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重庆市南川中学高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

流过多少 汗,流 下多少 泪,只 为高考 这一天 ;付出 多少时 间,付 出多少 努力, 只为高 考这一 刻;高 考这条 路就算 布满荆 棘也要 披荆而 过,请 相信天 道酬勤 ,请相 信付出 一定会 有回报 ,对自 己充满 信心, 加油, 祝高考 成功顺 利。
2016-2017 学年重庆市南川中学高二(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的). 1.直线 x﹣y+1=0 的倾斜角为( )
A. B. C. D. 2.命题:“? x≥0,x2≥0”的否定是( ) A.? x<0,x2<0 B.? x≥0,x2<0 C.? x<0,x2<0 D.? x≥0,x2<0 3.若 p 是假命题,q 是假命题,则( ) A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题 C.¬p 是假命题 D.¬q 是假命题 4.已知两平行直线 3x﹣4y+1=0 和 3x﹣4y﹣4=0,则两直线的距离为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.若三点 A(﹣1,0),B(2,3),C(0,m)共线,则 m 的值为( ) A.1 B.﹣1 C.±1 D.2 6.已知命题 p:x=1 且 y=1,命题 q:x+y=2,则命题 p 是命题 q 的( )条件. A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3? l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3? l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3? l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面 8.若已知 A(1,1,1),B(﹣3,﹣3,﹣3),则线段 AB 的长为( ) A.4 B.2 C.4 D.3

9.已知 F1、F2 是椭圆

的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A、B 两点,

在△AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 10.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的体积为( )

A.36π B.34π C.32π D.30π 11.圆 x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心到直线 ax+y﹣1=0 的距离为 1,则 a=( ) A.﹣ B.﹣ C. D.2 12.已知圆 M:(x+ )2+y2=36,定点 N( ,0),点 P 为圆 M 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在线段 MP 上,且满足 =2 , ? =0,则点 G 的轨迹方 程为( )
A. + =1 B. + =1
C. ﹣ =1 D. ﹣ =1

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的

相应位置)

13.命题“若 x2<2,则

”的逆否命题是 .

14.已知直线过点(2,0)与(0,﹣3),则该直线的方程为 .

15.已知正三棱锥 V﹣ABC 的正视图、俯视图如图所示,它的侧棱 VA=2,底面的

边 AC=2 ,则由该三棱锥的表面积为 .

16.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 为椭圆 E: + =1 (a>b>0) 的左顶点,B,C 在椭圆 E 上,若四边形 OABC 为平行四边形,且∠OAB=30°,则

椭圆 E 的离心率等于 .
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知直线的方程为 3x﹣4y+2=0. (1)求过点(﹣2,2)且与直线 l 垂直的直线方程; (2)求直线 x﹣y﹣1=0 与 2x+y﹣2=0 的交点,且求这个点到直线的距离. 18.如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直. (1)证明:BC∥平面 PDA; (2)证明:BC⊥PD.
19.命题 p:A={x||x﹣a|≤4},命题 q:B={x|(x﹣2)(x﹣3)≤0} (1)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. (2)若 q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 20.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是∠DAB=60°且边长为 a 的菱形, 侧面 PAD 是等边三角形,且平面 PAD⊥底面 ABCD,G 为 AD 的中点. (1)求证:BG⊥平面 PAD; (2)求 点 G 到平面 PAB 的距离.
21.已知圆 C 的圆心坐标(1,1),直线 l:x+y=1 被圆 C 截得弦长为 , (1)求圆 C 的方程;

(II)从圆 C 外一点 p(2,3)向圆引切线,求切线方程.

22.已知椭圆 C:

的离心率为 ,且过点 P(1, ),F 为其

右焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 A(4,0)的直线 l 与椭圆相交于 M,N 两点(点 M 在 A,N 两点 之间),若△AMF 与△MFN 的面积相等,试求直线 l 的方程.

