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【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第2章 第4讲_图文

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第4讲 幂函数与二次函数

第二章 第4讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第二章 第4讲

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1. 理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 2. 会求二次函数在闭区间上的最值. 3. 能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的 联系去解决有关问题.
4. 了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,y =1x,y=x21 的图象,了解它们的变化情况.

第二章 第4讲

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1个必会代表

函数y=x,y=x2,y=x3,y=

1
x2

,y=x-1可做为研究和学习

幂函数图象和性质的代表.

2种必会方法

1. 函数y=f(x)对称轴的判断方法

对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)=f(x2),那 么函数y=f(x)的图象关于x=x1+2 x2对称.

2. 对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a

-x)成立的充要条件是函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称

(a为常数).

第二章 第4讲

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3个熟知规律 1. 在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函 数的图象数形结合来解,一般从四个方面分析:①开口方向; ②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号. 2. 在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二 次函数的图象、性质求解. 3. 研究二次函数图象要结合二次函数对应方程的根及对应 二次不等式的解集来确定图象形状.

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课前自主导学

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1. 二次函数的定义

形如:f(x)=____________的函数叫做二次函数.

2. 二次函数的图象与性质

函数

y=ax2+bx+c(a>0)

y=ax2+bx+c(a<0)

图象

定义域 值域
单调性
最值
顶点
对称轴

R

R

__________

__________

在__________上递减,在_________上递 增.

在______上递增,在______上递减.

当x=-2ba时,函数有最小值________

当x=-2ba时,函数有最大值________

(-2ba,4ac4-a b2)

函数的图象关于x=-2ba成轴对称

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4ac4-a b2一定是函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值吗?

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(1) 函 数 f(x) = ax2 + ax + 1 在 x 轴 的 上 方 则 a 的 取 值 范 围 ________.
(2)f(x) = x2 - 2x + 2 的 定 义 域 , 值 域 均 为 [1 , b] , 则 b = ________.
3. 幂函数的概念 形 如 ________ 的 函 数 叫 做 幂 函 数 , 其 中 ________ 是 自 变 量,________是常数.

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幂函数与指数函数有何不同?y=(x+1)3,y=x3-1,y = x是幂函数吗?

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设 f(x) = (m - 1)xm2 - 2. 如 果 f(x) 是 正 比 例 函 数 , 则 m = ________,如果f(x)是反比例函数,则m=________,如果f(x)是 幂函数,则m=________.

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4. 常用幂函数的性质

函数

特征 y=x

性质

定义域 R

值域

R

奇偶性 奇

单调性 增

特殊点

(1,1) (0,0)

y=x2
R [0,+∞)
偶 x∈[0,+∞)
时,__ x∈(-∞,0]
时,__
(1,1) (0,0)

y=x3
R R 奇

(1,1) (0,0)

1 y=x2

y=x-1

[0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)

[0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)

非奇非偶



x∈(0,+∞) 时,__ 增
x∈(-∞,0) 时,__

(1,1) (0,0)

(1,1)

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(1)试比较a=1.2

1 2

,b=0.9-

1 2

,c=1.1

1 2

的大小关系

________.

(2)正整数p使函数f(x)=xp-2在(0,+∞)上是减函数,则

p=________,函数的单调递减区间________.

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1. ax2+bx+c(a≠0)

2. [4ac4-a b2,+∞) (-∞,4ac4-a b2] (-∞,-2ba]

[- 2ba ,+∞)

(-∞,-

b 2a

]

[-

b 2a

,+∞)

4ac-b2 4a

4ac-b2 4a

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想一想:提示:当-

b 2a

在定义区间上时是函数的最

值,否则就不是.

填一填:(1)0≤a<4 (2)2

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3. y=xα x α 想一想:提示:幂函数与指数函数的本质区别就在于 自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数 函数的自变量在指数位置.在所给的三个函数中只有y= x 是幂函数. 填一填:± 3 -1 2 4. 增 减 减 减
填一填:(1)a>b>c (2)1 (-∞,0),(0,+∞)

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核心要点研究

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例1 [2013·苏州调研]已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+

m-3是幂函数,且x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,则m的

值为( )

A.-1

B.2

C.-1或2

D.3

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[审题视点] 先利用幂函数的定义确定出m的取值范围,再 利用f(x)在(0,+∞)上是增函数确定m的具体值.
[解] ∵f(x)是幂函数, ∴m2-m-1=1, ∴m=-1或m=2, 当m=-1时,m2+m-3=-3, 当m=2时,m2+m-3=3, ∴f(x)=x-3或f(x)=x3,

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而易知f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数, f(x)=x-3=x13在(0,+∞)上为减函数 ∴m的值为2.

