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15届高三理科数学5月11日课后作业----综合训练2试题答案


成都七中 2015 届高三理科数学综合训练(二)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
2 1.集合 A ? ? x ? N x ≤ 6? , B ? x ? R x ? 3x ? 0 ,则 A

?

?

B?( A )
D. ? x 3 ≤ x ? 6?

A. ?3,4,5?

B. ?4,5,6?

C. ? x 3 ? x ≤ 6?

2. sin 3 的取值所在的范围是( B ) A. ?

? 2 ? ? 2 ,1? ? ? ?

B.? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

C.? ?

? ? ?

2 ? ,0? 2 ? ?

D. ? ?1, ?

? ? ?

2? ? 2 ? ?

3.已知直线 l1 : y ? kx ? 1 和直线 l2 : y ? mx ? m ,则“ k ? m ”是“ l1 //l2 ”的( B ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是( C ) A.

f ( x) ? sin 2 x

B. f ( x) ? x 3 ? x

C. f ( x) ? xe x

D. f ( x) ? ? x ? ln x

5.某四棱柱的三视图如图所示, 该几何体的各面中互 相垂直的面的对数是(D A. 2 B. 4 ) C. 6 D. 8

6.运行如右图所示的程序框图,则输出的结果 S 为 ( D ) A.1008 B.2015 C.1007 D. ?1007 7.将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为 a ,

b ,则直线 ax ? by ? 0 与圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 无公
共点的概率为 ( A. C)

1 7 5 2 B. C. D. 6 3 12 12 8. P 是 ?AOB 所在平面上一点,且在 AB 的垂直平分线上,若
C

A.

B. ?3

C.

D. 5
y

x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的右顶点为 A, O a 2 b2 为坐标原点,以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点

9.如图,已知双曲线 C :

Q O P A x

P, Q .若 ?PAQ ? 60? 且 OQ ? 3OP ,则 双曲线 C 的离心率 为

( B A.

)

2 3 3

B.

7 2

C.

39 6

D. 3 (第 9 题图)

10.函数 y ? f ( x) 图像上不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 处的切线的斜率分别是 k A , kB ,规定

? ( A, B) ?

| k A ? kB | 叫做曲线 y ? f ( x) 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”,给出以下命题: | AB |

①函数 y ? x3 ? x 2 ? 1 图像上两点 A 与 B 的横坐标分别为1, 2 ,则? ( A, B) ? 3; ②存在这样的函数,图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点 A 、 B 是抛物线 y ? x 2 ? 1 上不同的两点,则? ( A, B) ? 2 ; ④设曲线 y ? e x 上不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 ? 1 ,若 t ? ? ( A, B) ? 1 恒成 立,则实数 t 的取值范围是 (??,1) .以上正确命题的序号为( D) A. ①② B. ②③④ C. ③④ 解析:①错: A(1,1), B(2,5),| AB |? 17,| k A ? k B |? 7,?? ( A, B ) ? D. ②③

7 ? 3, 17
2 ? 2;

②对:如 y ? 1;③对: ? ( A, B) ?

| 2 xA ? 2 xB |
2 2 2 ( xA ? xB )2 ? ( xA ? xB )

?

1 ? ( x A ? xB ) 2

④错: ? ( A, B) ?

| e x1 ? e x2 | ( x1 ? x2 )2 ? (e x1 ? e x2 )2

?

| e x1 ? e x2 | 1 ? (e x1 ? e x2 ) 2



1 ? (e x1 ? e x2 )2 1 1 1 恒成立,故 t ? 1 . ? ? ? 1 ? 1, t ? x1 x2 x1 x2 2 ? ( A, B) |e ?e | (e ? e ) ? ( A, B)
1--10:ABBCD DCCBD 11.11 12. 4 2 13. 14. 15.

1 4

1 4

4 2015 ? 1 3

16. 已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? 2、最小正周期为

?
2

, x ? R ) ,且函数 f ( x ) 的最大值为

?
2

,并且函数 f ( x ) 的图像过点 (

?
24

,0).

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ?ABC 的角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,且 f ( 取值范围.