2016-2017 学年重庆市南川中学高二(上)期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的). 1.直线 x﹣y+1=0 的倾斜角为( ) A. B. C. D. 【考点】直线的倾斜角. 【分析】x﹣y+1=0 变为:y=x+1,求出它的斜率,进而求出倾斜角. 【解答】解:将 x﹣y+1=0 变为:y=x+1,则直线的斜率 k=1, 由 tan =1 得,所求的倾斜角是 , 故选 A.
2.命题:“? x≥0,x2≥0”的否定是( ) A.? x<0,x2<0 B.? x≥0,x2<0 C.? x<0,x2<0 D.? x≥0,x2<0 【考点】命题的否定. 【分析】将全称命题改为特称命题,即可得到结论. 【解答】解:由全称命题的否定为特称命题, 命题:“? x≥0,x2≥0”的否定是“? x≥0,x2<0”, 故选:D.
3.若 p 是假命题,q 是假命题,则( ) A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题 C.¬p 是假命题 D.¬q 是假命题 【考点】复合命题的真假. 【分析】利用复合命题的真假写出结果即可. 【解答】解:p 是假命题,q 是假命题,¬p 是真命题,¬q 是真命题,可得 p

∨q 是假命题. 故选:B.

4.已知两平行直线 3x﹣4y+1=0 和 3x﹣4y﹣4=0,则两直线的距离为( A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】两条平行直线间的距离. 【分析】直接利用两平行直线间的距离公式,求得结果. 【解答】解:两平行直线 3x﹣4y+1=0 和 3x﹣4y﹣4=0 间的距离为 d= 故选:A.

) =1,

5.若三点 A(﹣1,0),B(2,3),C(0,m)共线,则 m 的值为(

A.1 B.﹣1 C.±1 D.2

【考点】三点共线.

【分析】由 三点 A(﹣1,0),B(2,3),C(0,m)共线,可得

(1,m)=λ?(3,3),由此求得 m 的值.

【解答】解:∵三点 A(﹣1,0),B(2,3),C(0,m)共线,





∴(1,m)=λ?(3,3)=(3λ,3λ),

解得 m=1,

故选 A.

) ,即

6.已知命题 p:x=1 且 y=1,命题 q:x+y=2,则命题 p 是命题 q 的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由 p? q,反之不成立,即可判断出结论. 【解答】解:由 p? q,反之不成立,例如取 x=3,y=﹣1. ∴命题 p 是命题 q 的充分不必要条件. 故选:B.

)条件.

7.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3? l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3? l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3? l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面 【考点】平面的基本性质及推论;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为 90°;判断出 B 对;通 过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误. 【解答】解:对于 A,通过常见的图形正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两 垂直,A 错; 对于 B,∵l1⊥l2,∴l1,l2 所成的角是 90°,又∵l2∥l3∴l1,l3 所成的角是 90°∴l1 ⊥l3,B 对; 对于 C,例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故 C 错; 对于 D,例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,故 D 错. 故选 B.

8.若已知 A(1,1,1),B(﹣3,﹣3,﹣3),则线段 AB 的长为( ) A.4 B.2 C.4 D.3 【考点】空间两点间的距离公式. 【分析】利用两点之间的距离求得 AB 的长.

【解答】解:|AB|=

=4

故选 A

9.已知 F1、F2 是椭圆

的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A、B 两点,

在△AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【考点】椭圆的简单性质.

【分析】由椭圆的定义得 可求出|AB|的长.

,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=16,由此

【解答】解:由椭圆的定义得

两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=16, 又因为在△AF1B 中,有两边之和是 10, 所以第三边的长度为:16﹣10=6 故选 A.

10.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的体积为( )

A.36π B.34π C.32π D.30π 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是半球体与圆锥体是组合体, 结合图中数据求出几何体的体积. 【解答】解:根据几何体的三视图知,该几何体是半球体与圆锥体是组合体,

结合图中数据可得,球的半径 R=

=3;

所以该几何体的体积为

V = 几何体 × πR3+ πR2h

= × π×33+ π×32×4

=30π. 故选:D.

