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北京市2015届2014年高三数学(文)模拟试题分类汇编:数列

数列
一、填空题 1. ( 2013 北 京 卷 文 ) 若 等 比 数 列 ?an ? 满 足 a2 ? a4 ? 20 , a3 ? a5 ? 40 , 则 公 比

q?

;前 n 项和 Sn ?



2. (2014 昌平第一学期期末) 若 m 是 2 和 8 的等比中项,则 m ? ________ 3. ( 2013-2014 朝阳第一学期期末)已知数列

?an ? 为等差数列,若 a1 ? a3 ? a5 ? 8 ,

a2 ? a4 ? a6 ? 20 ,则公差 d ?



4. (2013-2014 丰台第一学期期末)已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,前三项之和

S 3 ? 9 ,则 an ? ____.
5. (2013-2014 年 海 淀 区 第 一 学 期 期 末 试 题 ) 已 知 等 差 数 列 {an } 和 等 比 数 列 {bn } 满 足

a1 ? b1 ? ?2, a2 ? b2 ? 4 ,则满足 an ? bn 的 n 的所有取值构成的集合是______.
三、解答题 1. (2014 北京卷文)已知 ?an ? 是等差数列,满足 a1 ? 3 ,a4 ? 12 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4 ,

b4 ? 20 ,且 ?bn ? an ? 是等比数列.
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和.

2. (2013-2014 朝阳第一学期期末)已知数列 ?an ? 的通项 an ? ? n ? (Ⅰ)求 a1 , a2 ; (Ⅱ)判断数列 ?an ? 的增减性,并说明理由; (Ⅲ) 设 bn ? an?1 ? an ,求数列 ?

? ?

1? ? 9 ? ? ??? ? , n ? N . 2 ? ? 10 ?

n

? bn ?1 ? ? 的最大项和最小项. ? bn ?

1

3. (2013-2014 东城第一学期期末) 已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a5 =45, a2 +a6 =14. (I)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足:

b b1 b2 ? 2 ? …? n ? an ? 1(n ? N ? ) ,求{bn}的前 n 项和. 2 2 2n

4. ( 2014 房 山 一 模 ) 在 等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 7 , a3 ? 8 .令 bn = 列 ?bn ? 的 前

1 ,数 an an ?1

n 项 和 为 Tn . ( Ⅰ ) 求 数 列 ?an ? 的通项公式和 Tn ; ( Ⅱ ) 是 否 存 在 正 整 数 m , n ( 1 ? m ? n ), 使 得 T1 , Tm , Tn 成 等 比 数 列 ? 若
存在,求出所有 的 m , n 的值;若不存在,请说明理由.

5. ( 2014 昌 平 二 模 ) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,公差 d ? 2 ,且

S5 ? 4a3 ? 6 .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {

bn } 是首项为 1,公比为 c 的等比数列,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an

6. ( 2014 朝 阳 二 模 ) 已知函数 f ( x) 对任意 x, y ? R 都满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1, 且 f ( ) ? 0 ,数列 {an } 满足: an ? f (n) , n ? N* . (Ⅰ)求 f (0) 及 f (1) 的值; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若 bn ? ( ) n ? ( )
a

1 2

1 4

1 2

3? an

,试问数列 {bn } 是否存在最大项和最小项?若存在,求出最大

项和最小项;若不存在,请说明理由.

2

7. ( 2014 顺 义 二 模 ) 已知数列 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

?1? ? 是公差为 2 的等差数列,且 a1 ? 1 . ? an ?

(Ⅱ)设数列 ?an an?1? 的前 n 项和为 Tn . 证明:

1 1 ? Tn ? . 3 2

3

数列
一、填空题 1. 2 , 2
n ?1

?1

2. ?4

3. 4

4. 2 n -1

5. {1, 2, 4}

二、解答题 1. ⑴ 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由题意得 d ?
a4 ? a1 12 ? 3 ? ?3 3 3

2, 所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 3n ? n ? 1,

?.

