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【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第2章 第3讲_图文

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课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

第3讲 函数的奇偶性与周期性

第二章 第3讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第二章 第3讲

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1. 结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2. 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3. 了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简 单函数的周期性.

第二章 第3讲

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1个重要规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 2种必会方法 1. 定义法:先求出定义域 ①关于原点对称,判断f(-x)与f(x)的关系得结论; ②不关于原点对称,则不具有奇偶性.

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2. 图象法:首先作出f(x)的图象 ①关于原点对称,f(x)为奇函数; ②关于y轴对称,f(x)为偶函数; ③既不关于原点,也不关于y轴对称,不具有奇偶性. 3个必记结论 1. 若f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a) =f(x),所以f(x)的周期T=2a.

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2.

若f(x+a)=

1 f?x?

,则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=

1 f?x+a?



f(x),所以f(x)周期T=2a.

3.

若f(x+a)=-

1 f?x?

,同理由递推法可得2a是函数的一个周

期.

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课前自主导学

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1. 函数的奇偶性

奇函数

偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,

定义 都有________,那么 都有________,那么

函数f(x)是偶函数

函数f(x)是奇函数

图象 特点

关于______对称

关于______轴对称

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奇偶函数的定义域有什么特点?它是函数具有奇偶性的什 么条件?

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(1)下列函数中,所有奇函数的序号是________. ①f(x)=2x4+3x2;②f(x)=x3-2x; ③f(x)=x2+x 1;④f(x)=x3+1;⑤y=x+1x. (2)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则 a+b的值________.

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2. 周期性 (1) 周 期 函 数 : 对 于 函 数 y = f(x) , 如 果 存 在 一 个 非 零 常 数 T,使得当x取定义域内的任何值时,都有____________,那么 就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一 个________,那么这个________就叫做它的最小正周期.

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(1)已知函数f(x),对?x∈R,都有f(x+2)=f(x),当x∈[0,1] 时,f(x)=4x-1,则f(-5.5)的值为________.
(2)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)=________.

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1. f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 原点 y 想一想:提示:定义域关于原点对称.定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 填一填:(1)②③⑤

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1 (2)3

提示:a-1+2a=0,∴a=13,

又f(-1)=f(1),得b=0,∴a+b=13.

2. f(x+T)=f(x) 最小的正数 最小的正数

填一填:(1)1 (2)-1

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核心要点研究

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例1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3-1x; (2)f(x)=x2-x3; (3)f(x)=log2(x+ x2+1); (4)y= 2x-1+ 1-2x;

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??x2+2?x>0?

(5)f(x)=?0?x=0?



??-x2-2?x<0?

(6)f(x)=|xlg2-?1-2|-x2?2.

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[审题视点] 先求出函数的定义域,若定义域关于原点对 称,再根据定义研究f(-x)与f(x)的关系,必要时需对解析式进 行化简,分段函数则要分段判断.
[解] (1)定义域是{x|x∈R,且x≠0},关于原点对称, 且f(-x)=(-x)3--1x=-x3+1x=-f(x), 故f(x)是奇函数.

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(2)定义域是R,关于原点对称. 又f(-x)=(-x)2-(-x)3=x2+x3, 因此f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x), 故f(x)是非奇非偶函数. (3)定义域是R,关于原点对称, 且f(-x)=log2(-x+ x2+1) =log2x+ 1x2+1=-log2(x+ x2+1) =-f(x), 故f(x)是奇函数.

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(4)由

??2x-1≥0 ???1-2x≥0

得函数定义域为{

1 2

},不关于原点对

称,函数是非奇非偶函数.

(5)当x>0时,-x<0,f(x)=x2+2,

f(-x)=-(-x)2-2=-x2-2=-f(x);

当x<0时,-x>0,f(x)=-x2-2,

f(-x)=(-x)2+2=x2+2=-f(x);

当x=0时,f(-x)=0=-f(x),

所以对x∈R,均有f(-x)=-f(x),函数是奇函数.

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(6)由

??1-x2>0 ???|x2-2|≠2

可得-1<x<1且x≠0,定义域关于原

点对称,

这时f(x)=|xlg2-?1-2|-x2?2=2lg-?1x-2-x22?=-lg?1x-2 x2?,

f(-x)=-lg?1x-2 x2?=f(x),故函数是偶函数.

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(1)判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于 原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要 条件.
(2)分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不 可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数 在整个定义域上的奇偶性.
(3)在分析f(-x)与f(x)的关系时,经常需要对f(x)的解析式进 行等价变形.

