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2018届山东省青岛市第一中学高三上学期单元检测文科数学试题及答案 精品

高三数学文科第一次月考题

一.选择题: 一.已知复数 z ? 1? i ( i 为虚数单位),则复数 z 在复平面上所对应
i
的点位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.函数 y ? x2 ? lg ?2x ?1? 的定义域是
2?x

A.

? ??

?

1 2

,

??

? ??

B.

? ??

?

1 2

,

2

? ??

C.

? ??

?

1 2

,

1 2

? ??

D.

? ??

??,

?

1 2

? ??

3.若集合 A ? ?0,4?, B ? ??1, ?a2 ,则“a=2? 是“A ?B=?4?? 的

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知 a ? (1, 2),b ? (x,1) ,若 a与a ? b 共线,则实数 x ?

A. ? 1
2

B. 1
2

C.一

5.下列有关命题的说法正确的是

D.2

A.命题“若 x2 ?1,则 x ? 1”的否命题为:“若 x2 ?1,则 x ?1”. B.“ x ? ?1”是“ x2 ?5x ? 6 ? 0”的必要不充分条件. C . 命 题 “ ?x ? R ,使 得 x2 ? x ?1? 0 ” 的 否 定 是 : “ ?x? R, 均 有
x2 ? x ?1? 0 ”. D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 6.在等差数列{an}中,有 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则此数列的前 7 项之和为

A.一 4

B.26

C. 28

D. 一 6

7.已知 ?ABC中, ?A ? 45? , AB ? 6 , BC ? 2 ,则 ?C ?

A. 30?

B. 60?

C.120?

D.60?

或120?

8.若函数 f (x) 为定义在 R 上的偶函数,最小正周期为 ? ,且当

x

?

???0,

? 2

? ??

时,

f

(x)

?

sin

x

,则

f

( 5? 3

)

的值为

A. ?1
2
D. 3
2

B. 1
2

C. ? 3
2

9. 若 a ? 0 ,则下列不等式成立的是

A.

2a

?

? ??

1 2

?a ??

?

?0.2?a

B.

?0.2?a

?

? ??

1 2

?a ??

?

2a

C.

? ??

1 2

?a ??

?

?0.2?a

?

2a

D.

2a

?

?0.2?a

?

? ??

1 2

?a ??



0.设函数

f

(x)

?

?x2 ?

? 4x ? 6, x ? 0 ,则不等式

f (x)

?

f

(1) 的解集是

?x ? 6, x ? 0

A . (?3,1) ? (2,??)

B. (?3,1) ? (3,??)

C. (?1,1) ? (3,??)

D. (??,?3) ? (1,3)

二.填空题:

一一.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an-2,则 a4=

.

一 2 . 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a,b,c , 若

sin B ? 2sin C, a2 ? b2 ? 3 bc ,则 A

.

2



3.设单位向量 e1, e2满足e1 ?e2

?

?

1 2

,



e1

?

2e2

?

.

一 4.已知等比数列{an}是递增数列, Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1, a3 是 方程 x2 ?10x ? 9 ? 0 的两根,则 S5 ? __________.

一 5.给出下列五个命题,其中是正确命题的有_______(填序号)

①函数 f (x) ? ln x ? 2 ? x 在区间 ?1,e? 上存在零点;

②若 f ?(x0 ) ? 0 ,则函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处取得极值;

③“

a

?1”是“函数

f

(x)

?

a ?ex 1 ? aex

在定义域上是奇函数”的充分不

必要条件;

④函数 y ? f (1? x) 的图像与函数 y ? f (1? x) 的图像关于 y 轴对称;

⑤满足条件 AC ? 3,?B ? 60? , AB ? 1的三角形 ?ABC 有两个.

三.解答题: 一 6.(本小题满分一 2 分)已知函数
f (x) ? 2cos2 ?x ? 2sin?x cos?x ?1(x ? R,? ? 0) 的最小正周期是 ? .
2
(一)求 ω 的值; (2)求函数 f (x) 的最大值,并且求使 f (x) 取得最大值的 x 的集合.

一 7.(本题满分一 2 分) 已知函数 f (x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? 1 , x ? R .
2
(Ⅰ) 求函数 f (x) 的最小值和最小正周期; (Ⅱ)已知 ?ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 c ? 3, f (C) ? 0 ,
若向量 m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值.

一 8.(本小题满分一 3 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且 S5 ? 45 , S6 ? 60 .
(一)求{an}的通项公式 an ;

(2)若数列{an} 满足

bn?1

?

bn

?

an

(n ?

N *)

,且

b1

?

3

,求{ 1
bn

}

的前

n



和Tn .

一 9.(本小题满分一 2 分) 设数列 ?an? 满足条件: a1 ? 8 , a2 ? 0 , a3 ? ?7 ,且数列?an?1 ? an? (n ? N*) 是等
差数列. (一)设 cn ? an?1 ? an ,求数列?cn? 的通项公式; (2)若 bn ? 2n ? cn , 求 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn .
20.(本小题满分一 3 分)
某工厂共有一 0 台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力
和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.根据经验知

道,若每台机器产生的次品数 P(万件)与每台机器的日产量
x?万件??4 ? x ?12? 之间满足关系: P ? 0.1x2 ?3.2ln x ? 3. 已知每生产一万
件合格的元件可以盈利 2 万元,但每产生一万件装次品将亏损 一万元.(利润=盈利—亏损)
(I)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润 y(万元)表 示为 x 的函数;
(II)当每台机器的日产量 x(万件)写为多少时所获得的利润 最大,最大利润为多少?
2 一.(本小题满分一 4 分) 设函数 f ?x? ? ?x ?1?ex ? kx2 (其中 k ?R ). (一) 当 k ?1时,求函数 f ?x? 的极值; (2)若在区间[2,3]上,函数 f (x) 的图像恒在 x 轴上方,求实数 k
的取值范围.

