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2016_17学年高中数学2.3.1双曲线的标准方程学案新人教B版选修

2.3.1 双曲线的标准方程
1.了解双曲线的定义及焦距的概念. 2.了解双曲线的几何图形、标准方程.(重点) 3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程.(重点)

[基础·初探] 教材整理 1 双曲线的定义 阅读教材 P49 前 3 自然段,完成下列问题. 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的________等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨 迹叫做双曲线.这________叫做双曲线的焦点,________叫做双曲线的焦距. 【答案】 差的绝对值 两个定点 两焦点的距离

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)在双曲线标准方程中,a,b,c 之间的关系同椭圆中 a,b,c 之间的关系相同.( )

(2)点 A(1,0),B(-1,0),若|AC|-|BC|=2,则点 C 的轨迹是双曲线.( )

x2 y2 (3)在双曲线标准方程a2-b2=1

中,a>0,b>0,且

a≠b.(

)

【答案】 (1)× (2)× (3)×

教材整理 2 双曲线的标准方程

阅读教材 P49 第 4 自然段~P50“思考与讨论”,完成下列问题.

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

标准方程

______(a>0,b>0)

______(a>0,b>0)

焦点 a,b,c 的关系

F1________,

F1________,

F2________

F2________

c2=________

【答案】

x2 y2 a2-b2=1

y2 x2 a2-b2=1

(-c,0)

(c,0)

(0,-c)

(0,c)

a2+b2

x2

y2

若方程m2+1-m2-3=1

表示双曲线,则实数

m

满足(

)

A.m≠1 且 m≠-3

B.m>1

C.m<- 3或 m> 3

D.-3<m<1

【解析】

x2

y2

因为方程m2+1-m2-3=1

表示双曲线,而

m2+1>0

恒成立,所以

m2-3>0,

解得 m<- 3或 m> 3,故选 C.

【答案】 C [质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

疑问 2:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:________________________________________________________

解惑:________________________________________________________

[小组合作型] 双曲线定义的应用
x2 y2 已知双曲线的方程是16- 8 =1,点 P 在双曲线上,且到其中一个焦点 F1 的 距离为 10,点 N 是 PF1 的中点,求|ON|的大小(O 为坐标原点). 【精彩点拨】 利用中位线定理,结合双曲线定义解题. 【自主解答】 因为 ON 是△PF1F2 的中位线, 所以|ON|=12|PF2|. 因为||PF1|-|PF2||=8,|PF1|=10, 所以|PF2|=2 或|PF2|=18, 故|ON|=1 或|ON|=9.

在双曲线的定义中,注意三个关键点:①在平面内;②差的绝对值;③定值且定值小于 两定点间距.在这三个条件中,缺少一个条件,其动点轨迹也不是双曲线.

[再练一题] 1.已知双曲线 x2-y2=1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1⊥PF2, 则|PF1|+|PF2|的值为________.
【导学号:15460034】 【解析】 由双曲线的方程可知 a=1,c= 2, ∴||PF1|-|PF2||=2a=2, ∴|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=4, ∵PF1⊥PF2, ∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=8, ∴2|PF1||PF2|=4, ∴(|PF1|+|PF2|)2=8+4=12, ∴|PF1|+|PF2|=2 3. 【答案】 2 3
求双曲线的标准方程

根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)过点 P???3,145???,Q???-316,5???且焦点在坐标轴上; (2)c= 6,经过点(-5,2),焦点在 x 轴上.
【精彩点拨】 (1)所求双曲线的焦点位置不确定,怎样求解?(2)已知半焦距时,如何 设双曲线的标准方程?
x2 y2 【自主解答】 (1)设双曲线方程为 m + n =1(mn<0). ∵P,Q 两点在双曲线上,

??9m+21265n=1, ∴???295m6+2n5=1,

解得?????mn==-9,16,

y2 x2 ∴所求双曲线的方程为 9 -16=1.

(2)∵焦点在 x 轴上,c= 6,

x2

y2

∴设所求双曲线的方程为 λ

-6-λ

=1(0<λ

<6).

∵双曲线过点(-5,2),∴λ25-6-4λ =1, 解得 λ =5 或 λ =30(舍去), ∴所求双曲线的方程为x52-y2=1.

1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型,并设出标准方程; (2)求出 a2,b2 的值. 2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论, 特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为 Ax2+By2=1(AB<0)来求解.

[再练一题]

2.求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)一个焦点是(0,-6),经过点 A(-5,6);

(2)a=5,c=7.

【解】 (1)由已知 c=6,且焦点在 y 轴上,另一焦点为(0,6).

