当前位置:首页 >> 数学 >>

江西省吉安一中2013届高三最后一模 数学文 Word版含答案

江西省吉安一中 2013 届高三高考模拟(最后一模) 数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: 在对 A,B 的独立检验中,统计量

?2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )
2.706 90% 3.841 95% 6.635 99%

?2 ?
A,B 有关百分数

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的。 1. 复数 (?1 ? 3i)i = A. ? 3 ? i B. 3 ? i C. ? 1? 3i D. 3 ? i

2. 设集合 U ? {1,2,3,4}, M ? {x ? U | x 2 ? 5 x ? p ? 0} ,若 CU M ? {2,3} ,则实数 p 的值 为 A. -4

B. 4

C. -6

D. 6

3. 若 a,b 是两个单位向量,则“ | 3a ? 4b |? 5 ”是“ a ? b ”的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 4. 函数 f ( x) ? A. (? ,??) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 的定义域是

ln(3x ? 1) 1? x

1 3

B. (? ,1)

1 3

C. [? ,1)

1 3

D. (??,? )

1 3

5. 已知一个算法的程序如图所示,若输出的结果为 3,则可输入的实数 x 值的个数是

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

6. 设等差数列 {a n } 的公差为 d,若 a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 , a6 , a7 的方差为 1,则 d 等于 A.

1 2

B. 1

C. ?

1 2

D. ±1

7. 在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=3,如果向该矩形内随机投一点 P,那么使得△ABP 与 △ADP 的面积都不小于 1 的概率为 A.

4 9

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 5

8. 已知抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点 F 到双曲线 C:

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 渐近线的距离为 a2 b2

4 5 ,点 P 是抛物线 y 2 ? 8 x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1 (0, c) 的距离与到直 5
线 x ? ?2 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为 A.

y2 x2 ? ?1 2 3
y2 ? x2 ? 1 4

B. y 2 ?

x2 ?1 4

C.

D.

y2 x2 ? ?1 3 2

9. 已知三棱锥 S ? ABC 的三视图如图所示,在原三棱锥中给出下列命题:

①BC⊥平面 SAC; ②平面 SBC⊥平面 SAB;

③平面 SBC⊥平面 SAC; ④三棱锥 S-ABC 的体积为 其中所有正确命题的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 某观察者站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况,小车从点 A 出发的运 动轨迹如下图所示。设观察者从点 A 开始随动点 P 变化的视角为 ? =∠AOP(>0),练车 时间为 t,则函数 ? ? f (t ) 的图象大致为

1 。 2

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分。 11. 已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A,B 两点,且 | AB |?

3 ,则

OA ? OB 的值是__________。

? x ? 0, ? y ?1 12. 已知 x、y 满足条件 ? x ? 2 y ? 2 ,则 u ? 的取值范围是_________。 x?2 ? y ? 0, ?
13. 在锐角△ABC 中, b ? 2, B ? _________。 14. 已知函数 f (x) 满足 f ( x) ? x 3 ? f ?( )a 2 ? x ? c (其中 f ?( ) 为 f ( fx ) 在点 x ? 的导数,c 为常数)。若函数 f (x) 的极小值小于 0,则 c 的取值范围是__________。 15. 已知 a 2 ? b 2 ? 2 ,若 a ? b ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | 对任意实数 a、b 恒成立,则 x 的取值范 围是________。 三、解答题。(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤。) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ? b sin 2 x ? c cos 2 x 的图像经过点 A(0,1)、 B ( (1)当 a ? 1时,求函数 f (x) 的单调增区间; (2)已知 x ? [0,

?
3

, sin 2 A ? sin(A ? C ) ? sin B ? 0 ,则△ABC 的面积为 2 3 2 3 2 处 3

?

