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上海市2014届高三高考数学系列模拟卷(5)


上海市高考数学模拟试卷(2014.1)
考生注意: 1. 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料, 所有解答必须写在答题纸上规定位置, 写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效; 2.答卷前,考生务必将学校、姓名、学号等相关信息在答题纸上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一、填空题(本大题满分 56 分,共 14 小题,每小题满分 4 分) 得分 评卷人 1.如图所示的韦恩图中, A 、 B 是非空集合,定 义 A * B 表示阴影部分集合 . 若 x, y ? R ,

A ? ?x y ? 2x ? x2

?, B ? ?y

y ? 3x , x ? 0

? ,则 A *B=

2. 已知扇形的圆心角为 150 ? ,面积为 3.若 f ( z ? i) ? z ? 3i ,则 | f (2i) ? 1|?

?
15

, 则此扇形的周长为____________
2

...、xn 的平均值为 x ,方差为 s 4.如果数据 x1、x2、

3x2 ? 5、 ...、 3xn ? 5 的方差为 ,则 3x1 ? 5、

5. 函数 y ? cos2 x ? sin x cos x 的最小正周期 T= ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? 6.已知平面上三点 A、B、C 满足 AB ? 3 , BC ? 4 , CA ? 5 ,则 AB ?BC ?BC CA ? ? CA AB ? 的值等于 7.以线段 AB: x ? y ? 2 ? 0(0 ? x ? 2) 为直径的圆的方程为 8.设二次函数 f ( x) ? x ? x ,当 x ?[n, n ? 1](n ? N *) 时, f ( x) 的所有整数值的个数为
2

(用 n 表示) 9.如图,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中, AC 与 BD 相交于 O , 剪去 ?AOB ,将剩余部分沿 OC 、 OD 折叠,使 OA 、 OB 重合,则 以 A、 (B) 、 C 、 D 、 O 为顶点的四面体的体积为

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂 a 2 b2 直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点,若△ABF2 为正三角形,则该 椭圆的焦距与长轴的比值为
10.已知点 F1、F2 分别是椭圆 11.设函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图象为曲线 C ,动点 A( x, y ) 在曲 线 C 上,过 A 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B( A、B 可以重 合) ,设线段 AB 的长为 f ( x) ,则函数 f ( x) 单调递增区间 12.设 ?an ? 是正项数列, 其前 n 项和 S n 满足:4Sn ? (an ? 1)(an ? 3) ,

y
A F1 B F2

x

第 10 题图

y

A
O

B

? 2

?

x

则 an =

a1 ? a2 ? ...an 的数列 ?bn ? 也 n 是等差数列,类似上述命题,相应的等比数列有性质:若 ?an ? 是等比数列 (an ? 0) ,则通项
13.已知等差数列有一性质:若 ?an ? 是等差数列,则通项为 bn ? 为 bn =____________的数列 ?bn ? 也是等比数列. 14.设 x, y 是正实数,且 x ? y ? 1 ,则

x2 y2 ? 的最小值是 x ? 2 y ?1

二、选择题(本大题满分 20 分,共 4 小题,每小题满分 5 分) 得分 评卷人 15.已知关于 x 的方程 | 3 ? 1 |? k ,则下列说法错误 的是 ..
x

A.当 k ? 1 时,方程的解的个数为 1 个 C.当 0 ? k ? 1时,方程的解的个数为 2 个

B.当 k ? 0 时,方程的解的个数为 1 个 D.当 k ? 1 时,方程的解的个数为 2 个

16.已知 ? 、 ? 为一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不等式中错误 的是 .. A. tan? tan ? ? 1 C. B. sin ? ? sin ? ? D. cos? ? cos ? ? 1

2

1 ? ?? tan(? ? ? ) ? tan 2 2

17. 如图, 垂直于 x 轴的直线 EF 经坐标原点 O 向右移动. 若 E 是 EF 与 x 轴的交点, 设 OE =x (0 ? x ? a ),EF 在移动过程中扫过平行四边形 OABC 的面积为 y (图中阴影部分),则函数 y ? f ( x) 的图象大致是 y y y y y
C A F B

O A

a x

O B

a x

O C

a

x

O D

a x O

E 第 17 题图

a x

18.“ lim an ? A, lim bn ? B ”是“ lim
n ?? n ??

an 存在”的 n ?? b n
B.必要不充分条件. D.既不充分也不必要条件.