由双曲线定义得:2a=| -5- 2+ + 2- -5- 2+ - 2|=8.

∴a=4,∴b2=c2-a2=20.

y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为16-20=1.

(2)由已知 a=5,c=7,

∴b2=c2-a2=24,焦点不确定,

x2 y2

y2 x2

∴所求双曲线的标准方程为25-24=1 或25-24=1.

[探究共研型]

双曲线在实际问题中的应用

探究 1 如何求双曲线上的点到焦点的距离?

【提示】 若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已知该点到

另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a 求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数 应该舍去,且所求距离应该不小于 c-a).

探究 2 如何解决双曲线中与焦点三角形有关的问题?

【提示】 首先要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a 的应用;其次是要利用余弦定 理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧

的应用. 某地发生地震,为了援救灾民,救援队在如图 2?3?1 所示的 P 处收到了一批救
灾药品,现要把这批药品沿道路 PA,PB 运送到矩形灾民区 ABCD 中去,已知 PA=100 km, PB=150 km,BC=60 km,∠APB=60°,试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点 沿道路 PA 送药较近,而另一侧的点沿道路 PB 送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线, 并求出其方程.
图 2?3?1 【精彩点拨】 审题可得界线是使沿道路 PA 和 PB 送药一样远近的曲线,设 M 为界线上 任一点,则根据已知条件,得|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,据此设出双曲线的标准方程,用待 定系数法求解即可. 【自主解答】 灾民区 ABCD 中的点可分为三类,第一类沿道路 PA 送药较近,第二类沿 道路 PB 送药较近,第三类沿道路 PA 和 PB 送药一样近.依题意,知界线是第三类点的轨迹. 设 M 为界线上的任一点, 则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|, 即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50(定值). 因为|AB|= 1002+1502-2×100×150×cos 60°=50 7>50, 所以界线是以 A,B 为焦点的双曲线的右支的一部分.

如图所示,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系. 设所求双曲线的标准方程为xa22-yb22=1(a>0,b>0).

因为 a=25,c=25 7,所以 b2=c2-a2=3 750.

x2

y2

故双曲线的标准方程为625-3 750=1.

注意到点 C 的坐标为(25 7,60), 故 y 的最大值为 60,此时 x=35.

x2 故界线的曲线方程为625-3

y7250=1(25≤x≤35,0≤y≤60).

利用双曲线解决实际问题的基本步骤 1.建立适当的坐标系. 2.求出双曲线的标准方程. 3.根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题. 注意:(1)解答与双曲线有关的应用问题时,除要准确把握题意,了解一些实际问题的 相关概念,同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用. (2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.
[再练一题] 3.如图 2?3?2,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处, 河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 地的距离比到 B 地的距离远 2 km.现要在河岸 PQ 上选 一处 M 建码头,向 B,C 两地转运货物.经测算,修建公路的费用是 a 万元/km,求修建这两 条公路的总费用最低是多少.

图 2?3?2 【解】 以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 的中点为原点建立平面直角坐标系(图略).根据 题意,得 C(3, 3). 因为|MA|-|MB|=2<|AB|, 所以点 M 的轨迹是双曲线 x2-y32=1 的右支. 总费用为 a|MB|+a|MC|=a(|MB|+|MC|). 因为|MB|+|MC|=|MA|-2+|MC|≥|AC|-2=2 7-2,当 M,A,C 三点共线时,等号 成立, 所以总费用最低为(2 7-2)a 万元.
[构建·体系]

1.已知 m,n∈R,则“mn<0”是“方程xm2+yn2=1 表示双曲线”的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】

x2 y2 方程 m + n =1

表示双曲线,必有

mn<0;当

mn<0

x2 y2 时,方程 m + n =1

表示

双曲线.所以“mn<0”是“方程xm2+yn2=1 表示双曲线”的充要条件.

【答案】 C x2 y2
2.以椭圆 3 + 4 =1 的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是

()

A.x32-y2=1

B.y2-x32=1

x2 y2 C. 3 - 4 =1

y2 x2 D. 3 - 4 =1

x2 y2 【解析】 椭圆 3 + 4 =1 的焦点为 F1(0,1),F2(0,-1),长轴的端点 A1(0,2),A2(0,

-2),所以对于所求双曲线 a=1,c=2,b2=3,焦点在 y 轴上,双曲线的方程为 y2-x32=

1.

【答案】 B 3.设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线ym2-x92=1 的一个焦点,则 m=________.

【导学号:15460035】 【解析】 由点 F(0,5)可知该双曲线ym2-x92=1 的焦点落在 y 轴上,所以 m>0,且 m+9

=52,解得 m=16.

