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如何学好高中数学讲座


如何学好高中数学
开学初,为我校即将升入高中一年级的学生做了一次专题讲座,主要内容是如何学好高中数学。现将讲座 提纲整理如下,供读者们探讨。 我的讲座分三个部分,一是为什么要学习数学,学习数学有什么用;二是高中数学与初中数学在教法和学 法等方面有什么区别和联系;三是高中数学知识体系和要达到的目标。 一、 我们从呀呀学语时就开始接触数学,进入小学至今已经系统地上了 9 年的数学课,那么请大家回顾总 结,回答以下问题: 1、 你为什么要学习数学?数学课上你都学到了什么? 2、 学习了 9 年数学,你用数学做了什么? 3、 你希望高中数学课能够学到什么? 这一些问题或许很少有人认真思考过,因为这些问题与考试无关,考试也不考,教材上也没有。假设真的 拿到数学课堂上去讲这些东西,或许家长就会有意见。而我觉得,学生没有弄清楚学习数学对人的终身发 展的必要性和数学的社会价值之前去学习数学具有盲目性和强制性。一位中考成绩非常优秀的学生坦率的 发言具有很广泛的代表性,他说:“为什么要学习数学?是老师让学的,考试要考数学,数学不及格回家会 挨揍的。”当被问及用数学做了什么时,他说用数学可以解决实际问题,当被问到解决什么问题时,好多同 学都无言以对。可以看出这位同学是在被动地学习数学,没有主动去学习数学的意愿。成绩好的同学是这 样的想法,成绩差的同学也就可想而知了。至于第三个问题,学生根本就没有什么想法,都说老师教什么 我就学什么吧。 针对学生在认识上的缺陷,总结了学习数学的几方面的必要性,目的是唤起学生主动学习的兴趣。 1、 数学是一门高度抽象概括的基础学科,是深入学习其它学科的基础。例如:①数学在天文学上的应用, 计算星系的运动轨道;我国发射神州六号时,计算最佳发射时间和返回时间就用到了椭圆的有关知识;② 数学可以把毫不相干的问题统一到数学上来加以解决,比如可以用 14C 测试考古年代,原理就是只要测出 含碳物质中 14C 减少的程度,就可以按照基本的衰变公式推算出考古事件或地质事件的年代。核能是现代 社会最环保的能源之一,而核裂变所产生的能量也是用类似的方法计算出来的。 2、 数学在统计、人力资源分配、绘画艺术等方面都有着非常广泛的应用;你是一位老总,计划将 50 万元 的资金投入到两个项目上,已知项目甲预期年收益 20%,而预期亏损 10%,项目乙预期年收益 30%,而 预期亏损 20%,那么这位老总需要怎样分配这 50 万元年才可能获取最大的年收益? 3、 数学是思维的游戏。学习数学可以培养严密的逻辑思维。看下面的问题:5 个海盗抢到了 100 颗宝石, 每一颗都一样的大小和价值连城。他们决定这么分: 首先抽签决定自己的号码(1,2,3,4,5) ,然后 由 1 号提出分配方案,大家 5 人进行表决,当且仅当超过半数的人同意时,按照他的提案进行分配,否则 将被扔入大海喂鲨鱼。 如果 1 号死后,再由 2 号提出分配方案,然后大家 4 人进行表决,当且仅当超过半 数的人同意时,按照他的提案进行分配,否则将被扔入大海喂鲨鱼。以次类推…… 。条件是每个海盗都是 很聪明的人,都能很理智的判断得失,从而做出选择。 问题:第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自 己的收益最大化? 这是一道非常严密的逻辑推理问题,每一步都需要严密判断敌我关系。 二、 高中数学与初中数学的区别和联系 初中数学是高中数学的基础,没有初中数学证明题做基础就不会有高中对数学问题的严密分析。初中数学 注重形象化的模仿和演练,高中数学注重字母语言的应用,因而高中数学更加具有抽象性和概括性。初中 数学会对同一问题进行反复练习,老师也会对学生难以解决的问题反复讲解知道完全掌握为止。而高中注 重知识点的掌握和知识结构的形成,注重学习方法的掌握,注重培养学习和解决问题的能力。高中数学注 重数和形的结合,经常用数的精密计算反映形的性质,也经常通过对形的粗略估计,找到计算的最佳方法。 针对初高中的变化,就要及时调整学习策略和方法。