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[答案] B 奇 思 妙 想 : 本 例 已 知 变 为 “ 幂 函 数 f(x) = (t3 - t +

1)·

(t∈N)是偶函数”,则实数 t 的值如何求解?

解:∵函数是幂函数,∴t3-t+1=1, 解得 t=0 或 1 或-1.

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当t=0时,7+35t-2t2=75,函数是奇函数; 当t=1时,7+35t-2t2=85,函数是偶函数; 当t=-1时,7+35t-2t2=25,函数是偶函数, 故实数t的值为-1或1.

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(1)幂函数的形式是y=xα,其中只有参数α,因此只需一个 条件即可确定其解析式.
(2)若幂函数y=xα(α∈Z)是偶函数,则α必为偶数.当α是分 数时,一般将其先化为根式,再判断.
(3)若幂函数y=xα在(0,+∞)单调递增,则α>0,若在(0, +∞)上单调递减,则α<0.

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[变式探究]

[2013·杭州模拟]若(a+1)-

1 2

<(3-2a)-

12,则a的取值范围是________. 答案:(23,32)

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解析:令f(x)=x-

1 2



1 x

,则f(x)的定义域是{x|x>0},

且在(0,+∞)上单调递减,则原不等式等价于

?? a+1>0, ?3-2a>0, ??a+1>3-2a,

解得23<a<32.

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例2 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函 数; (3)a=-1时,求f(|x|)的单调区间.

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[审题视点] 解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系,结 合图象式单调性求解,对于(3)应先将函数化为分段函数,再求 单调区间.
[解] (1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1 则函数在(-4,2)上为减函数,在(2,6]上为增函数. ∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3 =35.

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(2)函数f(x)=x2+2ax+3对称轴为x=-22a=-a, ∴要使f(x)在[-4,6]上为单调, 只需-a≤-4或-a≥6. ∴a≥4或a≤-6. (3)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3= ??x2+2x+3=?x+1?2+2 x≤0 ???x2-2x+3=?x-1?2+2 x>0

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其图象如图所示:

又∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间(-4,-1)和(0,1)上为减函 数,在区间(-1,0)和(1,6)上为增函数.

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奇 思 妙 想 : 若 将 (2) 问 “ 函 数 y = f(x) 在 区 间 [ - 4,6] 上 不 单 调”,求a的范围.
解:∵函数在[-4,6]上不单调, ∴由图象性质得-4<-a<6,∴-6<a<4.

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(1)影响二次函数f(x)在区间[m,n]上最值的要素有三个, 即抛物线的开口方向,对称轴位置,闭区间,常用数形结合思 想求解,当三要素中一要素不明确时,要分类讨论,往往需讨 论区间和轴的位置或根与区间关系式判别式Δ符号等.
(2)确定与应用二次函数单调性常借助其图象数形结合.

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[变式探究] [2011·天津高考]对实数a和b,定义运算

“?”;a?b=

??a,a-b≤1, ???b,a-b>1.

设函数f(x)=(x2-2)?(x-x2),

x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实

数c的取值范围是( ).

A.(-∞,-2]∪(-1,32)

B.(-∞,-2]∪(-1,-34)

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C.(-1,14)∪(14,+∞) D.(-1,-34)∪[14,+∞) 答案:B

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解析:由题意得, f(x)=?????xx2--x22,,??xx22--22??--??xx--xx22??>≤11,, 即f(x)=?????xx2--x22,,x-<-1≤1或x≤x>32,32.

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在同一坐标系内画出函数y=f(x)与y=c

的图象如图所示,结合图象可知,当c∈

(-∞,-2]∪(-1,-

3 4

)时两个函数的图

象有两个公共点,从而方程f(x)-c=0有两个不同的根,即y

=f(x)-c与x轴有两个不同交点.

第二章 第4讲

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例3 [2013·衡水月考]设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x -a|.
(1)若f(0)≥1,求a的取值范围; (2)求f(x)的最小值. [审题视点] (1)求a的取值范围,是寻求关于a的不等式, 解不等式即可;(2)求f(x)的最小值,由于f(x)可化为分段函数, 分段函数的最小值分段求,各段上最小值的最小者即为所求.

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[解] (1)因为f(0)=-a|-a|≥1,

所以-a>0,即a<0,由a2≥1知a≤-1,

因此,a的取值范围为(-∞,-1].

(2)记f(x)的最小值为g(a),则有

f(x)=2x2+(x-a)|x-a|

=???3?x-a3?2+23a2,x>a



???x+a?2-2a2,x≤a ②

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(ⅰ)a≥0时,f(-a)=-2a2,

由①②知f(x)≥-2a2,此时g(a)=-2a2.

(ⅱ)当a<0时,f(a3)=23a2,

若x>a,则由①知f(x)≥23a2.