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[变式探究] [2012·上海高考]已知y=f(x)+x2是奇函数, 且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________.
解:设h(x)=f(x)+x2为奇函数, 则h(-x)=f(-x)+x2, ∴h(-x)=-h(x),∴f(-x)+x2=-f(x)-x2, ∴f(-1)+1=-f(1)-1,∴f(-1)=-3, ∴g(-1)=f(-1)+2=-1.

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例2 [2012·天津高考]下列函数中,既是偶函数,又在

区间(1,2)内是增函数的为( )

A. y=cos2x,x∈R C. y=ex-2e-x,x∈R

B. y=log2|x|,x∈R且x≠0 D. y=x3+1,x∈R

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[审题视点] 分析四个函数在(1,2)上不具有单调性,或为 奇函数、非奇非偶函数的情况,利用排除法求解.
[解析] 由函数是偶函数可以排除C和D,又函数在区间 (1,2)内为增函数,而此时y=log2|x|=log2x为增函数,所以选择 B.
[答案] B

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奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数在 对称区间上具有相反的单调性,因此,若函数具有奇偶性,研 究单调性或最值或作图象等问题,只需在非负值范围内研究即 可,在负值范围内由对称性可得.

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[变式探究] 已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数,若对

于任意给定的不相等的实数 x1 、x2 , 不等式 (x1 -x2)·[f(x1) -

f(x2)]<0恒成立,则不等式f(1-x)<0的解集为( )

A. (0,3)

B. (3,+∞)

C. (-∞,0)

D. (0,+∞)

答案:C

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解析:∵f(x+1)是定义在R上的奇函数,关于(0,0)对称, 向右平移1个单位得到f(x)的图象,关于(1,0)对称,即f(1)=0, 又∵任取x1,x2∈R,x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,∴f(x) 在R上单调递减.∵f(1-x)<0=f(1),∴1-x>1,∴x<0,∴不 等式f(1-x)<0的解集为(-∞,0).

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例3 [2012·山东高考]定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=

f(x).当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.

则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=( )

A. 335

B. 338

C. 1678

D. 2012

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[审题视点] 用赋值法求出多个函数值,发现其规律,再 利用周期性进行化简求值.
[解析] 由f(x+6)=f(x)得f(x)的周期为6,所以f(1)+f(2) +…+f(2012)=335[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(1)+f(2),而f(1)= 1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)= -1,f(6)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=1,
所以f(1)+f(2)+…+f(2012)=338,故选B. [答案] B

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奇思妙想:本例条件不变的情况下,求使f(x)=1在 [0,2013]上的所有x的个数,若f(x)=-1,结果又如何呢?
解:当x=1时f(x)=1,∵f(x)是以6为周期的函数,∴f(x) =1的所有解为x=6n+1(n∈Z),令0≤6n+1≤2013,
∴-16≤n≤33523,又∵n∈Z, ∴0≤n≤335(n∈Z).

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∴在[0,2013]上共有336个x使f(x)=1. 当f(x)=-1时,每个周期有2个解, ∵2013=335×6+3. ∴x解的个数为335×2+1=671个(f(x)=-1在最后半个周 期有一个解).

第二章 第3讲

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(1)关于周期性常见结论f(x+a)=-f(x),T=2a;f(x+a) =f?1x?,T=2a,f(x+m)=f(x+n),T=|m-n|.
(2)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性 质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断, 利用函数周期性求值,以及解决与周期有关的函数综合问 题.解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息,找 到函数的周期,利用周期在有定义的范围上进行求解.

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[变式探究] [2013·九江模考]已知f(x)是R上最小正周期为 2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)在区

间[0,6]上的图象与x轴的交点个数为( )

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

答案:B

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解析:函数y=f(x)的图象与x轴的交点即为y=f(x)的零点, 先在区间[0,2)上讨论,令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0,解得x= 0或x=1(x=-1舍去).又函数f(x)在R上以2为周期,则当x= 2,x=4,x=6或x=3,x=5时也有f(x)=0,即在区间[0,6]上f(x) 的图象与x轴的交点个数为7.函数图象如下.

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例4 [2013·大同模拟]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x -4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0) 在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+ x4=________.
[审题视点] 根据已知条件分析函数f(x)在[-8,8]的单调 性,对称性,画出图象进行求解.

