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高一数学教案:苏教版高一数学向量的数量积3


2.4 向量的数量积
一、课题:向量的数量积
二、教学目标:要求学生掌握平面向量数量积的运算律,明确向量垂直的充要条件。 三、教学重、难点:向量数量积的运算律和运算律的理解; 四、教学过程: (一)复习: 1.平面向量数量积(内积)的定义及其几何意义、性质; 2.判断下列各题正确与否: ①若 a ? 0 ,则对任一向量 b ,有 a ? b ? 0 ; ②若 a ? 0 ,则对任一非零向量 b ,有 a ? b ? 0 ; ③若 a ? 0 , a ? b ? 0 ,则 b ? 0 ; ④若 a ? b ? 0 ,则 a, b 至少有一个为零向量; ⑤若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立; ⑥对任意向量 a ,有 a ?| a | . (二)新课讲解:
2 2

( √ ) ( × ) ( × ) ( × ) ( × ) ( √ )

1.交换律: a ? b ? b ? a 证:设 a, b 夹角为 ? ,则 a ? b ?| a | ? | b | ? cos? , b ? a ?| b | ? | a | ? cos? ∴ a ?b ? b? a . 2. (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b) 证:若 ? ? 0 , (? a) ? b ? ? | a || b | cos? ,

?(a ? b) ? ? | a || b | cos? , a ? (?b) ? ? | a || b | cos? , 若 ? ? 0 , (? a) ? b ?| ? a || b | cos(? ?? ) ? ?? | a || b | (? cos? ) ? ? | a || b | cos? , ?(a ? b) ? ? | a || b | cos? , a ? (?b) ?| a || ?b | cos(? ?? ) ? ?? | a || b | (? cos? ) ? ? | a || b | cos? .
3. (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c . 在平面内取一点 O ,作 OA ? a , AB ? b , OC ? c , ∵ a ? b (即 OB )在 c 方向上的投影等于 a, b 在 c 方向上的投影和, 即: | a ? b | cos? ?| a | cos?1 ? | b | cos?2 ∴ | c || a ? b | cos? ?| c || a | cos?1 ? | c || b | cos? 2 , ∴ c ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b 4. 例题分析: 即: (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c . O ?1 A ?2 B

b
a
? A
1

c

B
1

C

例 1 已知 a, b 都是非零向量,且 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直,a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角。

解:由题意可得: (a ? 3b) ? (7a ? 5b) ? 0 ? 7a ? 16a ? b ?15b ? 0

2

2

① ②

(a ? 4b) ? (7a ? 2b) ? 0 ? 7a ? 30a ? b ? 8b ? 0
两式相减得: 2 ? a ? b ? b , 代入①或②得: a ? b , 设 a, b 的夹角为 ? ,则 cos? ?
2 2 2

2

2

a ?b b2 1 ? ? 2 | a || b | 2 | b | 2

∴ ? ? 60 ,即 a 与 b 的夹角为 60 . 例 2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。 ABCD, AB ? DC , AD ? BC , AC ? AB ? AD , D 2 2 2 2 ∴ | AC | ?| AB ? AD | ? AB ? AD ? 2 AB ? AD , 证明:如图: 而 BD ? AB ? AD ,
2 2 ∴ | BD | ?| AB ? AD | ? AB ? AD ? 2 AB ? AD , 2 2

C

所以, | AC | + | BD | = 2 AB ? 2 AD = | AB | ? | BC | ? | DC | ? | AD |2 .
2 2

2

2

A
2 2

B

2

例 3 a, b 为非零向量,当 a ? tb (t ? R) 的模取最小值时, ①求 t 的值;
2 2 2

②求证: b 与 a ? tb 垂直。

解:① | a ? tb | ?| a | ?t | b |2 ?2t ? a ? b , ∴当 t ? ?

2a ? b a ?b ? ? 2 时, | a ? tb | 最小; 2 2|b| b a ?b b
2

②∵ b ? (a ? tb) ? a ? b ? ∴ b 与 a ? tb 垂直。

?b ? 0,

2

例 4 如图, AD, BE , CF 是 ?ABC 的三条高,求证: AD, BE , CF 相交于一点。 证:设 BE, CF 交于一点 H , AB ? a, AC ? b, AH ? h , 则 BH ? h ? a, CH ? h ? b, BC ? b ? a ∵ BH ? AC, CH ? AB A E F H C

? ?( h ? a ) ? b ? 0 ∴? 得 (h ? a) ? b ? (h ? b) ? a , ? ?( h ? b) ? a ? 0
即 h(b ? a) ? 0 , ∴ AH ? BC , B 又∵点 D 在 AH 的延长线上,∴ AD, BE , CF 相交于一点。 五、小结:数量积的运算律和垂直充要条件的应用。 六、作业: 课本 P 119 习题 5.6 第 2,4 题。

D

补充:1.向量 a, b 的模分别为 2,1 , a, b 的夹角为 30 ,求 3 a ? b 的模;

2.设 a, b 是两个不相等的非零向量,且 | a |?| b |?| a ? b | ,求 a 与 a ? b 的夹角。 3.设 a ? b ? 2i ? 8 j, a ? b ? ?8i ? 16 j , i, j 是相互垂直的单位向量,求 a ? b .


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