一一.一 2 一 一 2.泰安(一 3.) 一 3.泰安(一 5)

一 4.

一2一

一 5. ○1 ○3 ○4

一 6.解:(一)f(x)=一+cos 2ωx+sin 2ωx+一=sin 2ωx+

cos 2ωx+2 ? 2 sin(2?x ? ? ) ? 2
4
.由题设,函数 f(x)的最小正周期是π2 ,可得22πω=π2 ,所以 ω=

2.

(2)由(一)知, f (x) ?

2

sin(2? x

?

?) 4

?

2

.当

4x+π4 =π2 +2kπ(k∈Z),

即 x=π 16+kπ 2 (k∈Z)时,

函数 f(x)的最大值是 2+

2,此时

x

的集合为

? ?

x

?

|

x

?

? 16

?

k? 2

,

k

?

Z

? ? ?

.

一 7. 解:(Ⅰ) f (x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? 1 ? 3 sin 2x ? 1 cos 2x ?1

22

2

? sin(2x ? ? ) ?1 6

………………………………………

……………3 分

∴ f (x) 的 最 小 值 为 ?2 , 最 小 正 周 期 为

? . ………………………………5 分

(Ⅱ)∵ f (C) ? sin(2C ? ? ) ?1 ? 0 ,
6

即 sin(2C ? ? ) ? 1
6

∵ 0 ? C ? ? , ? ? ? 2C ? ? ? 11? ,∴ 2C ? ? ? ? ,∴ C ? ? .

6

66

62

3

……7



∵ m与n 共线,∴ sin B ? 2sin A ? 0 .

由正弦定理

a?b ,
sin A sin B

①…………………………………9 分

得 b ? 2a,



c ? 3 , 由 余 弦 定 理 , 得 9 ? a2 ? b2 ? 2ab cos ? ,

3

②……………………一 0 分

















?a ??b

? ?

2

3 3



…………………………………………一 2 分

一 8.解:(一) a6 ? S6 ? S5 ? 15 ,

由 S6

?

(a1

?

a6 ) ? 6 2

?

60

解得 a1 ? 5

又 d ? a6 ? a1 ? 2
6 ?1

所以 an ? 2n ? 3

(2) n ? 2时 , b2 ? b1 ? a1

b3 ? b2 ? a2

b4 ? b3 ? a3
……

bn ? bn?1 ? an?1

叠加得 bn

? b1

?

(a1

?

an?1 )(n 2

? 1)

?

(5 ?

2n

? 1)(n 2

? 1)

所以 bn ? n2 ? 2n , 第 2 页(共 4 页)

n ?1时 b1 ? 3 符合上式,所以 bn ? n2 ? 2n
1 ? 1 ? 1[1 ? 1 ] bn n2 ? 2n 2 n n ? 2

11 1 1 1 1 1

11

Tn

?

[? 21

3

?

2

?

4

?

3

?

5

? ..... ?

n

?

] n?2

=

一 9.解:(一)??an?1 ?an?为等差数列, cn ? an?1 ? an ,??cn?为等差数列, 首项 c1 ? a2 ? a1 ? ?8 , c2 ? a3 ? a2 ? ?7 , 公差 d ? c2 ? c1 ? ?7 ? (?8) ? 1 ,

?cn ? c1 ? (n ?1)d ? ?8 ? (n ?1) ?1 ? n ? 9 .

…………5 分

(2) bn ? (n ? 9) ? 2n ,

Sn ? (?8) ? 21 ? (?7) ? 22 ? ? ? (n ? 9) ? 2n ,

2Sn ? (?8) ? 22 ? (?7) ? 23 ? ? ? (n , ? 9) ? 2n?1 相减得: ? Sn ? (?8) ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? (n ? , 9) ? 2n?1

, ? Sn ? (?9) ? 21 ? [21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ] ? (n ? 9) ? 2n?1

? Sn ? 20 ? (n . ? 10) ? 2n?1 20.泰安

…………一 2 分

2 一.解:(Ⅰ) 当 k ?1时,
? ? f ? x? ? ? x ?1?ex ? x2 , f ?? x? ? ex ? ? x ?1?ex ? 2x ? xex ? 2x ? x ex ? 2
令 f ?? x? ? 0,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ??x?, f ?x? 的变化如下表:

x

? ??, 0?

0

?0,ln 2?

ln 2

?ln 2,???

f ??x?

?

0

0

?





f ?x?









由表可知, f ? x?极大 ? f (0) ? ?1 , f ? x?极小 ? f (ln 2) ? ?ln2 2 ? 2ln 2 ? 2

(Ⅱ)若在区间 [2,3] 上函数 f (x) 的图像恒在 x 轴的上方,等价于

f (x) ? 0 对于 ?x ?[2,3]恒成立,



f ?x? ? ?x ?1?ex ? kx2 ? 0 , 所 以

kx2 ? ? x ?1?ex







? x ?1? ex
k ? x2

,令

g(x)

?

? x ?1? ex
x2



则 k ? g(x)min

则 g?(x)

?

xex

? x2

? (x ?1)ex x4

?2x

?第(3x

2页?(2x共? x3

42)页ex )?

[(

x

?

1)2 x3

?

1]e

x

?0,

所以

g(x)

?

?x

?1? ex
x2

在 [2, 3] 上单调递增,

所以

g ( x)min

?

g (2)

?

e2 4

,所以 k

?

e2 4

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