A.充分不必要条件 C.充分条件.

三、解答题(本大题满分 74 分,共 5 小题) 19.(本题满分 12 分)第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分. 得分 评卷人 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点.

(1)证明: SO ? 平面 ABC (2)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值.

S

O

C

B

A

得分

评卷人

20.(本题满分 14 分)第(1)小题 7 分,第(2)小题 7 分. 在锐角 △ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 ..

(2a ? c) cos B ? b cos C .
(1)求角 B 的大小 (2)设 m ? (sin A,1), n ? (3,cos 2 A) ,试求 m ? n 的取值范围.

??

?

?? ?

得分

评卷人

21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. ax ? 1 设函数 f ? x ? ? ,其中 a ? R x ?1 (2)求 a 的取值范围,使 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上是单调减函数

(1)解不等式 f ? x ? ? ?1

得分

评卷人

22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 6 分
2 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,焦点为 F . ? M 的圆心在 x

轴的正半轴上,且与 y 轴相切.过原点 O 作倾斜角为 点 B ,且 AO ? OB ? 2 . (1)求 ? M 和抛物线 C 的方程;

? 的直线 n ,交 l 于点 A ,交 ? M 于另一 3

(2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ? PF 的最小值; (3)过 l 上的动点 Q 向 ? M 作切线,切点为 S , T ,求证:直线 ST 恒 过一个定点,并求该定点的坐标. l y

???? ? ??? ?

O A

B · FM

x

得分

评卷人

23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 3 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 9 分.

?,an . 对 i ? 1, 2,?, n ? 1 , 该数列前 i 项的最大值记 给定数列 a1,a2, ?,an 的最小值记为 Bi , di ? Ai ? Bi . 为 Ai ,后 n ? i 项 ai ?1,ai ? 2,
(1)设数列 ?an ? 为 3,4,7,1,写出 d1 , d 2 , d 3 的值;

?,an ( n ? 4 )是公比大于 1 的等比数列,且 a1 ? 0 .证明: d1 , d 2 ,..., d n ?1 是 (2)设 a1,a2,
等比数列 (3)设 d1 , d 2 ,..., d n ?1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1 ? 0 ,证明: a1 , a2 ,..., an ?1 是等差 数列

参考答案
1 4 7

?0,1?? ?2,?? ?
9s 2
( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

?
2 5 8

3

?

?

4 5

3 6 9

5
-25

2n ? 3

8 2 3

1 0 1 3 1 5 1 8
n

3 3
a1a2 ...an
D D

1 1 1 4 1 6

[ ,? ] 2 1 4
C

?

1 2

2n ? 1

1 7

A

19.(本题满分 12 分)第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分. (1)由题设 AB= AC= SB= SC ? SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角形,所以

OA ? OB ? OC ?

2 SA ,且 AO ? BC ,又 △SBC 为等腰三角形, 2
2 SA ,从而 OA2 ? SO2 ? SA2 . 所 2

SO ? BC ,且 SO ?

以 △SOA 为直角三角形, SO ? AO .又 AO ? BO ? O . 所以 SO ? 平面 ABC . (2)取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,由(1)知 SO ? OC,SA ? AC , 得 OM ? SC,AM ? SC .∴?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ? BC,AO ? SO ,SO ? BC ? O 得 AO ? 平面 SBC . 所以 AO ? OM ,又 AM ?

3 AO SA ,故 sin ?AMO ? ? 2 AM

2 6 ? .所以二面角 3 3

A ? SC ? B 的余弦值为

3 3

20.(本题满分 14 分)第(1)小题 7 分,第(2)小题 7 分. (1) 因为(2a-c)cosB=bcosC,所以(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, 即 2sinA cosB=sinCcosB+sinBcosC= sin(C+B)= sinA. 而 sinA>0,所以 cosB=

1 2
?

故 B=60°

(2) 因为 m ? (sin A,1), n ? (3,cos 2 A) ,所以 m ? n =3sinA+cos2A =3sinA+1-2sin2A=-2(sinA-

??

?? ?