【答案】 16

4.若点 P 到点(0,-3)与到点(0,3)的距离之差为 2,则点 P 的轨迹方程为________.

【解析】 由题意并结合双曲线的定义,可知点 P 的轨迹方程为双曲线的上支,且 c= 3,2a=2,则 a=1,b2=9-1=8,所以点 P 的轨迹方程为 y2-x82=1(y≥1).
【答案】 y2-x82=1(y≥1) 5.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线过点(3,-4 2)和???94,5???;
x2 y2 (2)与双曲线16- 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2,2).
y2 x2 【 解 】 (1) 由 已 知 , 可 设 所 求 双 曲 线 方 程 为 a2 - b2 = 1(a > 0 , b > 0) , 则

??32 9 a2 -b2=1,
?25 81 ?? a2 -16b2=1,

解得?????ab22= =19,6, y2 x2
所以双曲线的方程为16- 9 =1. x2 y2
(2)设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0).

由题意知 c=2 5.

因为双曲线过点(3 2,2),

所以

22 4 a2 -b2=1.

又因为 a2+b2=(2 5)2, 所以 a2=12,b2=8.
x2 y2 故所求双曲线的方程为12- 8 =1.

我还有这些不足: (1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案:

(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________

学业分层测评

(建议用时:45 分钟)

[学业达标]

一、选择题

x2

y2

1.方程2+m-2-m=1

表示双曲线,则

m

的取值范围为(

)

A.-2<m<2

B.m>0

C.m≥0

D.|m|≥2

【解析】 ∵已知方程表示双曲线,∴(2+m)(2-m)>0.∴-2<m<2.

【答案】 A

2.设动点 P 到 A(-5,0)的距离与它到 B(5,0)距离的差等于 6,则 P 点的轨迹方程是

()

x2 y2 A. 9 -16=1

y2 x2 B. 9 -16=1

C.x92-1y62 =1(x≤-3)

D.x92-1y62 =1(x≥3)

【解析】 由题意知,轨迹应为以 A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由 c=5, a=3,知 b2=16,
∴P 点的轨迹方程为x92-1y62 =1(x≥3).

【答案】 D

3.已知双曲线的中心在原点,两个焦点 F1,F2 分别为( 5,0)和(- 5,0),点 P 在双

曲线上,且 PF1⊥PF2,△PF1F2 的面积为 1,则双曲线的方程为( )

x2 y2 A. 2 - 3 =1

x2 y2 B. 3 - 2 =1

C.x42-y2=1

D.x2-y42=1

【解析】 由???||PPFF11||·2+||PPFF2|2|=2=2, ? (|PF1|-|PF2|)2=16,

5 2,

即 2a=4,解得 a=2,又 c= 5,所以 b=1,故选 C.

【答案】 C x2 y2
4.已知椭圆方程 4 + 3 =1,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲

线的离心率为( )

A. 2

B. 3

C.2

D.3

【解析】 椭圆的焦点为(1,0),顶点为(2,0),即双曲线中 a=1,c=2,所以双曲线

的离心率为 e=ca=21=2.

【答案】 C

5.若 k>1,则关于 x,y 的方程(1-k)x2+y2=k2-1 所表示的曲线是( )

A.焦点在 x 轴上的椭圆

B.焦点在 y 轴上的椭圆

C.焦点在 y 轴上的双曲线

D.焦点在 x 轴上的双曲线

x2

y

【解析】 原方程化为标准方程为k2-1+k2-1=1,

1-k

∵k>1,∴1-k<0,k2-1>0, ∴此曲线表示焦点在 y 轴上的双曲线.

【答案】 C

二、填空题

6.设点

P

x2 y2 是双曲线 9 -16=1

上任意一点,F1,F2

分别是其左、右焦点,若|PF1|=10,

则|PF2|=________. 【解析】 由双曲线的标准方程得 a=3,b=4.

于是 c= a2+b2=5. (1)若点 P 在双曲线的左支上, 则|PF2|-|PF1|=2a=6,∴|PF2|=6+|PF1|=16; (2)若点 P 在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=6, ∴|PF2|=|PF1|-6=10-6=4. 综上,|PF2|=16 或 4. 【答案】 16 或 4

7.已知 F1(-3,0),F2(3,0),满足条件|PF1|-|PF2|=2m-1 的动点 P 的轨迹是双曲线 的一支,则 m 可以是下列数据中的________.(填序号)

【导学号:15460036】

①2;②-1;③4;④-3. x2 y2
【解析】 设双曲线的方程为a2-b2=1,则 c=3,∵2a<2c=6,∴|2m-1|<6,且|2m

-1|≠0,∴-52<m<72,且 m≠12,∴①②满足条件.