设等比数列 bn ? a n 的公比为 q ,由题意得
q3 ? b4 ? a4 20 ? 12 ? ? 8 ,解得 q ? 2 . b1 ? a1 4?3

?

?

所以 bn ? an ? ?b1 ? a1 ? qn?1 ? 2n?1 . 从而 bn ? 3n ? 2n?1 ? n ? 1, 2,

? ?.

⑵ 由⑴知 bn ? 3n ? 2n?1 ? n ? 1, 2,

1 ? 2n 3 数列 ?3n? 的前 n 项和为 n ? n ? 1? ,数列 2n ?1 的前 n 项和为 1× ? 2n ? 1 . 2 1? 2 3 所以,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 n ? n ? 1? ? 2n ? 1 . 2

? ?

2. (Ⅰ) a1 ? 0.45 , a2 ? 1.215 .

……….2 分

(Ⅱ) an?1 ? an ? (n ? 0.5) ? 0.9n?1 ? (n ? 0.5) ? 0.9n

? 0.9n (0.9n ? 0.45 ? n ? 0.5) ? ?0.1? 0.9n ? (n ? 9.5) .
则当 1 ? n ? 9 时, an?1 ? an ? 0 ,则 1 ? n ? 10 时,数列 ?an ? 为递增数列, n ? N ;
?

当 n ? 10 时, an?1 ? an ? 0 ,数列 ?an ? 为递减数列, n ? N .
?

……….7 分
?

(Ⅲ)由上问可得, bn ? an?1 ? an ? ?0.1? 0.9n ? (n ? 9.5) , n ? N . 令 cn ?

bn ?1 ,即求数列 ?cn ? 的最大项和最小项. bn
1 bn?1 n ? 8.5 ). ? 0.9(1 ? ? 0.9 ? n ? 9.5 bn n ? 9.5
4

则 cn ?

则数列 ?cn ? 在 1 ? n ? 9 时递减,此时 c9 ? cn ? 0.9 ,即 ?0.9 ? cn ? 0.9 ; 数列 ?cn ? 在 n ? 10 时递减,此时 0.9 ? cn ? c10 ,即 0.9 ? cn ? 2.7 . 因此数列 ?cn ? 的最大项为 c10 ? 2.7 ,最小项为 c9 ? ?0.9 . 3. ……….….13 分

4. 解: (Ⅰ)设数列 {an} 的公差为 d ,由 ? 解得 a1 ? 2 , d ? 3 ∴ an ? 2 ? 3(n ?1) ? 3n ?1 ∵ bn ?

? a1 ? a2 ? 7 ? a1 ? a1 ? d ? 7 得? ? a1 ? 2d ? 8 ? a3 ? 8

-----------------3 分

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) an an?1 (3n ? 1)[3(n ? 1) ? 1] (3n ? 1)(3n ? 2) 3 3n ?1 3n ? 2

∴ Tn ? b1 ? b2 ?

? bn
1 1 1 ? ( ? ) 3 3n ? 1 3n ? 2
5

1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ( ? )? 3 2 5 3 5 8

1 1 1 ? ( ? ) 3 2 3n ? 2

?

n 2(3n ? 2) m n 1 , Tm ? , Tn ? 10 2(3m ? 2) 2(3n ? 2)

---------------6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, T1 ?

假设存在正整数 m 、 n (1 ? m ? n) ,使得 T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列,
2 则 Tm ? T1 ? Tn , 即 [

m 1 n ]2 ? ? 2(3m ? 2) 10 2(3n ? 2)

---------------2 分

经化简,得

m2 n ? 2 (3m ? 2) 5(3n ? 2)
2 2 2

∴ (3m ? 2) n ? 15m n ? 10m ∴ (?3m ? 6m ? 2)n ? 5m
2 2

(*)

---------------3 分 ---------------5 分

当 m ? 2 时, (*)式可化为 2n ? 20 ,所以 n ? 10 当 m ? 3 时, ?3m ? 6m ? 2 ? ?3(m ?1) ? 5 ? ?7 ? 0
2 2
2 又∵ 5m ? 0 , ∴ (*) 式可化为 n ?

