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黑龙江省大庆铁人中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题(含解析)

拜年拜年 拜年拜 年拜年

大庆铁人中学高一学年下学期期中考试

数学试题
一、选择题(每小题只有一个选项正确,每小题 5 分,共 60 分。) 1. 下列说法正确的是( )

A. 若 ,则

B. 若

C. 若

D. 若

【答案】D

【解析】

【分析】

利用不等式的性质逐一判断每一个选项的真假.

【详解】对于选项 A,举例 a=-2,b=1,但是

,所以该选项错误;对于选项 B,举

例 a=-2,c=-1,b=-1,满足

,但是 a<b,所以该选项错误;对于选项 C,举例 a=-1,b=0,k=3,

显然 ,所以该选项错误;对于选项 D,由题得

,所以

.所以该选项正

确.

故答案为:D

【点睛】(1)本题主要考查不等式的性质,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能

力.(2)做类似的题目,可以利用不等式的性质证明,也可以举反例.

2. 等差数列 的前 n 项和为 ,若

()

A. 11 B. 9 C. 13 D. 15

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据已知计算出 ,再利用等差数列的通项求 .

【详解】由题得

.

故答案为:C 【点睛】(1)本题主要考查等差数列的前 n 项和,考查等差数列的通项,意在考查学生对这些 知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 等差数列的前 项和公式:

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一般已知 时,用公式

,已知 时,用公式

3. 已知四棱锥 P-ABCD(图 1)的三视图如图 2 所示, 的高,俯视图是直角梯形,则四棱锥 P-ABCD 的体积(

为正三角形,PA 为四棱锥 P-ABCD )

...........................

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】 先计算出 AB,PA 的长度,再求四棱锥 P-ABCD 的体积.

【详解】由题得

,

所以四棱锥 P-ABCD 的体积为



故答案为:B

【点睛】(1)本题主要考查棱锥体积的计算,意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)求边和

角,一般要解三角形.

4. 在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边.若

则 A=( )

A.

B.

C.

D.

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【答案】C 【解析】 【分析】 根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可得解. 【详解】sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∵b+a(sinC﹣cosC)=0,可得:sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0, ∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0, ∴cosAsinC+sinAsinC=0, ∵sinC≠0, ∴cosA=﹣sinA,∴tanA=﹣1,

∵ <A<π ,∴A= .

故答案为:C 【点睛】本题主要考查正弦定理和和角的正弦公式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和 基本计算能力. 5. 已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的侧 面积是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 【分析】 先求出圆柱的底面圆的半径,再求圆柱的侧面积.

【详解】由题得圆柱的底面圆的半径为



所以圆柱的侧面积为

.

故答案为:C 【点睛】(1)本题主要考查球的内接圆柱问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间 想象观察能力.(2)本题解题的关键是求出圆柱的底面圆的半径.

6. 设 x,y 满足约束条件

,则

的最小值是( )

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A. -15 B. -9 C. 9 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 先作出不等式组对应的可行域,再通过数形结合分析得到 【详解】不等式组对应的可行域如下图所示,

的最小值.

因为 z=2x+y,所以 y=-2x+z, 当直线经过点 A 时,直线的纵截距 z 最小,

解方程组

得 A(0,1),

所以 z 最小=2×0+1=1,

故答案为:D

【点睛】(1)本题主要考查线性规划,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推

理能力.(2) 解答线性规划时,要加强理解,不是纵截距最小, 就最小,要看函数的解析式,

如:

,直线的纵截距为 ,所以纵截距 最小时, 最大.

7. 一个直角梯形的一个底角为 ,下底长为上底长的 倍,这个梯形绕下底所在直线旋转一

周所形成的旋转体体积为 ,则该直角梯形的上底长为( )

A. 2 B.

C.

D.

【答案】A

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【解析】 【分析】 由题意可知,这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积.再根据题目中的条件求 解即可. 【详解】如图,梯形 ABCD,AB∥CD,∠A=90°,∠B=45°, 绕 AB 边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体. 设 CD=x,AB= ,AD= x.

∴旋转体体积 V=S 圆柱+S 圆锥=

.

故答案为:A

【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥体积,考查组合体的体积,意在考查

学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.

8. 已知等比数列 的各项都为正数,且 为 与 的等差中项,则

()

A. 14 B. 18 C. 16 D. 20

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等差中项的定义求出 a6 的值,结合对数的运算法则以及等比数列的运算性质进行化简即

可.

【详解】∵ 为 与 的等差中项,

∴2a6=

+ =8,

即 a6=4, 在正项等比数列中,log2a2+log2a3+…log2a10=log2(a2?a3…a9?a10)=log2(a6)9=9log24=9×2=18,

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故答案为:B 【点睛】(1)本题主要考查等差中项,考查等比数列的性质和对数的运算,意在考查学生对

这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 等比数列 中,如果

,则

,

特殊地,

时,则

, 是 的等比中项.

9. 已知函数

的图像恒过定点 A,若点 A 在直线

其中

,则 的最小值是( )

上,

A. 9 B. 4 C.

D. 8

【答案】C 【解析】 【分析】 先求出定点 A 的坐标,再代入直线的方程得到 m+n=2,再利用基本不等式求最小值. 【详解】由题得 A(-2,-2),所以-2m-2n+4=0,所以 m+n=2,

所以 =

.