【答案】 ①② 8.已知△ABP 的顶点 A,B 分别为双曲线 C:1x62 -y92=1 的左、右焦点,顶点 P 在双曲线

C

|sin 上,则

A-sin sin P

B| 的值等于________.

【解析】

x2 y2 由方程16- 9 =1



a2=16,b2=9,即

a=4,c=

16+9=5.

在△ABP

中,利用正弦定理和双曲线的定义知,|sin

A-sin sin P

B|=||PB||- AB||PA||=22ca=

2×4 4 2×5=5.

【答案】

4 5

三、解答题

x2 y2 9.求与双曲线 4 - 2 =1

有相同焦点且过点

P(2,1)的双曲线的方程.

x2 y2 【解】 ∵双曲线 4 - 2 =1 的焦点在 x 轴上.

x2 y2 依题意,设所求双曲线为a2-b2=1(a>0,b>0).

又两曲线有相同的焦点, ∴a2+b2=c2=4+2=6.① 又点 P(2,1)在双曲线xa22-yb22=1 上,

41 ∴a2-b2=1.②

由①②联立得 a2=b2=3, x2 y2
故所求双曲线方程为 3 - 3 =1.

10.已知方程 kx2+y2=4,其中 k 为实数,对于不同范围的 k 值分别指出方程所表示的

曲线类型.

【解】 (1)当 k=0 时,y=±2,表示两条与 x 轴平行的直线;

(2)当 k=1 时,方程为 x2+y2=4,表示圆心在原点,半径为 2 的圆;

(3)当

k<0

y2 时,方程为 4 -

x2 4=1,表示焦点在

y

轴上的双曲线;

-k

(4)当

0<k<1

x2 y2 时,方程为 4 + 4 =1,表示焦点在

x

轴上的椭圆;

k

(5)当

k>1

x2 y2 时,方程为 4 + 4 =1,表示焦点在

y

轴上的椭圆.

k

[能力提升]

x2 y2 1.椭圆 4 +a2=1

x2 y2 与双曲线 a - 2 =1

有相同的焦点,则

a

的值为(

)

【导学号:15460037】

A.1

B. 2

C.2

D.3

【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在 x 轴上,且

a>0.∵4-a2=a+2,∴a2+a-2=0,

∴a=1 或 a=-2(舍去).故选 A.

【答案】 A

2.已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上,∠F1PF2=60°,

则|PF1|·|PF2|等于( )

A.2

B.4

C.6

D.8

【解析】 不妨设 P 是双曲线右支上一点,

在双曲线 x2-y2=1 中,a=1,b=1,c= 2,

则|PF1|-|PF2|=2a=2,|F1F2|=2 2, ∵|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2, ∴8=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·12, ∴8=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|, ∴8=4+|PF1||PF2|, ∴|PF1||PF2|=4.故选 B. 【答案】 B

x2 y2 3.已知双曲线16-25=1

的左焦点为

F,点

P

为双曲线右支上的一点,且

PF

与圆

x2+

y2=16 相切于点 N,M 为线段 PF 的中点,O 为坐标原点,则|MN|-|MO|=________.

【解析】 设 F′是双曲线的右焦点,连接 PF′(图略),因为 M,O 分别是 FP,FF′的

中点,所以|MO|=12|PF′|,又|FN|= |OF|2-|ON|2=5,由双曲线的定义知|PF|-|PF′|

=8,故|MN|-|MO|=|MF|-|FN|-12|PF′|=12(|PF|-|PF′|)-|FN|=12×8-5=-1.

【答案】 -1

x2 y2 4.已知双曲线16- 4 =1

的两焦点为

F1,F2.

→→ (1)若点 M 在双曲线上,且MF1·MF2=0,求点 M 到 x 轴的距离;
(2)若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点,且过点(3 2,2),求双曲线 C 的方程. 【解】 (1)不妨设 M 在双曲线的右支上,M 点到 x 轴的距离为 h, →→ MF1·MF2=0, 则 MF1⊥MF2, 设|MF1|=m,|MF2|=n, 由双曲线定义知,m-n=2a=8,① 又 m2+n2=(2c)2=80,② 由①②得 m·n=8, ∴12mn=4=12|F1F2|·h,

∴h=2

5

5 .

(2)设所求双曲线 C 的方程为

x2

y2

16-λ -4+λ =1(-4<λ <16),

由于双曲线 C 过点(3 2,2),

所以161-8λ -4+4λ =1,

解得 λ =4 或 λ =-14(舍去).

∴所求双曲线

C

x2 y2 的方程为12- 8 =1.