5m2 ? 0 ,所以此时 n 无正整数解. ?3m2 ? 6m ? 2
---------------7 分

综上可知,存在满足条件的正整数 m 、 n ,此时 m ? 2 , n ? 10 .

5. 解: (Ⅰ)因为公差 d ? 2 ,且 S5 ? 4a3 ? 6 , 所以 5a1 ?

5? 4 ? 2 ? 4(a1 ? (3 ? 1) ? 2) ? 6 . 2

………2 分 ………4 分

所以 a1 ? 2 .
源:Zxxk.Com]

[来

所以等差数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n . (Ⅱ)因为数列 {

………5 分

bn } 是首项为 1,公比为 c 的等比数列, an

6

所以

bn ? c n ?1 . an

………6 分

所以 bn ? an ? cn?1 ? 2n ? cn?1 . (1)当 c ? 1 时, bn ? 2n . 所以 Tn ?

………7 分 ………8 分 ………9 分

n(2 ? 2n) ? n(n ? 1) ? n 2 ? n . 2

(2)当 c ? 1 时, Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? L ? bn?1 ? bn 因为 Tn ? 2 ? c0 ? 4 ? c1 ? 6 ? c2 ? L ? 2(n ?1) ? cn?2 ? 2n ? cn?1 ① ………9 分 ②………10 分

cTn ? 2 ? c1 ? 4 ? c2 ? 6 ? c3 ? L ? 2(n ?1) ? cn?1 ? 2n ? cn
①-②得

(1 ? c)Tn ? 2 ? c0 ? 2 ? c1 ? 2 ? c2 ? L ? 2 ? cn?1 ? 2n ? cn

………11 分

? 2(c0 ? c1 ? c2 ? L ? cn?1 ) ? 2n ? cn
2(1 ? c n ) ? ? 2n ? c n 1? c
………12 分

Tn ?

2(1 ? c n ) 2n ? c n ? (1 ? c)2 1? c

………13 分

[来

源:学科网]

6. 解: (Ⅰ)在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1中,取 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? ?1 , 在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1中,取 x ? y ?

1 ,得 f (1) ? 1 ,…………2 分 2

(Ⅱ)在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1中,令 x ? n , y ? 1 , 得 f (n ? 1) ? f (n) ? 2 ,即 an?1 ? an ? 2 . 所以 {an } 是等差数列,公差为 2,又首项 a1 ? f (1) ? 1 ,所以 an ? 2n ? 1, n ? N* . …………6 分 (Ⅲ) {bn } 存在最大项和最小项 令t ? ( )

1 2

an

1 1 1 1 ? ( ) 2 n ?1 ,则 bn ? t 2 ? t ? (t ? )2 ? , 2 8 16 256
7

显然 0 ? t ?

1 ,又因为 n ? N? , 2

所以当 t ?

1 3 . ,即 n ? 1 时, {bn } 的最大项为 b1 ? 2 16

当t ?

1 3 . …………13 分 ,即 n ? 3 时, {bn } 的最小项为 b3 ? ? 32 1024

7. 解: (Ⅰ)由已知 ?

?1? 1 1 ? ? (n ? 1) ? 2 ,又 a1 ? 1 ,? ? 是公差为 2 的等差数列, ? an a1 ? an ?

1 ? 2n ? 1 ————3 分 an
1 ————5 分 2n ? 1 1 1 1 1 1 an an ?1 ? ? ? ( ? ) ————7 分 (Ⅱ) 2n ? 1 2n ? 1 2 2 n ? 1 2 n ? 1

? an ?

? Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ???? ? anan?1
1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ??? ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 n ? ————9 分 2n ? 1 ?

Tn ?

1 1 1 ? , Tn 随 n 的增大而增大, ? Tn ? T1 ? ————11 分 3 2 2(2n ? 1) 1 1 1 ? ? ————12 分 2 2(2n ? 1) 2

又 Tn ?

?

1 1 ? Tn ? .————13 分 3 2

8