3 2 17 )+ 4 8

?00 ? A ? 900 ? 00 ? A ? 900 ? 由 ? B ? 600 得 ? 0 , 0 0 ?00 ? C ? 900 ?0 ? 120 ? A ? 90 ?
所以 30 ? A ? 90 ,从而 sin A ? ?
0 0

?1 ? ,1? ?2 ?

故 m ? n 的取值范围是 ? 2,

?? ?

? 17 ? . ? 8? ?

21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. (1)不等式 f ? x ? ? ?1 即为

? a ? 1? x ax ? 1 ? ?1 ? ?0 x ?1 x ?1 当 a ? ?1 时,不等式解集为 ? ??, ?1? ? ? 0, ?? ?
当 a ? ?1 时,不等式解集为 ? ??, ?1? ? ? ?1, ?? ? 当 a ? ?1 时,不等式解集为 ? ?1,0?

(2)在 ? 0, ?? ? 上任取 x1 ? x2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

ax1 ? 1 ax2 ? 1 ? a ? 1?? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1?? x2 ? 1?

?

所以要使 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 递减即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 , 只要 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 故当 a ? ?1 时, f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上是单调减函数 22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 6 分

0 ? x1 ? x2

? x1 ? x2 ? 0, x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0

p 1 ? OA ? cos 60? ? 2 ? ? 1 ,即 p ? 2 ,所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x 2 2 OB 1 ? ? 2 ,所以 ? M 的方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 设 ? M 的半径为 r ,则 r ? ? 2 cos 60 ???? ? ??? ? (2)设 P( x, y)( x ? 0) ,则 PM ? PF ? (2 ? x, ? y )(1 ? x, ? y ) = ???? ? ??? ? x 2 ? 3x ? 2 ? y 2 ? x 2 ? x ? 2 所以当 x ? 0 时, PM ? PF 有最小值为 2
(1)因为

[来网]

(3)以点 Q 这圆心,QS 为半径作 ? Q ,则线段 ST 即为 ? Q 与 ? M 的公共弦
2 2 2 2 2 2 设点 Q(?1, t ) ,则 QS ? QM ? 4 ? t ? 5 ,所以 ? Q 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? t ) ? t ? 5

从而直线 QS 的方程为 3x ? ty ? 2 ? 0 (*)

2 ? 2 ?x ? 因为 ? 3 一定是方程(*)的解,所以直线 QS 恒过一个定点,且该定点坐标为 ( , 0) 3 ? ?y ?0
23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 3 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 9 分. (1) d1 ? 2, d 2 ? 3, d3 ? 6 .

?,an 是递增数列. (2)因为 a1 ? 0 ,公比 q ? 1 ,所以 a1,a2,
因此,对 i ? 1, 2,?, n ? 1 , Ai ? ai , Bi ? ai ?1 . 于是 对 i ? 1, 2,?, n ? 1 , di ? Ai ? Bi ? ai ? ai ?1 ? a1 (1 ? q)q 因此 di ? 0 且
i ?1

.

d i ?1 ? q ( i ? 1, 2,?, n ? 2 ),即 d1 , d 2 ,, d n ?1 是等比数列. di

(3)设 d 为 d1 , d 2 ,, d n ?1 的公差. 对 1 ? i ? n ? 2 ,因为 Bi ? Bi ?1 , d ? 0 ,所以 Ai ?1 ? Bi ?1 ? di ?1 ? Bi ? di ? d ? Bi ? di = Ai . 又因为 Ai ?1 ? max ? Ai , ai ?1? ,所以 ai ?1 ? Ai ?1 ? Ai ? ai .

?,an?1 是递增数列,因此 Ai ? ai ( i ? 1, 2,?, n ? 2 ). 从而 a1,a2,
又因为 B1 ? A1 ? d1 ? a1 ? d1 ? a1 ,所以 B1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 . 因此 an ? B1 . 所以 B1 ? B2 ? ? ? Bn ?1 ? an .

所以 ai ? Ai = Bi ? di ? an ? di . 因此对 i ? 1, 2,?, n ? 2 都有 ai ?1 ? ai ? di ?1 ? di ? d ,即 a1 , a2 ,..., an ?1 是等差数列.


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