11.圆 x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心到直线 ax+y﹣1=0 的距离为 1,则 a=( ) A.﹣ B.﹣ C. D.2 【考点】圆的一般方程;点到直线的距离公式. 【分析】求出圆心坐标,代入点到直线距离方程,解得答案. 【解答】解:圆 x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心坐标为:(1,4),

故圆心到直线 ax+y﹣1=0 的距离 d=

=1,

解得:a= , 故选:A.

12.已知圆 M:(x+ )2+y2=36,定点 N( ,0),点 P 为圆 M 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在线段 MP 上,且满足 =2 , ? =0,则点 G 的轨迹方 程为( )
A. + =1 B. + =1

C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
【考点】轨迹方程. 【 分 析 】 由 =2 , ? =0 , 知 Q 为 PN 的 中 点 且 GQ ⊥ PN , 可 得 |GN|+|GM|=|MP|=6,故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,从而可求方程. 【解答】解:由 =2 , ? =0,知 Q 为 PN 的中点且 GQ⊥PN, ∴GQ 为 PN 的中垂线,∴|PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6, 故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,其长半轴长 a=3,半焦距 c= , ∴短半轴长 b=2,
∴点 G 的轨迹方程是 + =1.
故选:A.

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的

相应位置)

13.命题“若 x2<2,则

”的逆否命题是 “若|x|≥ ,则 x2≥2” .

【考点】四种命题.

【分析】根据命题“若 p 则 q”的逆否命题是“若¬q 则¬p”,写出即可.

【解答】解:命题“若 x2<2,则

”的逆否命题是

“若|x|≥ ,则 x2≥2”.

故答案为:“若|x|≥ ,则 x2≥2”.

14.已知直线过点(2,0)与(0,﹣3),则该直线的方程为

【考点】直线的两点式方程. 【分析】由截距式,可得直线的方程.

【解答】解:由截距式,可得直线的方程为

=1.

故答案为

=1.

=1 .

15.已知正三棱锥 V﹣ABC 的正视图、俯视图如图所示,它的侧棱 VA=2,底面的 边 AC=2 ,则由该三棱锥的表面积为 6 .

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由题意:该三棱锥的底面正三角形的边长为 2 ,侧棱长为 2,求出各 个面的面积,相加即可. 【解答】解:正三棱锥 V﹣ABC 中,侧棱长 VA=2,底面三角形的边长 AC=2 , 可得底面面积为: ×2 ×2 ×sin60°=3 ,

侧面的侧高为:

=1,

故每个侧面的面积为: ×2 ×1= ,

故该三棱锥的表面积为 3 +3× =6 . 故答案为:6 .

16.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 为椭圆 E: + =1 (a>b>0)

的左顶点,B,C 在椭圆 E 上,若四边形 OABC 为平行四边形,且∠OAB=30°,则

椭圆 E 的离心率等于



【考点】椭圆的简单性质. 【分析】首先利用椭圆的对称性和 OABC 为平行四边形,可以得出 B、C 两点是 关于 Y 轴对称,进而得到 BC=OA=a;设 B(﹣ ,y)C( ,y),从而求出|y|,
然后由∠OAB=∠COD=30°,利用 tan30°= b/ = ,求得 a=3b,最后根据 a2=c2+b2 得出离心率. 【解答】解:∵AO 是与 X 轴重合的,且四边形 OABC 为平行四边形 ∴BC∥OA, B、C 两点的纵坐标相等, B、C 的横坐标互为相反数 ∴B、C 两点是关于 Y 轴对称的. 由题知:OA=a 四边形 OABC 为平行四边形,所以 BC=OA=a 可设 B(﹣ ,y)C( ,y)
代入椭圆方程解得:|y|= b, 设 D 为椭圆的右顶点,因为∠OAB=30°,四边形 OABC 为平行四边形 所以∠COD=30°

对 C 点:tan30°= =
解得:a=3b 根据:a2=c2+b2 得:a2=c2+ e2= e= 故答案为: .

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知直线的方程为 3x﹣4y+2=0. (1)求过点(﹣2,2)且与直线 l 垂直的直线方程; (2)求直线 x﹣y﹣1=0 与 2x+y﹣2=0 的交点,且求这个点到直线的距离. 【考点】待定系数法求直线方程;点到直线的距离公式. 【分析】(1)设与直线 3x﹣4y+2=0 垂直的直线方程为 4x+3y+c=0,把点(﹣2,2) 代入,能求出所求直线方程.