第二章 第3讲

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[解析] ∵f(x)为奇函数并且f(x-4)=-f(x). ∴f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即f(4-x)=f(x), 且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),∴y=f(x)的图象关于x=2对 称,并且是周期为8的周期函数, ∵f(x)在[0,2]上是增函数, ∴f(x)在[-2,2]上是增函数, 在[2,6]上为减函数,据此可画出y=f(x)的示意图象,

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其图象也关于x=-6对称,
∴x1+x2=-12,x3+x4=4, ∴x1+x2+x3+x4=-8. [答案] -8

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有关抽象函数涉及单调性、奇偶性、周期性、对称性等性 质时,可考虑结合函数的图象特征,运用数形结合的思想方法 求解.

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[变式探究] [2013·海南模拟]设偶函数f(x)对任意x∈

R,都有f(x+3)=-

1 f?x?

,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,

则f(107.5)=( )

A. 10

1 B. 10

C. -10

D. -110

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答案:B

解析:因为f(x+3)=-

1 f?x?

,故有f(x+6)=-

1 f?x+3?



f(x).函数f(x)是以6为周期的函数.

f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=-

1 f?2.5?

=-

1 f?-2.5?



-4×?-1 2.5?=110.故选B.

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【选题·热考秀】 [2012·全国新课标]设函数f(x)=?x+x12?+2+1sinx的最大值为 M,最小值为m,则M+m=________.

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[规范解答]

因为f(x)=1+

2x+sinx x2+1

,所以h(x)=f(x)-1



2x+sinx x2+1

是奇函数,所以h(x)max=f(x)max-1=M-1,

h(x)min=f(x)min-1=m-1,由奇函数的对称性可知h(x)max+ h(x)min=0,所以M-1+m-1=0,即M+m=2.

[答案] 2

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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 本题通过构造奇函数解题,思路自然方法简洁,通过对f(x) 的变形发现奇函数,利用奇函数在对称区间上的函数值相反来 确定M+m的值.

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No.2 角度关键词:技巧点拨 整体思考,联想奇函数,利用其对称性简化求解,这是整 体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特 征,借助分式类函数最值的处理方法,部分分式法,变形发现 辅助函数为奇函数,整体处理最大值和最小值的问题以使问题 简单化,这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用 的深刻理解.

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经典演练提能

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1. 下列函数为偶函数的是( )

A. y=sinx

B. y=x3

C. y=ex

D. y=ln x2+1

答案:D 解析:选项中的四个函数的定义域都是R.选项A,y=

sinx为奇函数.选项B,幂函数y=x3也为奇函数.选项C,

指数函数y=ex为非奇非偶函数.选项D,根据函数奇偶性

的定义可以判断为偶函数.令f(x)=ln x2+1 ,得到f(-x)=

ln ?-x?2+1=ln x2+1=f(x),所以选D.

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2. [2012·福建高考]设函数D(x)=?????10,,xx为为有无理理数数,, 则下 列结论错误的是( )
A. D(x)的值域为{0,1} B. D(x)是偶函数 C. D(x)不是周期函数 D. D(x)不是单调函数

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答案:C 解析:显然,A,D是对的.若x是无理数,则-x也是无理 数;若x是有理数,则-x也是有理数.所以D(-x)=D(x),故 D(x)是偶函数.同理,对于任意有理数T,D(x+T)=D(x)(若x是 无理数,则x+T也是无理数;若x是有理数,则x+T也是有理 数),故D(x)是周期函数.

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3. [2012·湘潭四模]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x

+1)=-f(x),且在[0,1)上单调递增,记a=f(

1 2

),b=f(2),c

=f(3),则a,b,c的大小关系为( )

A. a>b=c

B. b>a=c

C. b>c>a

D. a>c>b

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答案:A 解析:依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是 以2为周期的函数,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1);又 f(3)=-f(2)=0,f(1)=f(0)=0,又f(x)在[0,1)上是增函数, 于是有f(12)>f(0)=f(2)=f(3),即a>b=c.

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4. [2012·浙江高考]设函数f(x)是定义在R上的周期为2的 偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f(32)=________.
答案:32 解析:f(32)=f(32-2)=f(-12)=f(12)=12+1=32.

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5. [2013·金版原创题]定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+ 2)·f(x)=1对于x∈R恒成立,且f(x)>0,则f(119)=________.
答案:1

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解析:∵f(x+2)=

1 f?x?

,∴f(x+4)=f(x+2+2)=

1 f?x+2?

=f(x),∴f(x)为周期函数T=4,

又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(119)=f(29×4+

3)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=f(1),

又f(-1+2)=f?-1 1?,

∴f(1)·f(-1)=1即f2(1)=1,∵f(x)>0

∴f(1)=1,∴f(3)=1.

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课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

限时规范特训

第二章 第3讲

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