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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系


第八章

第4讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 云南检测]已知点 P(a,b)(ab≠0)是圆 O:x2+y2=r2 内一点,直线 l 的方程为 ax+by+r2=0,那么直线 l 与圆 O 的位置关系是( A. 相离 C. 相交 答案:A 解析:a2+b2<r2,d= |r2| >r,所以直线 l 与圆 O 相离. a2+b2 ) B. 相切 D. 不确定 )

2. 圆 x2+y2-2x+4y-20=0 截直线 5x-12y+c=0 所得的弦长为 8, c 的值是( 则 A. 10 C. 5 或-34 答案:B B. 10 或-68 D. -68

解析:∵弦长为 8,圆的半径为 5,∴弦心距为 52-42=3.∵圆心坐标为(1,-2),∴ |5×1-12×?-2?+c| =3,∴c=10 或 c=-68. 13 3. [2012· 湖北高考]过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分成两部分,使得 这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A. x+y-2=0 C. x-y=0 答案:A 解析:要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,通过观察图形,显然只需该直 线与直线 OP 垂直即可,又已知 P(1,1),则所求直线的斜率为-1,又该直线过点 P(1,1), 易求得该直线的方程为 x+y-2=0.故选 A. 4. [2013· 烟台四校联考]直线 y=x-1 上的点到圆 x2+y2+4x-2y+4=0 上的点的最近距 离是( ) B. D. 1 2-1 )

B. y-1=0 D. x+3y-4=0

A. ± 2 C. 2 2-1 答案:C

|-2-1-1| 解析:圆心坐标为(-2,1),则圆心到直线 y=x-1 的距离 d= =2 2,又圆 2

的半径为 1,则圆上的点到直线的最短距离为 2 2-1. 5. [2013· 沈阳质检]已知圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0,直线 l:3x-4y+m=0,圆上存在 两点到直线 l 的距离为 1,则 m 的取值范围是( A. (-17,7) C. (-17,-7)∪(3,13) 答案:C 解析:当圆心到直线的距离满足 r-1<d<r+1 时,圆上存在两点到直线的距离为 1,即 |2+m| 满足 1< <3,解得-17<m<-7 或 3<m<13. 5 1 81 1 6. 圆(x+ )2+(y+1)2= 与圆(x-sinθ)2+(y-1)2= (θ 为锐角)的位置关系是( 2 16 16 A. 相离 C. 内切 答案:D 解析:两圆圆心之间的距离 d= 1 ?sinθ+ ?2+?1+1?2= 2 1 ?sinθ+ ?2+4, 2 B. 外切 D. 相交 ) )

B. (3,13) D. [-17,-7]∪[3,13]

1 1 3 17 1 25 17 5 ∵θ 为锐角,∴0<sinθ<1, <sinθ+ < , <(sinθ+ )2+4< ,∴ <d< ,又两圆的 2 2 2 4 2 4 2 2 5 半径之和为 ,两圆的半径之差的绝对值为 2,∴两圆相交. 2 二、填空题 7. 当直线 l:y=k(x-1)+2 被圆 C:(x-2)2+(y-1)2=5 截得的弦长最短时,k 的值为 ________. 答案:1 解析:直线过定点(1,2),且该点在圆内,则当直线过定点且与圆心连线垂直时得到的弦 1-2 长最短,定点与圆心连线的斜率 =-1,所以所求斜率 k=1. 2-1 y-2 8. [2013· 南京模拟]已知 x,y 满足 x2+y2=1,则 的最小值为________. x-1 3 答案: 4 y-2 y-2 解析: 表示圆上的点 P(x,y)与点 Q(1,2)连线的斜率,所以, 的最小值是直线 x-1 x-1 PQ 与圆相切时的斜率.设直线 PQ 的方程为 y-2=k(x-1)即 kx-y+2-k=0,由 y-2 3 3 3 1 得 k= ,结合图形可知, ≥ ,∴最小值为 . 4 4 x-1 4 |2-k| = k2+1

9. [2012· 天津高考]设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相 交于点 B,且 l 与圆 x2+y2=4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最小 值为________. 答案:3 1 1 解析:直线 mx+ny-1=0 与两坐标轴的交点坐标分为( ,0),(0, ),又∵直线 l 被圆 m n x2+y2=4 截得弦长为 2,由垂径定理得,( 1 1 1 1 ∴S△OAB= × × ≥ 2 =3. 2 |m| |n| m +n2 三、解答题 10. [2013· 贵阳模拟]已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称,直线 3x+4y -11=0 与圆 C 相交于 A、B 两点,且|AB|=6.求圆 C 的方程. 1 1 2 2 2 2) +1 =2 ,即m2+n2=3. m +n
2

?1+n=-2+m+1, 2 ? 2 解:设点 P 关于直线 y=x+1 的对称点为 C(m,n),则由? n-1 ?m+2· ? 1=-1
?m=0, ? ? ? ?n=-1.

?

故圆心 C 到直线 3x+4y-11=0 的距离 |-4-11| d= =3. 9+16 设圆心的半径为 r, |AB| 2 2 ∵|AB|=6,∴d2+( ) =r . 2 ∴9+9=r2,∴r2=18. 所以圆的方程为 x2+(y+1)2=18. 11. [2013· 江南十校联考]已知圆 C:x2+y2-4x-6y+12=0,点 A(3,5),求 (1)过点 A 的圆的切线方程; (2)O 点是坐标原点,连接 OA,OC,求△AOC 的面积 S. 解:(1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1. 当切线的斜率不存在时,有直线 x=3,C(2,3)到直线的距离为 1,满足条件. 当 k 存在时,设直线方程为 y-5=k(x-3), |-k+2| 即 y=kx+5-3k, 2 =1, k +1 3 解得 k= . 4

3 11 ∴直线方程为 x=3 或 y= x+ . 4 4 (2)|AO|= 9+25= 34, lAO:5x-3y=0, 点 C 到直线 OA 的距离 d= 1 1 S= d|AO|= . 2 2 12. [2013· 黄石模拟]已知圆 C:x2+y2+x-6y+m=0 与直线 l:x+2y-3=0. (1)若直线 l 与圆 C 没有公共点,求 m 的取值范围; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 P,Q 两点,O 为原点,且 OP⊥OQ,求实数 m 的值. 解:(1)将圆的方程配方, 37-4m 1 得(x+ )2+(y-3)2= . 2 4 37-4m 37 故有 >0,解得 m< . 4 4 将直线 l 的方程与圆 C 的方程联立得
? ?x+2y-3=0, ? 2 2 ?x +y +x-6y+m=0, ?

1 , 34

3-x 2 3-x 消去 y,得 x2+( ) +x-6× +m=0, 2 2 整理得 5x2+10x+4m-27=0.① ∵直线 l 与圆 C 没有公共点, ∴方程①无解,故有 Δ=102-4×5(4m-27)<0,解得 m>8. 37 ∴m 的取值范围是(8, ). 4 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 OP⊥OQ, 得 O P · Q =0,即 x1·2+y1·2=0.② O x y 由(1)及根与系数的关系得 4m-27 x1+x2=-2,x1·2= x .③ 5 又∵点 P,Q 在直线 x+2y-3=0 上, 3-x1 3-x2 1 ∴y1·2= y · = [9-3(x1+x2)+x1·2]. x 2 2 4 m+12 将③代入上式,得 y1·2= y .④ 5

→ →

将③④代入②得 x1·2+y1·2= x y

4m-27 m+12 + =0,解得 m=3. 5 5

代入方程①检验得 Δ>0 成立,∴m=3.


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