高中数学学习方法讲座
“数学是一切科学之母”、“数学是思维的体操”,它是一门研究数与形的科学,它不处不 在。要掌握技术,先要学好数学,想攀登科学的高峰,更要学好数学。数学,与其他学科比 起来, 有哪些特点?它有什么相应的思想方法?它要求我们具备什么样的主观条件和学习方 法?本讲将就数学学科的特点,数学思想以及数学学习方法作简要的阐述。 一、数学的特点 数学的三大特点:严谨性、抽象性、广泛的应用性 所谓数学的严谨性, 指数学具有很强的逻辑性和较高的精通性, 一般以公理化体系来体 现。 什么是公理化体系呢?指得是选用少数几个不加定义的概念和不加逻辑证明的命题为 基础,推出一些定理,使之成为数学体系,在这方面,古希腊数学家欧几里得是个典范,他 所著的《几何原本》就是在几个公理的基础上研究了平面几何中的大多数问题。在这里,哪 怕是最基本的常用的原始概念都不能直观描述,而要用公理加以确认或证明。 中学数学和数学科学在严谨性上还是有所区别的,如,中学数学中的数集的不断扩充, 针对数集的运算律的扩充并没有进行严谨的推证,而是用默认的方式得到,从这一点看来, 中学数学在严谨性上还是要差很多,但是,要学好数学却不能放松严谨性的要求,要保证内 容的科学性。 比如,等差数列的通项是通过前若干项的递推从而归纳出通项公式,但要予以确认,还 需要用数学归纳法进行严格的证明。 数学的抽象性表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象。 它在抽象过程中抛开较多 的事物的具体的特性,因而具有十分抽象的形式。它表现为高度的概括性,并将具体过程符 号化,当然,抽象必须要以具体为基础。 至于数学的广泛的应用性,更是尽人皆知的。只是在以往的教学、学习中,往往过于注 重定理、概念的抽象意义,有时却抛却了它的广泛的应用性,如果把抽象的概念、定理比作 骨骼,那么数学的广泛应用就好比血肉,缺少哪一个都将影响数学的完整性。高中数学新教 材中大量增加数学知识的应用和研究性学习的篇幅, 就是为了培养同学们应用数学解决实际 问题的能力。 我们来看看一个生活中有趣的问题。

在任何一次集会中,握过奇数次手的人必有偶数个,试证明。 如果抓住两个关键:一是握手总次数必为偶数, 二、高中数学的特点 往往有同学进入高中以后不能适应数学学习, 进而影响到学习的积极性, 甚至成绩一落 千丈。为什么会这样呢?让我们先看看高中数学和初中数学有些什么样的转变吧。 1、理论加强 2、课程增多 3、难度增大 4、要求提高三、掌握数学思想 高中数学从学习方法和思想方法上更接近于高等数学。 学好它, 需要我们从方法论的高 度来掌握它。 我们在研究数学问题时要经常运用唯物辩证的思想去解决数学问题。 数学思想, 实质上就是唯物辩证法在数学中的运用的反映。 中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以 上几个:集合与对应思想,初步公理化思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变换思 想。 例如,数列、一次函数、解析几何中的直线几个概念都可以用函数(特殊的对应)的概 念来统一。又比如,数、方程、不等式、数列几个概念也都可以统一到函数概念。 再看看下面这个运用“矛盾”的观点来解题的例子。 已知动点 Q 在圆 x2 十 y2=1 上移动,定点 P(2,0),求线段 PQ 中点的轨迹。 分析此题,图中 P、Q、M 三点是互相制约的,而 Q 点的运动将带动 M 点的运动;主要矛 盾是点 Q 的运动,而点 Q 的运动轨迹遵循方程 x02 十 y02=1①;次要矛盾关系:M 是线段 P Q 的中点,可以用中点坐标公式将 M 的坐标(x,y)用点 Q 的坐标表示出来。 x=(x0 十 2)/2② y=y0/2③ 显然,用代入的方法,消去题中的 x0、y0 就可以求得所求轨迹。 数学思想方法与解题技巧是不同的,在证明或求解中,运用归纳、演绎、换元等方法解 题问题可以说是解题的技术性问题, 而数学思想是解题时带有指导性的普遍思想方法。 在解 一道题时,从整体考虑,应如何着手,有什么途径?就是在数学思想方法的指导下的普遍性 问题。 有了数学思想以后,还要掌握具体的方法,比如:换元、待定系数、数学归纳法、分析 法、综合法、反证法等等。只有在解题思想的指导下,灵活地运用具体的解题方法才能真正