C 3 ) ? 2, c ? , 求 a ? 2b 的 4 2

易求得 A ? 2, ? ? 4, ? ? ? (2) 因 为

? f ( x ) ? 2sin(4 x ? ). 6 6 C ? 2? f ( ) ? 2 sin(C ? )? 2? C ? , 4 6 3

?

?













?a ? sin A a b c 3 2 ? ? ? ? ?1? ? ? a ? 2b ? sin A ? 2sin B ,又 sin A sin B sin C 2 3 ?b ? sin B

A? B ?? ?
a ? 2b ? (

2? ? ? ? ? ? ? A ? ? B ,则 a ? 2b ? 3 sin( B ? )(0 ? B ? ) ? 3 3 3 6 3

3 , 3). 2

17. 已知 f ( x) ? 2 sin

?
2

x ,集合 M = x f ? x ? ? 2, x ? 0 ,把 M 中的元素从小到大依次

?

?

排成一列,得到数列 ?an ? , n ? N ? . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记 bn ?

1 1 ,设数列 ?bn ?的前 n 项和为Tn ,求证 Tn ? . 2 an ?1 4

(1)? f ( x) ? 2

?

?
2

x ? k? ?

?
2

x ? 2k ? 1

k ?Z

……(3 分)

又? x ? 0 (2)? bn ?

? an ? 2n ? 1 (n ? N ? )

……(6 分) ……(7 分)

1 1 ? (n ? N ? ) 2 2 an ?1 (2n ? 1)

bn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ) 2 ? 2 (2n ? 1) 4n ? 4n ? 1 4 n ? 4 n 4 n n ? 1

……(10 分)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? Tn ? b1 ? ? ? ? ? bn ? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? )? ? 4 2 2 3 n n ? 1 4 4(n ? 1) 4
? Tn ?
1 4
得证 ……(12 分)

18.根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在 0 50 ,各类人群可正常活 动.某市环保局在 2014 年对该市进行了为期一年的空气质量检测,得到每天的空气质量指 数,从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间为? 0,10 ? ,?10, 20 ? ,

? 20,30? , ?30, 40? , ? 40,50? ,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图.
(Ⅰ)求 a 的值;并根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值; (Ⅱ)用这 50 个样本数据来估计全年的总体数据,将频率视为概率.如果空气质量指数 不超过 20,就认定空气质量为“最优等级”.从这一年的监测数据中随机抽取 2 天 的数值,其中达到“最优等级”的天数为 ? ,求 ? 的分布列,并估计一个月(30 天)

中空气质量能达到“最优等级”的天数. 解: (Ⅰ )由题意,得 (0.03 ? 0.032 ? a ? 0.01 ? 0.008) ?10 ? 1, 解得 a ? 0.02. …………………3 分 50 个 样 本 中 空 气 质 量 指 数 的 平 均 值 为
X ? 0.1? 5 ? 0.2 ?15 ? 0.32 ? 25 ? 0.3 ? 35 ? 0.08 ? 45 ? 25.6
第 18 题图

由样本估计总体, 可估计 2014 年这一年度空气质量指数的平均值约为 25.6 …………6 分 (Ⅱ)利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ?0, 20? 内为“最优等级”,且指数达到“最 优等级”的概率为 0.3,则 ?
0 P(? ? 0) ? C2 (0.3)0 ? (0.7)2 ?

B(2,0.3) . ? 的可能取值为 0,1,2,

49 42 9 1 2 (0.3) 2 ? , P(? ? 1) ? C2 (0.3) ? (0.7) ? , P(? ? 2) ? C2 100 100 100

? ? 的分布列为:

?
P

0
49 100

1
42 100

2
9 100

…………………8 分
E? ? 0 ? 49 42 9 ? 1? ? 2? ? 0.6 .(或者 E? ? 2 ? 0.3 ? 0.6 ), 100 100 100

…………………10 分

故一个月(30 天)中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为 30 ? 0.6 ? 18 天. … 12 分

? A于 D E , BF ? AD 于 F , 且 19. 如 图 , 梯 形 ABCD 中 , C E DE ? 2 ,现将 ?ABF , ?CDE 分别沿 BF 与 CE 翻折,使点 A 与 AF ? BF ? BC ? 1 , 点 D 重合,点 O 为 AC 的中点,设面 ABF 与面 CDE 相交于直线 l , l (1) (文理都做)求证: l / /CE ; A (2) (文理都做)求证: OF ? 面 ABE . (3)求 CE 与平面 ABE 所成的角的正弦值. A F E D O F E
B C B C

