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数列通项和求和练习汇编

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求通项公式专题

一、利用 an 与 Sn 关系求 an
1-1 已知数列?an? 的前 n 项和 Sn ,求通项公式 an 例 1 已知数列 ?an? 的前 n 项和 Sn ,求数列 ?an? 的通项公式(1) Sn ? 2n ?1 .(2)
Sn ? 2n2 ? n ? 3

变式训练 1 已知数列?an? 的前 n 项和 Sn ,求数列?an? 的通项公式
(1) Sn ? 2n2 ? 3n .(2) Sn ? 3n ? 2

1-2 已知 an 与 Sn 的关系式,求 an

例2

已知数列{an} 的前 n

项和 Sn

?

3 2

an

? 3 ,求{an} 的通项公式.

. 变式训练 2 已知数列{an} 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? an ? 1 ,求{an} 的通项公式.

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.

变式训练 3

已知数列?an? 的前 n

项和

Sn ,且

Sn

?

1 4

(an

?1)2 (an

?

0)

则数列?an? 的通项公式为____________

变式训练 4 已知正项数列{an} 的前 n 项和 Sn 满足 2 Sn ? an ?1,求{an} 的通项公式.
? ? 变式训练 5 已知 a1 ? 3 且 an ? Sn?1 ? 2n n ? 2, n ? N ? ,求 an 及 S n 。

二、已知递推公式求通项公式

1

公式法:型如 an

? an?1

?

d, an an?1

?

q?n

?

2?

2.累加法:型如 an?1 ? an ? f (n) 的数列

例 3 已知数列{an} 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3n ? 2 ,求{an} 的通项公式.

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变式训练

5(1)已知数列 {an }

满足

a1

?

1,

an?1

?

an

?

ln(1 ?

1) n

,求 {an }

的通项公式.

(2)已知数列{an} 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3 ? 22n?1 ,求{an} 的通项公式.

3.累乘法:型如 an?1 ? an ? f (n) 的数列



4

已知数列 {an }

满足

a1

?

1,

an?1

?

n

? n

2

an

,求 {an }

的通项公式.

变式训练 6 已知数列{an} 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2n ? an ,求{an} 的通项公式.

变式训练 7 已知数列{an} 满足 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) ,求{an} 的通项公式.

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4.构造法:型如 an?1 ? kan ? b ( k、b 为常数)的数列构造{an ? ?} 为等比数列▲ 例 7 已知数列{an} 满足 a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 3 ,求{an} 的通项公式.

变式训练 9 已知数列{an} 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2 ,求{an} 的通项公式.

变式训练 10

已知数列{an} 满足

a1

?

? 17 2

, an

?

3 2

an?1

? 5(n

?

2)

,求{an} 的通项公式.

5

型如

a n ?1

?

ma n pan

?r ?q

的数列

5-2-1 型如 an?1

?

ma n (mp pan ? m

? 0) 的数列

例8

已知数列{an} 满足 a1

? 1 , an?1

?

an 2an ?

1

,求

{an

}

的通项公式.

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变式训练 11

已知数列 {an }

满足

a1

?

1,

an ?1

?

2an an ? 2

,求 {an }

的通项公式.

5-2-2 型如 an?1

?

ma n (mpq pan ? q

?

0) 的数列

解法:将原递推公式化为 pan an?1 ? qan?1 ? ma n 后两边同时除以 an?1an 得

p?q? 1 ? m? 1

an

a n ?1

转化为“6-1 型如 an?1 ? kan ? b ( k、b 为常数)的数列构造{an ? ?} 为等比数列”.



9:已知数列{an} 满足 a1

? 1 , an?1

?

an an ?

2

,求{an} 的通项公式.



10.设由 a1

? 1, an

?

an?1
?2n ? 1?an?1

?n
?1

?

2,3,??定义数列?an ?,试将 an 用 n 来表示

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例 设数列?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2. ① 设 bn ? an?1 ? 2an , 证明数列 ?bn ?是等比数列;②求数列 ?an ?的通项公式。 ① 数列 ?an ?的前 n 项和为 S n
数列求和练习

一、错位相减法

设数列 ?an ?的等比数列,数列?bn ?是等差数列,则数列?anbn ?的前 n 项和 S n 求解,
均可用错位相减法。

例 1;设{an} 是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21, a5 ? b3 ? 13

(Ⅰ)求{an} ,{bn}的通项公式;

(Ⅱ)求数列

? ? ?

an bn

? ? ?