4

,1) 。

?
4

] ,且 f (x) 的最大值为 2 2 ? 1 ,求 f (

?
24

) 的值。

17. (本小题满分 12 分) 在三棱锥 P-ABC 中,△PAC 和△PBC 是边长为 2 的等边三角形,AB=2,O、D 分别是 AB、PB 的中点。

(1)求证:OD∥平面 PAC; (2)求证:平面 PAB⊥平面 ABC。 18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两机床加工同一种零件,抽检得到它们加工后的零件尺寸 x(单位:cm)及个数 y 如下表。 零件尺寸 x 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 甲 3 7 8 9 3 零件个数 y 乙 7 4 4 4 a 由表中数据得 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? ?91 ? 100 x(1.01 ? x ? 1.05) ,其中合格零件

尺寸为 1.03 ? 0.01(cm) 。 (1)是否有 99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关? (2)从甲、乙加工后尺寸大于 1.03cm 的零件中各取 1 个,求恰好取到 2 个都是不合格零件 的概率。 19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? b ? 1 ,当 x ? [b, a] 时,函数 f (x) 的图像关于 y 轴对称, 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? f (n) 。 (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 bn ?

an , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,若 Tn ? m ,求 m 的取值范围。 2n

20. (本小题满分 13 分) 某电视生产厂家有 A、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动。若厂家投放 A、B 型号电视 机的价值分别为 p、q 万元,农民购买电视机获得的补贴分别为

1 p 、 m ln q(m ? 0) 万元。 10

已知厂家把总价值为 10 万元的 A、B 两种型号电视机投放市场,且 A、B 两型号的电视机 投放金额都不低于 1 万元。 (1)当 m ?

2 时,请你制定一个投放方案,使得在这次活动中农民得到的补贴最多,并求 5

出其最大值;(精确到 0.1,参考数据:ln4=1.4) (2)讨论农民得到的补贴随厂家投放 B 型号电视机金额的变化而变化的情况。 21.(本小题满分 14 分)已知半椭圆 C :

x2 y2 3 ,A、 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 的离心率为 2 a b 2

B 为它的左、 0) 右焦点, 过一定点 N(1, 任作两条互相垂直的直线与 C 分别交于点 P 和 Q, 且 | PA ? PB | 的最小值为 2。 (1)求半椭圆 C 的方程; NQ, (2) 是否存在直线 NP、 使得向量 PA ? PB 与 QA ? QB 互相垂直?若存在, 求出点 P、 Q 的横坐标,若不存在,请说明理由。

【试题答案】 一、选择题(10×5=50 分) 1-10 ABCBB CACBD 二、填空题(5×5=25 分) 11. ?

1 2

12. [ ,1]

1 4

13.

3

14. (??,1)

15. [ ,?? )

3 2

三、解答题(共 75 分)

? f (0) ? 1, ?a ? c ? 1, ? 16. 解:(1)由 ? ? 得: ? 即 b ? c ? 1 ? a,? f ( x) ? 2 (1 ? a) sin(2 x ? ?a ? b ? 1, ? f ( 4 ) ? 1, ?

?
4

)?a。

? a ? 1,?当 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?

3 ? (k ? Z ) ,即 k? ? ? ? x ? k? ? (k 2 8 8

? Z )时, f (x) 为增函数。
∴函数 f (x) 的单调增区间为 [k? ? ? , k? ? (2)? x ? [0,

3 8

?
8

]( k ? Z ) 。

6分

?
4

],? 2 x ?

?

? 3? ? 2 ? [ , ] ,即有 sin(2 x ? ) ? [ ,1] 。 4 4 4 4 2
2 (1 ? a) ? a ? 2 2 ? 1 ,得 a ? ?1;

当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1时, f ( x) max ? 当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, f ( x) max ?

2 (1 ? a) ?

2 ? a ? 2 2 ? 1 ,无解; 2

当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, f ( x) max ? a ? 2 2 ? 1 ,矛盾。 故 f ( x) ? 2 2 sin(2 x ?

?
4

) ? 1,? f (

?
24

)?2 2?

3 ? 1 ? 6 ? 1。 2

12 分

17. 证明:(1)O、D 分别为 AB、PB 的中点, ? OD // PA 。 又 PA ? 平面 PAC, OD ? 平面 PAC, 5分 ? OD // 平面 PAC。 (2)连结 OC,OP,

? AC ? CB ? 2 ,O 为 AB 中点,AB=2,

? OC ? AB, OC ? 1 ,同理 PO ? AB, PO ? 1 。
又 PC ?

