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2013届高考数学(理)一轮复习课件:第二篇-函数与基本初等函数Ⅰ第5讲-对数与对数函数


第5讲

对数与对数函数

【2013 年高考会这样考】 1.考查对数函数的定义域与值域. 2.考查对数函数的图象与性质的应用. 3.考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质. 4.考查对数函数与指数函数互为反函数的关系. 【复习指导】 复习本讲首先要注意对数函数的定义域,这是研究对数函数性 质.判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据,同时熟练 把握对数函数的有关性质,特别注意底数对函数单调性的影响.

基础梳理 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果 ax=N(a>0,a≠1),那么数 x 就叫做以 a 为底 N 的对数, 记作

x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数.

(2)几种常见对数 对数形式 特点 记法

一般对数 底数为 a(a>0 且 a≠1) logaN 常用对数 自然对数 底数为 10 底数为 e lg N

ln N

2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①alogaN= N ;②logaaN=

N

(a>0 且 a≠1).

(2)对数的重要公式 logaN ①换底公式:logbN= log b a (a,b 均大于零且不等于 1);

1 ②logab= ,推广 logab· logbc· logcd=logad. logba

(3)对数的运算性质 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(M· N)= logaM+logaN M ②loga = N ③logaMn=
n

; ; (n∈R).

logaM-logaN

nlogaM

n ④log amM = mlogaM .

3.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

定义域:(0,+∞) 值域:R 性 质 当x>1时,y>0 当0<x<1,y<0 是(0,+∞)上的增函数 4.反函数 指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关 于直线 过点

(1,0)
当x>1时,y<0 当0<x<1时,y>0 是(0,+∞)上的减函数

y=x

对称.

一种思想 对数源于指数,指数式和对数式可以互化,对数的性质和运算 法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明. 两个防范 解决与对数有关的问题时,(1)务必先研究函数的定义域;(2) 注意对数底数的取值范围.

三个关键点
?1 ? 画对数函数的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0),?a,-1?. ? ?

四种方法 对数值的大小比较方法 (1)化同底后利用函数的单调性.(2)作差或作商法.(3)利用中 间量(0或1).(4)化同真数后利用图象比较.

双基自测 1.(2010· 四川)2 log510+log50.25=( A.0 解析 答案 B.1 C.2 ). D.4

原式=log5100+log50.25=log525=2. C

2.(人教A版教材习题改编)已知a=log0.70.8,b=log1.10.9,c= 1.10.9,则a,b,c的大小关系是( A.a<b<c C.b<a<c ). B.a<c<b D.c<a<b

解析 将三个数都和中间量1相比较:0<a=log0.70.8<1,b= log1.10.9<0,c=1.10.9>1. 答案 C

3.(2012· 黄冈中学月考)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为( A.(0,+∞) C.(1,+∞) 解析 设y=f(x),t=3x+1. 则y=log2t,t=3x+1,x∈R. 由y=log2t,t>1知函数f(x)的值域为(0,+∞). 答案 A B.[0,+∞) D.[1,+∞)

).

4.(2012· 汕尾模拟)下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|在其上为 增函数的是( A.(-∞,1]
? 3? C.?0,2? ? ?

).
? 4? B.?-1,3? ? ?

D.[1,2)

解析 法一 当2-x≥1,即x≤1时,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2- x),此时函数f(x)在(-∞,1]上单调递减.当0<2-x≤1,即 1≤x<2时,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此时函数f(x)在[1,2) 上单调递增,故选D.

法二 f(x)=|ln(2-x)|的图象如图所示.

由图象可得,函数f(x)在区间[1,2)上为增函数,故选D. 答案 D 2 5.若loga3>1,则a的取值范围是________. 答案
?2 ? ? ,1? ?3 ?

考向一

对数式的化简与求值

log89 【例1】?求值:(1)log 3;(2)(lg 5)2+lg 50· lg 2; 2 1 32 4 (3)2lg 49-3lg 8+lg 245.

[审题视点] 运用对数运算法则及换底公式. log2332 2 解 (1)原式= log 3 =3. 2 10 (2)原式=(lg 5) +lg(10×5)lg 5
2

=(lg 5)2+(1+lg 5)(1-lg 5)=(lg 5)2+1-(lg 5)2=1.

(3)法一

1 4 3 1 原式=2(5lg 2-2lg 7)-3×2lg 2+2(2lg 7+lg 5)

5 1 1 1 1 =2lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2lg 10=2. 法二 4 2×7 5 4 2 原式=lg 7 -lg 4+lg(7 5)=lg = 7×4

1 lg 10= . 2 对数源于指数,对数与指数互为逆运算,对数的运 算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的 换底公式进行.在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注 意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化.