若x≤a,由②知f(x)≥2a2>23a2.此时g(a)=23a2,

??-2a2, 综上,得g(a)=???23a2,

a≥0 .
a<0

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在解答本题时有两点容易造成失分:一是求实数a的值 时,讨论的过程中没注意a自身的取值范围,易出错;二是求 函数最值时,分类讨论的结果没能用分段函数表示.

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[变式探究] (1)设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的 最小值为g(a),则g(a)=________.
(2)[2013·金版原创题]设函数y=-x2+2ax-a在x∈[0,1]时 有最大值2,则a的值为________.

答案:(1)?????a-2-1,2aa,≥-1 2<a<1

(2)a=-2或3

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解析:(1)函数图象的对称轴是直线x=1,分对称轴在区间 [-2,a]内,对称轴在区间[-2,a]右边两种情况进行讨论.
∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线x=1,而x =1不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论.
当-2<a<1时,函数在[-2,a]上单调递减,则当x=a时, ymin=a2-2a;

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当a≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调 递增,则当x=1时,ymin=-1.
综上,g(a)=?????a-2-1,2aa,≥-1 2<a<1 . (2)函数f(x)=-(x-a)2+a2-a,其对称轴为x=a. ①当a<0时,f(x)max=f(0)=-a, ∴-a=2,∴a=-2.

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②当0≤a≤1时,f(x)max=a2-a, ∴a2-a=2,∴a=-1或a=2(都舍去). ③当a>1时,f(x)max=f(1)=a-1, ∴a-1=2,a=3 综上可知a=-2或a=3.

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【选题·热考秀】 [2012·江苏高考]已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域 为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则 实数c的值为________.

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[规范解答] 通过值域求a,b的关系是关键. 由题意知f(x)=x2+ax+b=(x+a2)2+b-a42. ∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b-a42=0,即b=a42.
∴f(x)=(x+a2)2.

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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:易错分析 (1)值域为[0,+∞)不知如何转换是失分的主要原因.(2) 不能正确地配方或记错抛物线的顶点坐标是导致失误的原因之 一.(3)解不等式的过程是等价转化过程,且注意隐含条件,否 则易错,因此要深刻理解三个“二次”之间的关系,运用函数 与方程的思想方法,将它们进行相互转化.

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No.2 角度关键词:备考建议 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式 f(x)<c,∴(x+a2)2<c,即-a2- c<x<-a2+ c.

又∵



??-a2- ???-a2+

c=m, c=m+6.

① ②

②-①,得2 c =

6,∴c=9.

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[答案] 9,(三个“二次”)是一个有机的整体,是高考的热 点.把三个“二次”经常联系思考有助于提高解题效率,这更 体现了数形结合的思想,解题时应注意对称轴与区间相结合, 注意系数a的符号对开口方向的影响.

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1. [2012·烟台模拟]幂函数y=f(x)的图象经过点(4,12),

则f(14)的值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

答案:B

解析:设f(x)=xm,则4m=12,m=-12.

∴f(x)=x-12,∴f(14)=2,故选B.

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2 . [2013· 金 版 原 创 题 ] 如 果 函 数 f(x) = x2 + (a + 2)x + b(x∈[a,b])的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的最小值为

() A.30 C.6

B.3 D.5

答案:D

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解析:∵函数f(x)=x2+(a+2)x+b的对称轴为x=-a+2 2, 又∵函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线x =1对称, ∴-a+2 2=1且a+2 b=1, ∴a=-4,b=6. f(x)=x2-2x+6(x∈[-4,6]), 因此,该函数当x=1时函数取最小值5.

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3.[2012·南昌一模]函数y=x

1 2

-1的图象关于x轴对称的图象

大致是( )

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答案:B 解析:函数y=x12= x,该函数的图象就是抛物线y2=x

在x轴及其以上的部分,故函数y=x

1 2

-1=

x -1是将上述

图象向下平移一个单位得到的,再作其关于x轴对称的图

象,即选项B中的图象.

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4.[2013·福州质检]已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则

()

A.a>b>c

B.a>c>b

C.c>a>b

D.b>c>a

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答案:A 解 析 : 由 0.2<0.6,0.4<1 , 并 结 合 指 数 函 数 的 图 象 可 知 0.40.2>0.40.6,即b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综 上,a>b>c.

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5.[2013·银川质检]二次函数f(x)=2ax2-ax+1(a<0),若

x1<x2,x1+x2=0,则f(x1)与f(x2)的大小关系( )

A.f(x1)=f(x2)

B.f(x1)>f(x2)

C.f(x1)<f(x2)

D.与a值有关

答案:C

解析:二次函数口向下,对称轴x=

1 4

,又依题意得

x1<0,x2>0,且x1+x2=0,则14-x1>x2-14,故f(x1)<f(x2),选

C.

第二章 第4讲

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金版教程 ·高三数学

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第二章 第4讲

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