公式: P1 P 2 ? 6、点到直线距离公式: d ? 7、两平行线间的距离公式:
l 1 : Ax ? By ? C 1 ? 0 与 l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 平行,则 d ?

?x2
Ax
0

? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ?
2

2

? By A
2

0

? C
2

? B

C1 ? C 2 A
2

? B

2

典型例题:
★例 1:若过坐标原点的直线 l 的斜率为 ? A
(1 , 3)

3 ,则在直线 l 上的点是(
(?


(1 , ? 3)

B

(

3 ,1 )

C

3 ,1 )

D

★例 2:直线 l 1 : kx ? (1 ? k ) y ? 3 ? 0 和 l 2 : ( k ? 1 ) x ? ( 2 k ? 3 ) y ? 2 ? 0 A .-3 互相垂直,则 k 的值是( ) B .0 C . 0 或-3 D . 0或1

第四章
知识点:

圆与方程

1、圆的方程:
2 ⑴标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,其中圆心为 ( a , b ) ,半径为 r . 2 2

⑵ 一 般 方 程 : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 其 中 圆 心 为 ( ?
2 2

D 2

,?

E ) 2

,半径为

r ?

1 D 2

2

? E

2

? 4F

.

2、直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

d ? r ? 相离

? ? ? 0;

d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0.

3、两圆位置关系: d ? O 1 O 2 ⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 4、空间中两点间距离公式: P1 P2 ?

?x 2

? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ? ? ? z 2 ? z1 ?
2 2

2

典型例题:
★例 1:圆心在直线 y=2x 上,且与 x 轴相切与点(-1,0)的圆的标准方程是 _________________________. ★★ 例 2:已知 圆 C : x ? y ? 4 ,
2 2

(1)过点 ( ? 1 , 3 ) 的圆的切线方程为________________. (2)过点 ( 3 , 0 ) 的圆的切线方程为________________.

(3)过点 ( ? 2 ,1 ) 的圆的切线方程为________________. (4)斜率为-1 的圆的切线方程为__________________. ★★例 3:已知圆 C 经过 A(3,2)、B(1,6)两点,且圆心在直线 y=2x 上。 (1)求圆C的方程; (2)若直线L经过点 P(-1,3)且与圆C相切, 求直线L的方程。


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