? ? CE / / 面ABF ? ? 解析: (Ⅰ) CE ? 面ABF ? ? CE ? 面ACE ? ? l / /CE . …………… 6 分 ? BF ? 面ABF ? ? 面ABF 面ACE ? l ? CE / / BF
(Ⅱ)

? AF ? BF ? 1? ?ABF为等腰直角三角形 ? ?? ?? AF ? BF ? ? AB ? AE ? 2, 取正方形BCEF 两对角线BE, CF的交点为G ? ?

AG ? BE ? BE ? 面ACF ? ?? ? ? 面ACF ? 面ABE, 交线为AG ① CF ? BE ? BE ? 面ABE ?
AF ? EF ? 1? ? AF ? FE ? ?? ? ? AF ? 面BCEF , AE ? 2 ? AF ? BF ? ?
在 Rt ?AFC 中,连接 OG ,得 OG / / AF 且OG ?

1 1 AF ? , 2 2

2 ? ? 2 ? 且 ? 2 ? ? Rt ?AFG中, tan ?FAG ? ? ?FGA ? ? ? ? 2 2 ? OF ? OC ? ?OFC ? ?OCF ? ?, tan ? ?
? ? OF ? AG ② 2 结合①②得,即 OF ? 面 ABE . OF 与 AG 交于点 H , (3)设正方形 BCEF 的中心为 G , 连结 OB ,由 (2) 知, 角 FBH 为 BF 2 与平面 ABE 所成的角.在三角形 COF 中,可求得 cos ?CFO ? ,在直角三角形 FHG 3 1 1 3 ? 中, FH ? FG cos ?CFO ? ,所以 sin ?FBH ? ,又 BF / /CE ,故 CE 与 3 3 3 3 平面 ABE 所成的角的正弦值为 3 x2 y2 1 3 20. 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e = ,且过点 M(1, ) 2 2 a b ? ?FGA ? ?OFG ?
(1 )求椭圆 C 的方程; (2 )椭圆 C 长轴两端点分别为 A 、B,点 P 为椭圆上异于 A 、B 的动点,定直线 x ? 4 与直线 PA、PB 分别交于 M 、N 两点,又 E(7 ,0),过 E、M 、N 三点的圆是否过 x 轴上不同于点 E 的定点?若经过,求出定点坐标;若不经过,请说明理由.

x2 y2 解: (1) ? ? 1 ………5 分 4 3
(2) 设 PA,PB 的斜率分别为 k1 , k 2 , p( x0 , y0 ) ,则 k1 k 2 ? ? 则 PA: y ? k1 ( x ? 2) ,则 M (4,6k1 ) PB: y ? k 2 ( x ? 2) ,则 N (4,2k 2 ) 又 k EM ? ?

3 ………7 分 4

2k 6k1 ? ?2k1 , k EN ? ? 2 3 3

k EM k EN ? ?1………10 分

设圆过定点 F(m,o),则

6k1 2k 2 ? ?1 ,则 m=1 或 m=7(舍) 4?m 4?m

故过点 E、M、N 三点的圆是以 MN 为直径的圆过点 F(1,0)………12 分 21.已知函数 f ( x) ? ln x ? mx 2 , g ( x) ? (Ⅰ)当 m ?

1 2 mx ? x, m ? R, 令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . 2

1 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间; 2 (Ⅱ)若关于 x 的不等式 F ( x) ? mx ? 1 恒成立,求整数 ..m 的最小值;

(Ⅲ) 若 m ? ?2 , 正实数 x1 , x2 满足 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 , 证明:x1 ? x2 ?
1 1 1 ? x2 21.解:⑴ f ( x) ? lnx ? x 2 , x ? 0, f ?( x) ? ? x ? ( x ? 0) 2 x x

5 ?1 . 2

……………………2 分

由 f ?( x) ? 0, 得 1 ? x2 ? 0, 又 x ? 0, 所以 0 ? x ? 1 .所以 f ( x) 的单增区间为 (0,1) . ………4 分
1 (2)方法一:令 G( x) ? F ( x) ? (mx ? 1) ? lnx ? mx2 ? (1 ? m) x ? 1, 2
1 ?mx 2 ? (1 ? m) x ? 1 ? mx ? (1 ? m) ? . x x 当 m ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以 G?( x) ? 0. 所以 G( x) 在 (0, ??) 上是递增函数,

所以 G?( x) ?