2 ,? PC 2 ? OC 2 ? PO 2 ? 2 ,

∴∠POC=90° ,∴PO⊥OC。

∵PO⊥OC,PO⊥AB, AB ? OC ? O,? PO ⊥平面 ABC。 又? PO ? 平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 ABC。 18. (1) x ? 1.03, y ? 12 分

a ? 49 1分 , 5 a ? 49 2分 ? ?91 ? 100 ? 1.03 ,所以, a ? 11 , 由 y ? ?91 ? 100 x 知, 5 由于合格零件尺寸为 1.03 ? 0.01cm ,故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为:
合格零件数 甲 乙 合计 3分 所以, ? ?
2

不合格零件数 6 18 24

合计 30 30 60

24 12 36

n(ad ? bc) 2 60(24 ? 18 ? 6 ? 12) 2 ? ? 10 。 (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d ) 30 ? 30 ? 36 ? 24

5分

因 ? 2 ? 10 ? 6.635 ,故有 99%的把握认为加工的不合格零件与甲、乙有关联。 6 分 (2)尺寸大于 1.03cm 的零件中,甲有合格零件 9 个、不合格零件 3 个,乙有合格零件 4 7分 个、不合格零件 11 个。 设甲加工的合格零件为 A1 , A2 ,?, A9 ,甲加工的不合格零件为 A10 , A11 , A12 ,乙加工的合格 零件为 B1 , B2 , B3 , B4 ,乙加工的不合格零件为 B5 , B6 , ?, B15 。 因此,“从甲、乙中各取 1 个”的所有基本事件是:

( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ?, ( A1 , B15 ); ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ?, ( A2 , B15 );?; ( A12 , B1 ), ( A12 , B2 ), ?, ( A12 , B15 ) ,共 12×15=180 种情况。
9分

其中,“取到的 2 个都是不合格零件”的基本事件是:

( A10 , B5 ), ( A10 , B6 ), ?, ( A10 , B15 ); ( A11 , B5 ), ( A11 , B6 ), ?, ( A11 , B15 ); ( A12 , B5 ), ( A12 , B6 ), ?
, ( A12 , B15 ) ,共 3×11=33 种情况。 故所求概率为 11 分 12 分

33 11 ? 。 180 60

19. 解:(1)∵函数 f (x) 的图像关于 y 轴对称,

?a ? 1 ? 0 ,且 a ? b ? 0 ,解得 a ? 1, b ? ?1 ,
? S n ? n 2 ,即有 a n ? S n ? S n?1 ? 2n ? 1(n ? 2) 。

? a1 ? S1 ? 1 也满足,? an ? 2n ? 1 。

5分

2n ? 1 , 2n 1 3 5 2n ? 3 2 n ? 1 ? Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n , ① 2 2 2 2 2 1 1 3 2 n ? 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? ? n?1 , ② 2 2 2 2 2n 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 ①-②得 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2n ? 1 ? ? ( ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 ) ? n?1 2 2 2 2 2 2 3 1 2n ? 1 ? ? n?1 ? n?1 , 2 2 2 1 2n ? 1 2n ? 3 9分 ? Tn ? 3 ? n?2 ? n ? 3 ? 。 2 2 2n 2n ? 5 n ?1 g (n ? 1) 2n ? 5 1 1 1 2n ? 3 ? 2 ? ? ? ? + , n ? N? , 则 由 设 g ( n) ? n 2n ? 3 2(2n ? 3) 2 2n ? 3 2 g ( n) 2 2n 1 2n ? 3 ? 1 ,得 g(n ) ? (n ? N ? ) 随 n 的增大而减小,? g (n) ? g (1) , 5 2n 2?3 1 ? 。 即 Tn ? 3 ? 2 2 1 12 分 又 Tn ? m 恒成立,? m ? 。 2
(2)由(1)得 bn ? 20. 解: B 型号电视机的价值为 x 万元 (1 ? x ? 9) , A 型号电视机的价值为 (10 ? x) 万 设 则 元,农民得到的补贴为 y 万元。

