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3.4基本不等式 课件(人教A版必修5)


3.4

a+b 基本不等式: ab≤ 2 (一)

自学导引
1 . 重 要 不 等 式 : 对 于 任 意 实 数 a , b , 有 a2 + ≥ b2________2 ab,当且仅当________ a=b 时,等号成立.
a+b ≤ 2.基本不等式:如果 a>0,b>0,那么 ab________ 2 ,

a=b 时,等号成立. 当且仅当________

自主探究
1.能否用作差比较法证明基本不等式?
a+b ? a- b?2 【答案】可以.证明如下: 2 - ab= . 2 ∵a>0,b>0,∴( a- b)2≥0. a+b a+b ∴ 2 ≥ ab,即 ab≤ 2 .

2.基本不等式中的a,b可以是任意正值代数式吗?
【答案】可以.基本不等式强调 a,b 为正数,所以任意正 1 1 a+b 值的数、字母、代数式都可作为公式中的 a,b.如 2 ≥ 1 1 就是用a代替 a,b代替 b. 11 a· b,

预习测评
1.下列不等式的证明过程正确的是( b a A.若 a,b∈R,则a+b≥2 1 B.若 x>0,则 cos x+cos x≥2 4 C.若 x<0,则 x+x ≤2 4 x· x =4 ba a· b=2 1 cos x· cos x=2 )

?? b? ? a?? b a D.若 a,b∈R,且 ab<0,则a+b=-??-a?+?-b??≤-2 ? ? ?? ?? ? b?? a? ?- ??- ?=-2 ? a?? b?

【答案】D 【解析】A,B,C不符合应用前提“正数”.

2.在下列函数中,最小值是 2 的是( x 5 A.y=5+x (x∈R,x≠0) 1 B.y=lg x+lg x(1<x<10) C.y=3x+3 x(x∈R)


)

π? 1 ? D.y=sin x+sin x?0<x<2? ? ?

【答案】C

【解析】A,x 不一定为正数;B,等号成立时,x=10;D, π 等号成立时,x=2;C,等号成立时,x=0.

c-a 3 .已知 c>b>a ,则 ?c-b??b-a? 与 2 的大小 关系是 ________.

c-a 【答案】 ?c-b??b-a?≤ 2
【解析】∵c-b>0,b-a>0, ?c-b?+?b-a? c-a ∴ ?c-b??b-a?≤ = 2 , 2 a+c 当且仅当 b= 2 时取等号.

a b 4.不等式b+a>2 成立的等价条件是__________.

【答案】a,b同号且a≠b

b a b a 【解析】a,b均大于 0,∴a,b 同号.又a≠b,∴a2≠b2. ∴a≠b.

课堂讲练互动
要点阐释
1.基本不等式 a+b (1)基本不等式:如果 a,b∈R ,那么 2 ≥ ab,当且仅


当 a=b 时, 式中等号成立, 即两个正实数的算术平均值不小于 它的几何平均值.

证明本公式,我们可使用前面学过的作差法,因为 a>0, a+b a+b-2 ab ? a- b?2 a+b b>0 ,所以 2 - ab = = ≥0 ,即 2 2 2 ≥ ab,当且仅当 a= b时,等号成立.该公式中可以表述为 两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.把 a+b 2 称为算术平均值,对任意两个正实数 a,b,我们把 ab称 为几何平均值.

(2) 均值定理也称基本定理或基本不等式,它的应用范围 是正实数.

(3) 重要不等式 a2 + b2≥2ab(a , b∈R) 的另外证法:如上图 在正方形 ABCD 中,设 AM = a , MB = b ,则 S 正 方 形 ABCD≥4S 矩 形
AMA1Q( 当且仅当 AM = BM 时取等号 ) ,即 (a + b) 2≥4ab ,故 a2 +

b2≥2ab.

2.用基本不等式证明不等式 用基本不等式证明不等式,要分析不等式的左右结构特 征,通过拆(添)项创设一个应用基本不等式的条件.

典例剖析
题型一 不等式的证明

【例 1】 已知 a,b,c 都是实数. 1 求证:a +b +c ≥3(a+b+c)2≥ab+bc+ca.
2 2 2

思路点拨:利用a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc证 明.

证明:∵a,b,c∈R,∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+ a2≥2ac, 三式相加得 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca), 即 a2+b2+c2≥ab+bc+ca, 在①式两边同时加上(a2+b2+c2)得 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2, 1 即 a +b +c ≥3(a+b+c)2.
2 2 2

① ②



在②式两边同时加上 2(ab+bc+ca)得 (a+b+c)2≥3(ab+bc+ca), 1 即3(a+b+c)2≥ab+bc+ca. ∴由③④可得 1 a +b +c ≥3(a+b+c)2≥ab+bc+ca.
2 2 2



方法点评:利用不等式 a2+b2≥2ab 和 a+b≥2 ab(a>0, b>0)时,关键是对式子进行恰当的变形,合理构造“和式”与 “积式”的互化,必要时可多次应用.