1 3 又因为 G(1) ? ln1 ? m ? 12 ? (1 ? m) ? 1 ? ? m ? 2 ? 0, 2 2 所以关于 x 的不等式 G( x) ? mx ? 1 不能恒成立.

………………………6 分

?mx 2 ? (1 ? m) x ? 1 ?? 当 m ? 0 时, G?( x) ? x

m( x ?

1 )( x ? 1) m . x

令 G?( x) ? 0, 得 x ?

1 1 1 ,所以当 x ? (0, ) 时, G?( x) ? 0; 当 x ? ( , ??) 时, G?( x) ? 0 . m m m

1 1 因此函数 G( x) 在 x ? (0, ) 是增函数,在 x ? ( , ??) 是减函数. m m 1 1 1 1 1 1 ? ln m. 故函数 G( x) 的最大值为 G( ) ? ln ? m ? ( )2 ? (1 ? m) ? ? 1 ? m m 2 m m 2m 1 1 1 ? ln m, 因为 h(1) ? ? 0, h(2) ? ? ln2 ? 0, 令 h(m) ? 2m 2 4 又因为 h(m) 在 m ? (0, ??) 上是减函数,所以当 m ? 2 时, h(m) ? 0 .

…………8 分

所以整数 m 的最小值为 2.

……………10 分

1 方法二:⑵由 F ( x) ? mx ? 1 恒成立,得 lnx ? mx 2 ? x ? mx ? 1 在 (0, ??) 上恒成立. 2

问题等价于 m ?

lnx ? x ? 1 在 (0, ??) 上恒成立. 1 2 x ?x 2

令 h( x ) ?

lnx ? x ? 1 ,只要 m ? h( x)max . 1 2 x ?x 2

……………………6 分

1 ( x ? 1)(? x ? lnx) 1 2 , 令 h?( x) ? 0, 得 ? x ? lnx ? 0 . 因为 h?( x) ? 1 2 2 ( x ? x) 2 2
1 1 1 设 ? ( x) ? ? x ? lnx ,因为 ? ?( x) ? ? ? ? 0 ,所以 ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, 2 2 x 1 不妨设 ? x ? lnx ? 0 的根为 x0 .当 x ? (0, x0 ) 时, h?( x) ? 0; 当 x ? ( x0 , ??) 时, h?( x) ? 0 . 2

所以 h( x) 在 x ? (0, x0 ) 上是增函数;在 x ? ( x0 , ??) 上是减函数.
1 1 ? x0 lnx0 ? x0 ? 1 1 2 ? h( x0 ) ? ? ? . 1 2 1 x0 ? x0 x0 (1 ? x0 ) x0 2 2

所以 h( x)max

…………………8 分

1 1 1 因为 ? ( ) ? ln2 ? ? 0,? (1) ? ? ? 0 2 4 2

所以

1 1 ? x0 ? 1. 此时 1 ? ? 2, g ( x)max ? (1, 2). 所以 m ? 2, 即整数 m 的最小值为 2 …… 10 分 x0 2

(3)当 m ? ?2 时, F ( x) ? lnx ? x2 ? x, x ? 0
2 由 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? x1 x2 ? 0, 即 lnx1 ? x12 ? x1 ? lnx2 ? x2 ? x2 ? x1 x2 ? 0

从而 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ln( x1 ? x2 ) 令 t ? x1 ? x2 , 则由 ? (t ) ? t ? ln t 得, ? ?(t ) ?
t ?1 t

……………………13 分

可知 ? ?(t ) 在区间(0,1)上单调递减,在区间 (1, ??) 上单调递增。所以? (t ) ? ? (1) ? 1, 所以 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1, 即 x1 ? x2 ?
5 ?1 成立. 2

………………………14 分


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