1 1 (10 ? x) ? m ln x ? m ln x ? x ? 1 。 10 10 2 2 1 x ?1, (1)当 m ? 时, y ? ln x ? 5 5 10 2 1 y? ? ? ,由 y ? ? 0 ,得 x ? 4 。 5 x 10
由题意得, y ? 当 x ? [1,4) 时, y ? ? 0 ;当 x ? (4,9] 时, y ? ? 0 。 所以当 x ? 4 时,y 取最大值, y max ?

2分

2 ln 4 ? 0.4 ? 1 ? 1.2 。 5

即厂家分别投放 A、B 两型号电视机 6 万元和 4 万元时,农民得到的补贴最多,最多补贴约 1.2 万元。 4分 (2) y ? ?

m 1 ? ? 0 ,得 x ? 10m 。 x 10

①当 10 m ? 1 ,即 m ? 0.1时, y ? ? 0 , y在[1,9] 上是减函数, 农民得到的补贴随 B 型电视机投放金额 x 的增加而逐渐减少。 6分

②当 1 ? 10m ? 9 ,即 0.1 ? m ? 0.9 时, 当 x ? [1,10 m) 时, y ? ? 0 ,当 x ? (10 m,9] 时, y ? ? 0 。 当 x ? [1,10 m] 时,农民得到的补贴随 B 型电视机投放金额 x 的增加而逐渐增加; 当 x ? (10 m,9] 时,农民得到的补贴随 B 型电视机投放金额 x 的增加而逐渐减少。 10 分 ③当 10m ? 9 ,即 m ? 0.9 时,

y在[1,9] 上是增函数,农民得到的补贴随 B 型电视机投放金额 x 的增加而逐渐增加。
13 分 21. 解:(1)设 O 为坐标原点,则 PO 为△PAB 的中线,? PA ? PB ? 2 PO 2分

| PA ? PB |? 2 | PO | ,因此,当 P 在短轴上顶点时, | PA ? PB | 取得最小值 2
即 2b ? 2 ? b ? 1 4分

依题意得:

a2 ? b2 3 即 a2 ?1 3 ? ? ?a2 ? 4 a 2 a 2

∴半椭圆 C 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) 4

6分

(2)由题意知直线 NP,NQ 斜率均存在,设为 K NP ? k , K NQ ? ? 则此两直线方程分别为: LNP : y ? k ( x ? 1), LNQ : y ? ?

1 , k
7分

1 ( x ? 1) k

又 PA ? PB ? 2 PO, QA ? QB ? 2QO (O 为原点),因此,只要满足 OP ? OQ 即可 9分

故K

OP

? K OQ

k ( x P ? 1) ? ? xP

?

1 ( x Q ? 1) x ? X Q ? 1 10 分 k ? ?1 ,化简为: P xQ
, yQ ?
2 4 ? xQ

由半椭圆方程得: y ? P -1

2 4 ? xP

2

2

,则 K OP ? K OQ ?

2 4 ? xP

2xP

?

2 4 ? xQ



2 xQ

2 2 2 2 即 16 ? 4( x P ? xQ ) ? x P xQ ? ?4 x P xQ

12 分

令 x P xQ ? t ? 0 且 x P ? xQ ? 1 ,故 16 ? 4(1 ? 2t ) ? t 2 ? ?4t

? x P ? xQ ? 1 ? 2 6 化简为: 15t ? 8t ? 12 ? 0 解得 t ? ? 或 t ? (舍去) ? ? 2 3 5 ? x P xQ ? ? 3 ?
2

? 3 ? 33 ?xP ? ? 6 解之得: ? ? x ? 3 ? 33 ? Q 6 ?

