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江苏省宿迁市高中数学 第1章 立体几何初步 1.2.3 直线与平面的位置关系 垂直 线面角讲义 苏教版必修2_图文

直线和平面垂直(3)
—直线与平面所成 的角

一、斜线、斜线段、射影
1. 一条直线与一个平面相交,但不和这个 平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线, 斜线与平面的交点叫做斜足
2. 斜线上一点与斜足间的线段叫做这个 点到平面的斜线段
3. 过平面外一点A向平面 ?引斜线和垂线,
那么过斜足B和垂足C的直线就是斜线在平 面内的正投影(简称射影)

二、直线与平面所成的角 A

平面的一条斜线和

它在平面内的射影所成

的锐角,叫做这条直线

?

和这个平面所成的角。 ? O

B

一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角;
一条直线和平面平行,或在平面内,它们所
成的角是0 ?的角。 直线和平面所成角的范围是 [0?,90?]

练习

D1 A1

C1 B1

D

C

A

B

如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,分别指 出对角线A1C与六个面所成的角.

例题
例1 . 如图,在Rt△ABC中,已知 ∠C=90?,AC=BC=1,PA⊥平面ABC,且 PA= 2 ,求PB与平面PAC所成的角.
P

A

B

C

解:∵PA ⊥平面ABC
BC ?平面ABC

∴BC ⊥ PA

又AC ⊥BC , PA ?AC=A

?BC ⊥平面PAC

?PB与平面PAC所角为∠BPC

?AC=1, PA= 2

P

? PC= 3

2

又BC=1,tan ∠BPC=

3 3

?∠BPC=30?

A

B

即BP与平面PAC所成的角为30? . 1

1

C

小结:求直线与平面所成的角,关键要找到
所要求的平面角
步骤:找(作)--证--算--结论
例2. 已知AC,AB分别是平面?的垂线和 斜线,C,B分别是垂足和斜足,a??
a⊥BC,求证: a⊥AB

? 例3.如图,已知∠BAC在平面?内,P ?,

∠PAB=∠PAC.求证:点P在平面?内的射影

在∠BAC的平分线上.

P

EB

A

O

FC

基础练习
1.平面? 与直线a所成的角为600,则a与平面
内的所有直线所成角的取值范围是______
2.已知点A和点B到平面? 的距离分别是 4cm和6cm,则线段AB的中点M到平面? 的
距离是_______
3.两条异面直线在平面内的射影可能是:(1) 两条平行线(2)两条相交直线(3)一条直线(4) 两个点(5)一条直线和一个点,上述5个结论 中,可能正确的序号是_________

例3.在三棱锥P-ABC中, (1)若PA=PB=PC,则顶点P在底面ABC内 的射影是△ABC的_______心.
(2)若PA,PB,PC互相垂直,则顶点P在底 面ABC内的射影是△ABC的_______心.
(3)若PA⊥BC,PC ⊥AB,则顶点P在底面 ABC内的射影是△ABC的_______心.
(4)若P到三边距离相等,则顶点P在底面 ABC内的射影是△ABC的_______心.

练习

1. 两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗 ?
(不一定)
2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗?(相等)

3. AO与平面?斜交,O为斜足,AO与平面?成?角,

B是A在?上的射影,OD是?内的直线,∠BOD=30?,

∠AOD=60?,则sin ? =



6

3

A

4.已知斜线段的长是它

在平面β上射影的2倍,

求斜线和平面β所成的

角。 ( 60? )

βB

O

如图,斜线段AB是其射影OB的 两倍,求AB与平面β所成的角。

5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中1 ,E、F分别 是AA1、AB的中点,求EF与面ACC1A1所成 的角. ( 30? )

小结 求直线与平面所成的角,关键要找到
所要求的平面角
步骤 找(作)---证---算---结论

课堂作业 课外作业

课本P36 课时作业

6,9,12 P17-18

思考题:
已知异面直线a,b所成角为500,P为空间一定点, 则过点P且与a,b所成角都是300的直线有____条.