地学好数学,仅仅掌握具体的操作方法,而没有从解题思想的角度考虑问题,往往难于使数 学学习进入更高的层次,会为今后进入大学深造带来很有麻烦。 在具体的方法中,常用的有:观察与实验,联想与类比,比较与分类,分析与综合,归 纳与演绎,一般与特殊,有限与无限,抽象与概括等。 要打赢一场战役,不可能只是勇猛冲杀、一不怕死二不怕苦就可以打赢的,必须制订好 事关全局的战术和策略问题。解数学题时,也要注意解题思维策略问题,经常要思考:选择 什么角度来进入,应遵循什么原则性的东西。一般地,在解题中所采取的总体思路,是带有 原则性的思想方法,是一种宏观的指导,一般性的解决方案。 中学数学中经常用到的数学思维策略有: 以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相 辅 如果有了正确的数学思想方法, 采取了恰当的数学思维策略, 又有了丰富的经验和扎实 的基本功,一定可以学好高中数学。 四、学习方法的改进 身处应试教育的怪圈,每个教师和学生都不由自主地陷入“题海”之中,教师担心某种 题型没讲,高考时做不出,学生怕少做一道题,万一考了损失太惨重,在这样一种氛围中, 往往忽视了学习方法的培养, 每个学生都有自己的方法, 但什么样的学习方法才是正确的方 法呢?是不是一定要“博览群题”才能提高水平呢? 现实告诉我们,大胆改进学习方法,这是一个非常重大的问题。 (一)学会听、读 我们每天在学校里都在听老师讲课,阅读课本或者资料,但我们听和读对不对呢? 让我们从听(听讲、课堂学习)和读(阅读课本和相关资料)两方面来谈谈吧。学生学 习的知识,往往是间接的知识,是抽象化、形式化的知识,这些知识是在前人探索和实践的 基础上提炼出来的,一般不包含探索和思维的过程。因此必须听好老师讲课,集中注意力, 积极思考问题。 弄清讲得内容是什么?怎么分析?理由是什么?采用什么方法?还有什么疑 问?只有这样,才可能对教学内容有所理解。 听讲的过程不是一个被动参预的过程,在听讲的前提下,还要展开来分析:这里用了什 么思想方法, 这样做的目的是什么?为什么老师就能想到最简捷的方法?这个题有没有更直 接的方法?

“学而不思则罔,思而不学则殆”,在听讲的过程中一定要有积极的思考和参预,这样 才能达到最高的学习效率。 阅读数学教材也是掌握数学知识的非常重要的方法。 只有真正阅读和数学教材, 才能较 好地掌握数学语言,提高自学能力。一定要改变只做题不看书,把课本当成查公式的辞典的 不良倾向。阅读课本,也要争取老师的指导。阅读当天的内容或一个单元一章的内容,都要 通盘考虑,要有目标。 比如,学习反正弦函数,从知识上来讲,通过阅读,应弄请以下几个问题: (l)是不是每个函数都有反函数,如果不是,在什么情况下函数有反函数? (2)正弦函数在什么情况下有反函数?若有,其反函数如何表示? (3)正弦函数的图象与反正弦函数的图象是什么关系? (4)反正弦函数有什么性质? (5)如何求反正弦函数的值? (二)学会思考 爱因斯坦曾说: “发展独立思考和独立判断的一般能力应当始终放在首位” 勤于思考, , 善于思考,是对我们学习数学提出的最基本的要求。一般来说,要尽力做到以下两点。 1、善于发现问题和提出问题 2、善于反思与反求

高中数学讲座 9——不等式的证明(一)
(2008-08-26 10:13:16) 不等式的证明从初中到高中都是一个令学生头痛的一类数学问题。其实造成 这一现象的本质是——在用基本不等式的性质时,放大与缩小的范围较难把握。 这一“放大与缩小”的原理是基于小学奥数的“估值法”的应用关键。这时学 过小学奥数的学生就有一点点优势了。 既然用不等式的性质证明的技巧性太强,那么换个思路,用其他驾轻就熟 的方法不是可以避重就轻?所以我也不常用不等式的性质来证明不等式的题 目。 证明不等式的常用方法: 1、二次函数。利用最值求解。 2、三角函数。利用正弦函数、余弦函数的有界性求解。 3、向量。利用向量:a〃b=| a|〃|b |cosA,即 a〃b≥| a|〃|b |cosA 求解。 4、几何法。利用立体几何与平面几何知识求解。 方法不一而足。其本质是限制所要证明的代数式的范围。

上述构造法还是有一点难度的。比较简单一点的是:

例:已知 2x+3y=1,求 x2+y2 的最大值。 用向量的方法是:构造向量(x,y),(2,3)即可。以后有机会,继续这方面的 探讨。


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