? 3 ? 33 ?xP ? ? 6 或? ? x ? 3 ? 33 ? Q 6 ?
14 分

因此,直线 NP、NQ 能使得 PA ? PB 与 QA ? QB 互相垂直。


相关文章:
江西省吉安一中2013届高三最后一模 数学文 Word版含答案.doc
江西省吉安一中2013届高三最后一模 数学文 Word版含答案_数学_高中教育_
江西省吉安一中2013届高三最后一模 数学理 Word版含答案.doc
江西省吉安一中2013届高三最后一模 数学Word版含答案_英语_高中教育_教育专区。江西省吉安一中 2013 届高三高考模拟(最后一模) 数学试卷(理科)一、选择题(本大...
江西省吉安一中2013届高三最后一模数学文试题(WORD解析版).doc
江西省吉安一中2013届高三最后一模数学文试题(WORD解析版)_数学_高中教育
江西省吉安一中2013届高三最后一模 历史 Word版含答案.pdf
江西省吉安一中2013届高三最后一模 历史 Word版含答案_政史地_高中教育_
江西省吉安一中2013届高三最后一模 语文 Word版含答案.doc
江西省吉安一中2013届高三最后一模 语文 Word版含答案_英语_高中教育_教
江西省吉安一中2013届高三最后一模 生物 Word版含答案.doc
江西省吉安一中2013届高三最后一模 生物 Word版含答案_英语_高中教育_教
江西省吉安一中2013届高三最后一模 物理 Word版含答案.doc
江西省吉安一中2013届高三最后一模 物理 Word版含答案_理化生_高中教育_
2013年江西省吉安一中高三最后一模数学试卷.doc
2013 年江西省吉安一中高三最后一模数学试卷(文科)一、选择题:本大题共 10
江西省吉安一中2013届高三最后一模 英语 Word版含答案.doc
江西省吉安一中2013届高三最后一模 英语 Word版含答案_英语_高中教育_教
江西省吉安一中2013届高三最后一模 数学(理).doc
江西省吉安一中2013届高三最后一模 数学(理)_数学_高中教育_教育专区。江西省吉安一中 2013 届高三最后一模 数学(理)试题 一、选择题(本大题共 10 小题,每小...
江西省吉安一中2013届高三最后一模 数学(文).doc
江西省吉安一中2013届高三最后一模 数学(文)_数学_高中教育_教育专区。江西省吉安一中 2013 届高三最后一模 数学(文)试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非...
江西省吉安一中2013届高三最后一模数学理.doc
江西省吉安一中 2013 届高三高考模拟(最后一模) 数学试卷(理科)一、选择题
江西省吉安一中2013届高三下学期期中考试数学文试题 Wo....doc
江西省吉安一中2013届高三下学期期中考试数学文试题 Word版含答案_数学_高
【英语】江西省吉安一中2013届高三最后一模24.doc
江西省吉安一中 2013 届高三高考模拟(最后一模) 英语试卷第Ⅰ卷(共 115
江西省吉安一中2013届高三物理最后一模新人教版.doc
江西省吉安一中2013届高三物理最后一模新人教版 - 江西省吉安一中 2013 届高三高考模拟(最后一模) 物理试卷 二、选择题:本题共 8 小题,每小题 6 分,在每小...
江西省吉安一中2013届高三最后一模数学文试题(WORD解析版).doc
江西省吉安一中2013届高三最后一模数学文试题(WORD解析版) - 2013
江西省吉安一中2013届高三最后一模英语试题.doc
江西省吉安一中 2013 届高三高考模拟(最后一模) 英语试卷第Ⅰ卷(共 115
江西省吉安一中2013届高三最后一模数学文试题(WORD解析版).doc
江西省吉安一中2013届高三最后一模数学文试题(WORD解析版) - 小升初 中
江西省吉安一中2013届高三最后一模语文试题.doc
江西省吉安一中 2013 届高三高考模拟(最后一模) 语文试卷 第Ⅰ卷(共 36
江西省吉安一中2013届高三最后一模 数学(文).doc
江西省吉安一中2013届高三最后一模 数学(文)_数学_高中教育_教育专区。江西省吉安一中 2013 届高三最后一模 数学(文)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非...