当且仅当

时取到最小值 .

故答案为:C 【点睛】(1)本题主要考查对数函数的定点问题,考查基本不等式,意在考查学生对这些知识

的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 本题的解题关键是常量代换,即把 化成

,再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时,要注意“一

正二定三相等”,三个条件缺一不可.

10. 不等式

的解集为(-4,1),则不等式

的解集为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】 根据不等式 ax2+bx+c>0 的解集求得 a、b、c 的关系,代入不等式 b(x2+1)﹣a(x+3)+c>0 中,化简并求出该不等式的解集可得答案. 【详解】不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(﹣4,1),

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则不等式对应方程的实数根为﹣4 和 1,且 a<0;

由根与系数的关系知,

,∴



∴不等式 b(x2+1)﹣a(x+3)+c>0 化为 3a(x2+1)﹣a(x+3)﹣4a>0, 即 3(x2+1)﹣(x+3)﹣4<0, 解得﹣1<x< ,
∴该不等式的解集为(﹣1, ). 故答案为:B 【点睛】(1)本题主要考查含参的一元二次不等式的解法,意在考查学生对这些知识的掌握

水平和基本的计算能力.(2)解题的关键是由根与系数的关系知

,得到

.

11. 在锐角 中,A、B、C 分别为 三边 a,b,c 所对的角。若

,且

,则 a+c 的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 【分析】



,推导出 B=60°,由

推导出 b= 由此能求出 a+c 的取

值范围.

【详解】∵在锐角△ABC 中,A、B、C 分别为△ABC 三边 a,b,c 所对的角,

,

∴2sin(B+30°)=2,∴B=60°,

∴2sin2B+2 sinBcosB=3,







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解得 b= ,∴a+c> . 由余弦定理 b2=a2+c2﹣2accosB 即( )2=a2+c2﹣2bccos60° 即 3=(a+c)2﹣2ac﹣2ac ,即 3=(a+c)2﹣3ac

即 3ac=(a+c)2﹣3,即[(a+c)2﹣3]=3ac≤3[ (a+c)]2

令 t=a+c

即 t2﹣3=3ac≤3( )2,整理得 t2≤12

即 t 的最大值 2

即 a+c 的最大值为 2 ,

综上,a+c 的取值范围是



故答案为:D

【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查基本不等式,意在考查学生对

这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 使用基本不等式求最值时,要注意观察收集题

目中的数学信息(正数、定值等),然后变形,配凑出基本不等式的条件.

12. 定义

为 n 个正数

的“均倒数”。若已知数列 的前 n 项均倒数为

,又

,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】

由已知得

,可得 a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn,利用 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,

可得 an,可得

=2n,

.利用裂项求和方法即可得出.

【详解】由已知得



∴a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn, n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1,验证知当 n=1 时也成立, ∴an=4n﹣1,

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=2n,









故答案为:B 【点睛】(1)本题主要考查新定义,考查项和公式和裂项相消求和,意在考查学生对这些知识

的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 类似

(其中 是各项不为零的等差数列, 为

常数)的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分。)

13. 函数

的最小值为______

【答案】1 【解析】 【分析】

先把函数变形

,再利用基本不等式求函数的最小值.

【详解】由题得

,因为 x>-1,所以 x+1>0,

所以



当 x=0 时取到最小值 1. 故答案为:1 【点睛】(1)本题主要考查基本不等式,意在考查学生对该知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 使用基本不等式求最值时,要注意观察收集题目中的数学信息(正数、定值等),然后变形, 配凑出基本不等式的条件. 14. 如图为某几何体的三视图,则其体积为______

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【答案】3 【解析】 【分析】 判断三视图对应的几何体的形状.利用三视图的数据求解几何体的体积即可. 【详解】由题意可知几何体是以侧视图为底面的三棱柱, 三角形是底边长为 2,高为 1 的等腰三角形,棱柱的高为 3,

所以几何体的体积为:



故答案为:3

【点睛】(1)本题主要考查三视图和几何体体积的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平

和空间想象能力.(2) 通过三视图找几何体原图的方法有三种:直接法、拼凑法和模型法.

15. 下列说法正确的是___________

用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆;

圆台的任意两条母线延长后一定交于一点;

有一个面为多边形,其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥;

若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥不可能是正六棱锥;

用斜二测画法作出正三角形的直观图,则该直观图面积为原三角形面积的一半.

【答案】②④

【解析】

【分析】

利用对应的知识逐一判断每一个命题的真假.

【详解】 用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆或者一个点,所以该命题是假命题;

圆台的任意两条母线延长后一定交于一点,是真命题;

有一个面为多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,只有当侧棱相交于一点时,

才是棱锥,所以该命题是假命题;

若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥不可能是正六棱锥是真命题,因为当棱

锥是正六棱锥时,顶角的和为

,所以不可能;

用斜二测画法作出正三角形的直观图,则该直观图面积为原三角形面积的 ,所以该命题是

假命题. 故答案为:②④

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【点睛】本题主要考查空间几何体和斜二测画法,意在考查学生对这些知识的掌握水平.