1 1 1 1.已知 a,b,c∈R 且 a+b+c=1,求证:a+b+c ≥9.


?b a? 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ? + ? 证明:a+b+ c = a + b + = 3 + c ?a b? ? c a? ? c b? +?a+c ?+?b+c ?≥3+2+2+2=9.当且仅当 ? ? ? ?

1 a=b=c=3时取等

号.

题型二 用基本不等式求函数的值域 12 【例 2】 (1)若 x>0,求 f(x)= x +3x 的值域; 12 (2)若 x<0,求 f(x)= x +3x 的值域; (3)若 0<x<1,求 f(x)=x(1-x)的值域.
思路点拨: 用基本不等式求值域,注意 “ 一正二定三相 等”.

解:(1)∵x>0,由基本不等式得 12 f(x)= x +3x≥2 12 3x=2 36=12. x·

12 当且仅当 3x= x 时,即 x=2 时取等号,f(x)取得最小值为 12.∴f(x)的值域为[12,+∞).

(2)∵x<0,∴-x>0. 12 则-f(x)= +(-3x)≥2 -x 12 · ?-3x?=12. -x

12 即 f(x)≤-12,当且仅当 =-3x 时, -x 即 x=-2 时取等号,f(x)取得最大值-12. ∴函数 f(x)的值域为(-∞,-12].

(3)∵0<x<1,∴x>0,1-x>0.
?x+1-x? ? ?2 1 ∴f(x)=x(1-x)≤? ? =4, 2 ? ?

1 1 当且仅当 x=1-x,即 x=2时取等号,∴f(x)的最大值为4. 又因
? 1? f(x)=x(1-x)>0,∴f(x)的值域为?0,4?. ? ?

方法点评:利用基本不等式求连续函数的值域问题可转化 为求最值问题. 设 x, y 均为正数. (1)若 xy=p, 则由 x+y≥2 xy =2 p可知,当且仅当 x=y 时,x+y 取得最小值 2 p(积为定
2 ?x+y? S ?2 xy≤? ? 2 ? = 4 可知, ? ?

值,和有最小值).(2)若 x+y=S,则由

S2 当且仅当 x=y 时, xy 取得最大值 4 (和为定值, 积有最大值). 利 用基本不等式求最值,注意“一正二定三相等”三个条件.

2.若a>1,0<b<1,则logab+logba的取值范围是________. 【答案】(-∞,-2] 【解析】∵a>1,0<b<1,∴logab<0,logba<0. ∴-(logab+logba)=(-logab)+(-logba)≥2. ∴logab+logba≤-2.

误区解密 两次或多次应用基本不等式 应注意等号是否同时成立 【例 3】 值.
? 1?2 ? 1?2 a>0,b>0,a+b=4,求?a+a? +?b+b? ? ? ? ?

的最小

? 1? 2 ? 1? 2 ? 错解:?a+a? +?b+b? ≥? ?2 ? ? ? ? ? ? 1?2 ? 1?2 8,故?a+a? +?b+b? 的最小值是 ? ? ? ?

? 1? ?2 ? +?2 a· a? ? ?

1? ?2 =4+ 4 = b· b? ?

8.

错因分析:错误的原因是,在两次用到重要不等式当等号 成立时,有a=1和b=1,但在a+b=4的条件下,这两个式子 不会同时取等号(∵a=1时,b=3).排除错误的办法是看同时 取等号时,与题设是否有矛盾.

正解:∵a+b=4, ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab. 又 a2+b2≥2ab, ∴16-2ab≥2ab,即 ab≤4. ? 1 1?2 ?a+ +b+ ? ? ? ? ? b? 12 12 ? a ? ? ? ? ∴ a+a + b+b ≥ 2 ? ? ? ? ? 4 ?2 ? 4?2 ?4+ ? ?4+ ? ab 4? 25 ? ? ? = 2 ≥ 2 =2. ? 1?2 ? 1?2 25 ? ? ? ? 故 a+a + b+b 的最小值是 2 . ? ? ? ?

课堂总结
1. 在理解和应用定理时应特别注意定理成立的条件, 避免 因条件遗漏导致解题结果错误,例如 a+b≥2 ab就要求 a,b ∈R+,而等号成立的充要条件是 a=b,不等号成立的条件是 a≠b.

2.利用均值定理证明不等式时,往往需要拆(添)项,其目 的:一是创设一个应用基本不等式的条件(如正数、定值等); 二是创设一个使等号(或不等号)成立的条件. 3.利用均值定理求最值时,要同时满足“正、定、等”

三个条件.


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