1 1 【训练1】 (1)若2 =5 =10,求 + 的值. a b
a b

(2)若xlog34=1,求4x+4 x的值.


解 (1)由已知a=log210,b=log510, 1 1 则a+b=lg 2+lg 5=lg 10=1. (2)由已知x=log43, 1 10 则4 +4 =4log43+4-log43=3+3= 3 .
x
-x

考向二 对数值的大小比较 【例2】?已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(- 1 ∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(log 3),c=f(0.2-0.6), 2 则a,b,c的大小关系是( A.c<a<b C.b<c<a ). B.c<b<a D.a<b<c

[审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小.

1 1 解析 log 2 3=-log23=-log49,b=f(log 2 3)=f(-log49)= f(log49),log47<log49,0.2 log49, 又f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是 增函数,故f(x)在[0,+∞)上是单调递减的, ∴f(0.2
-0.6 -0.6



?1? ? ? ?5?

3 5 5 - 5 = 125 > 32 =2>

1 )<f(log23)<f(log47),即c<b<a,故选B.

答案 B

一般是同底问题利用单调性处理,不同底问题的处 理,一般是利用中间值来比较大小,同指(同真)数问题有时也 可借助指数函数、对数函数的图象来解决.

1 全国)设a=log32,b=ln 2,c=5-2,则( 【训练2】 (2010· A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a

).

1 1 解析 法一 a=log32= log 3 ,b=ln 2= log e ,而log23>log2e> 2 2 1 1 ,而 5 >2=log24>log23,所以c< 1,所以a<b,c=5- 2 = 5 a,综上c<a<b,故选C.

法二

1 1 a=log32=log 3,b=ln 2=log e,1<log2e<log23<2, 2 2

1 1 1 1 1 1 1 ∴2<log 3<log e<1;c=5-2= < =2,所以c<a<b, 5 4 2 2 故选C. 答案 C

考向三

对数函数性质的应用

【例3】?已知函数f(x)=loga(2-ax),是否存在实数a,使函数 f(x)在[0,1]上是关于x的减函数,若存在,求a的取值范围. [审题视点] a>0且a≠1,问题等价于在[0,1]上恒有
? ?a>1 ? ? ?2-ax>0

.

解 ∵a>0,且a≠1, ∴u=2-ax在[0,1]上是关于x的减函数. 又f(x)=loga(2-ax)在[0,1]上是关于x的减函数, ∴函数y=logau是关于u的增函数,且对x∈[0,1]时,u=2-ax 恒为正数.
? ?a>1 其充要条件是? ? ?2-a>0

,即1<a<2.

∴a的取值范围是(1,2).

研究函数问题,首先考虑定义域,即定义域优先的 原则.研究复合函数的单调性,一定要注意内层与外层的单调 性问题.复合函数的单调性的法则是“同增异减”.本题的易 错点为:易忽略2-ax>0在[0,1]上恒成立,即2-a>0.实质上 是忽略了真数大于0的条件.

【训练3】 已知f(x)=log4(4x-1) (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的单调性;
?1 ? (3)求f(x)在区间?2,2?上的值域. ? ?



(1)由4x-1>0解得x>0,

因此f(x)的定义域为(0,+∞). (2)设0<x1<x2,则0<4x1-1<4x2-1, 因此log4(4x1-1)<log4(4x2-1),即f(x1)<f(x2),f(x)在(0,+∞) 上递增.

?1 ? (3)f(x)在区间?2,2?上递增, ? ? ?1? 又f?2?=0,f(2)=log415, ? ? ?1 ? 因此f(x)在?2,2?上的值域为[0,log415]. ? ?

难点突破4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法

指数与对数函数问题,高考中除与导数有关的综合问题外,一 般还出一道选择或填空题,考查其图象与性质,其中与求值或 取值范围有关的问题是热点,难度虽然不大,但要注意分类讨 论.

一、与对数函数有关的求值问题 ? ?lg x,x>0, a 2 【示例】? (2011· 陕西)设f(x)=?x+? ? 3t dt,x≤0, ? ? ? ?0 若f(f(1))=1,则a=________.

二、与对数函数有关的解不等式问题 【示例】?
1-x ? ?2 ,x≤1, (2011· 辽宁改编)设函数f(x)= ? ? ?1-log2x,x>1,



满足f(x)≤2的x的取值范围是________.

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