16. 已知数列 中,

为数列 的前 n 项和,且当 时,有

成立,则

_________ 【答案】 【解析】 【分析】 运用数列的递推式:当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,代入化简,得 和通项公式,计算可得所求值.

,运用等差数列的定义

【详解】当 n≥2 时,有

成立,

即有 2an=anSn﹣Sn2, 即为 2Sn﹣2Sn﹣1=(Sn﹣Sn﹣1)Sn﹣Sn2, 化为 2Sn﹣2Sn﹣1=﹣Sn﹣1Sn,

可得



即{ }为首项为 1,公差为 的等差数列,

可得 =1+ (n﹣1)= ,

即 Sn= ,

S2018=



故答案为:

【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前 n 项和,考查递推数列通项的求法,意在考查

学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是得

,再构造等差

数列 . 三、解答题(共 70 分) 17. 如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分角 DAB, (1)求 BC;

,AC=7,AD=6,

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(2)求 . 【答案】(1) 【解析】 【分析】 (1) 先 求 得

(2)

, 再 利 用 正 弦 定 理 求 BC=5. ( 2 ) 先 求 得

,再求△ABC 的面积.

【详解】解:(1) 由已知



所以



在 中,由正弦定理,

,得

.

(2)因为

,所以

,

所以

,所以

【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形,考查差角的正弦公式和三角形的面积公式,意在 考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

18. 设函数

.

(1)若对于一切实数 x,

恒成立,求 m 的取值范围;

(2)对于

恒成立,求 m 的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】 【分析】 (1)对 m 分类讨论结合二次函数的图像和性质得到关于 m 的不等式,求得 m 的取值范围.(2)先

转化为

对于

恒成立,再求

的最小值,即得 m 的取值

范围. 【详解】(1)若 m=o,显然成立;



,所以

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(2)要使



恒成立,只需满足



恒成立;

因为

,所以

对于

恒成立;



,则



因为

,所以

,所以

【点睛】(1)本题主要考查二次函数的图像和性质,考查不等式的恒成立问题,意在考查学生 对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解法本题的关键有两点,其一是转化为

对于

恒成立,其二是求函数 g(x)的最小值.

19. 已知数列 是等差数列,且

,

.

(1)求数列 的通项公式;

(2)若

,求数列 的前 项和 .

【答案】(1)

(2)

【解析】 【分析】

(1)先根据已知求得 ,再求得

项和 .

即得

.(2)利用错位相减法求数列 的前

【详解】(1)设

,由已知得

所以

,所以

.

(2)



所以





错位相减得



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所以

.

【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法,考查错位相减求和,意在考查学生对这些知识

的掌握水平和基本计算能力.(2) 若数列

,其中 是等差数列, 是等比数列,则采

用错位相减法.

20. 已知 A、B、C 分别为 三边 a,b,c 所对的角,且

(1)求角 A;

(2)若 ,求 BC 边上中线 AM 的最大值。

【答案】(1)

(2)

【解析】 【分析】

(1)先利用余弦定理正弦定理化简



,即得 A 的值.(2)先

求得

,再利用基本不等式求 BC 边上中线 AM 的最大值.

【详解】(1)由已知,

所以

,由正弦定理,

所以

,所以

,则 ,因为

, ,所以

(2)因为 AM 为 BC 边上中线,所以在

中,





中,

因为

①②相加,得

,所以 ;因为

②; ,所以

所以

,所以

【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查基本不等式,意在考查学生对这

些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)第 2 问解题关键是利用余弦定理求得

.

21. 已知向量

,若

,且 A、B、C 分别为 三边

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a,b,c 所对的角. (1)求 tanB 的值; (2)若 sinA,sinB,sinC 成等比数列,且

,求

的周长.

【答案】(1)

(2)

【解析】 【分析】

(1)先化简

求得

,即得

.(2)先化简

得 ac=24,

再根据 sinA,sinB,sinC 成等比数列求得 b= ,再利用余弦定理求 a+c=10 即得周长的值.

【详解】(1)由

,所以



(2)

,所以

因为

成等差数列,所以



由余弦定理,





,所

所以周长为

【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查向量的数量积和和角的正弦,意

在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化的能力.(2)本题利用的是整体求法,分开

求 a,c 计算量较大.

22. 已知数列 , ,二次函数

的对称轴为 .

(1) 证明:数列 是等差数列,并求 的通项公式;

(2)设

,求证:

.

【答案】(1) 【解析】 【分析】

(2)见解析

(1)先由题得

,再利用等差数列的定义证明数列 是等差数列,并求 的

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通 项 公 式 .(2)

,先证明 ,再证明

. 因为 .

【详解】由已知得

,整理得



左右同时乘以 得,



所以 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,

所以

.

(2)



,k=1,2,…n;所以

又因为

, k=1,2,…n;

所以



所以 【点睛】(1)本题主要考查数列性质的证明和通项的求法,考查放缩法证明数列不等式,意在 考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第 2 问的关键有两点,其一是证明
,其二是证明

.

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