的前

n

项和

S

n



二、裂项求和法 更多精品文档

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这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项 (通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解 (裂项)如:

(1) an

?

1 n(n ? 1)

?

1 n

?

1 n ?1

(2) an

?

(2n

(2n)2 ?1)(2n

? 1)

?1?

1 2

(1 2n ?1

?

1) 2n ?1

(3)

an

?

n(n

1 ?1)(n

?

2)

?

1[ 1 2 n(n ?1)

?

(n

1 ?1)(n ?

] 等。 2)

例 3:; 求数列 1 , 1 ,? ? ?,

1

,? ? ? 的前 n 项和.

1? 2 2 ? 3 n ? n?1

1、 求数列{n ? 2n}前n项和.

2、已知等差数列?an? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 .?an? 的前 n 项和为 Sn .

(Ⅰ)求 an 及 Sn ;

(Ⅱ)令

bn

?

1 an2 ?1



n?N?

),求数列 ?bn ?

的前

n

项和 Tn

.

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3、已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列{an} 的通项公式;w_w w. k#s5_u.c o* (Ⅱ)设 bn ? (4 ? an )qn?1(q ? 0, n ? N *) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn

4、已知等差数列?an? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,?an? 的前 n 项和为 Sn .

(Ⅰ)求

an



Sn

;(Ⅱ)令 bn

?

1 (n ?
an2 ?1

N *) ,求数列?bn? 的前

n

项和 Tn



5、已知二次函数 y ? f (x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' (x) ? 6x ? 2 ,数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n? N?) 均在函数 y ? f (x) 的图像上。

(Ⅰ)求数列{an} 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn

?

1 an an ?1

, Tn

是数列{bn}的前

n

项和,求使得 Tn

?

m 20

对所有

n?

N?

都成立

的最小正整数 m;

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6、(本小题满分 12 分)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N ? , 点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? bx ? r(b ? 0 且 b ? 1,b, r 均为常数)的图像上.

(1)求 r 的值;

(2)当 b ? 2 时,记

bn

?

n ?1(n ? 4an

N

?)

求数列 {bn}的前 n 项和 Tn

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数列求和专项练习
1、 求数列{?2n ?1??3n}前n项和.

2、求数列

1 2

,

3 4

,

5 8

,

7 16

,

?

?

?

,

2n ? 2n

1

的前

n

项和.

3、求数列 1 , 1 , 1 ,…, 1 ,…的前 n 项和 S

1?3 2 ? 4 3? 5

n(n ? 2)

4、已知数列 ?an ?的通项公式为 an ?

1 n ?1 ?

n

求它的前 n 项的和.

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5、已知数列{ an }满足: a1 ? 3a2 ? ? ? (2n ?1)an ? (2n ? 3) ? 2n?1, 数列{bn }的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? n ? 2.求数列{an ? bn }的前n项和Wn .

6、在数列 ?an ?中, a1 ? 1,
Sn 的表达式.

an

? 2Sn2 2Sn ?1

(n ? 2).

证明数列

? ? ?

1 sn

? ? ?

是等差数列,并求出

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7、已知数列?an? 中, a1

? 1,且当 n

?

2 时, Sn

?

an (Sn

?

1); 2

(1)求 Sn , an

(2)求?Sn? 的前 n 项和Tn

8、已知在数列?an? 中,

a1

?

1,

an?1

?

???1 ?

1 n

? ??

an

?

n ?1 2n

(1)设 bn

?

an n

,求数列?bn? 的通项公式

(2)求数列?an? 的前 n 项和 Sn

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学习-----好资料 9、已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (1)求数列{an}的通项公式;w_w w. k#s5_u.c o*
(2)设 bn ? (4 ? an )qn?1(q ? 0, n ? N *) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn
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10、已知数列{an} 的各项为正数,其前

n

项和 Sn满足Sn

?

( an ? 1)2 , 2

(I)求 an与an?1 (n ? 2) 之间的关系式,并求{an} 的通项公式;

(II)求证 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2.

S1 S2

Sn

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11、数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? 1,2Sn ? (n ? 1)an ,

(I)求 an 与 an?1 的关系式,并求{ an }的通项公式;

(II)求和 Wn

?

1? a22 ? 1

1 ??? a32 ? 1

1.

a2 n?1

?1

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12 已知函数 f(x)=m·2x+t 的图象经过点 A(1,1)、B(2,3)及 C(n,Sn),Sn 为数列{an} 的前 n 项和,n∈N*.
(1)求 Sn 及 an; (2)若数列{cn}满足 cn=6nan-n,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
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