(2)联立

,得到直线 x﹣y﹣1=0 与 2x+y﹣2=0 的交点,再由点到直

线的距离公式能求出这个点到直线的距离. 【解答】解:(1)设与直线 3x﹣4y+2=0 垂直的直线方程为 4x+3y+c=0, 把点(﹣2,2)代入,得:﹣8+6+c=0, 解得 c=2, ∴所求直线方程为 4x+3y+2=0.

(2)联立

,得 ,

∴直线 x﹣y﹣1=0 与 2x+y﹣2=0 的交点为 A(1,0), 点 A(1,0)到直线 3x﹣4y+2=0 的距离:

d=

=1.

18.如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直. (1)证明:BC∥平面 PDA; (2)证明:BC⊥PD.

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的判定. 【分析】(1)推导出 BC∥AD,由此能证明 BC∥平面 PDA. (2)推导出 BC⊥CD,从而 BC⊥平面 PDC,由此能证明 BC⊥PD. 【解答】证明:(1)因为四边形 ABCD 是长方形,所以 BC∥AD, 因为 BC?平面 PDA,AD? 平面 PDA, 所以 BC∥平面 PDA. (2)因为四边形 ABCD 是长方形,所以 BC⊥CD, 因为平面 PDC⊥平面 ABCD, 平面 PDC∩平面 ABCD=CD, BC? 平面 ABCD,所以 BC⊥平面 PDC, 因为 PD? 平面 PDC,所以 BC⊥PD.

19.命题 p:A={x||x﹣a|≤4},命题 q:B={x|(x﹣2)(x﹣3)≤0} (1)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. (2)若 q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;交集及其运算. 【分析】(1)命题 p:A=[a﹣4,a+4],命题 q:B=[2,3].根据 A∩B=?,可得

a+4<2,或 a﹣4>3,解得 a 范围. (2)q 是 p 的充分不必要条件,则 a﹣4≤2,3≤a+4,解得 a 范围. 【解答】解:(1)命题 p:A={x||x﹣a|≤4}=[a﹣4,a+4],命题 q:B={x|(x ﹣2)(x﹣3)≤0}=[2,3]. ∵A∩B=?,∴a+4<2,或 a﹣4>3, 解得 a<﹣2,或 a>7. ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(7,+∞). (2)q 是 p 的充分不必要条件, 则 a﹣4≤2,3≤a+4,解得 1≤a≤6, ∴实数 a 的取值范围是[1,6].
20.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是∠DAB=60°且边长为 a 的菱形, 侧面 PAD 是等边三角形,且平面 PAD⊥底面 ABCD,G 为 AD 的中点. (1)求证:BG⊥平面 PAD; (2)求 点 G 到平面 PAB 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定.

【分析】(1)运用直线平面的垂直的性质,判定定理证明,

(2)运用等积法得出 vG﹣PAB=VA﹣PGB=

a2×h=

a2× a,即可求 h

的值.

【解答】(1)证明:连接 PG,∴PG⊥AD,∵平面 PAG⊥平面 ABCD ∴PG⊥平面 ABCD,∴PG⊥GB, 又 ABCD 是菱形,且∠BAD=60°, ∴△ABD 是等边三角形, ∴GB⊥AD,

∴GB⊥平面 PAD. (2)解;设点 G 到平面 PAB 的距离为 h,△PAB 中,PA=AB=a

∴面积 S= ? a?

a= a2,

∵vG﹣PAB=VA﹣PGB=

a2×h=

a2× a,

∴h= a.

21.已知圆 C 的圆心坐标(1,1),直线 l:x+y=1 被圆 C 截得弦长为 , (1)求圆 C 的方程; (II)从圆 C 外一点 p(2,3)向圆引切线,求切线方程. 【考点】直线与圆相交的性质;直线与圆的位置关系. 【分析】(I)设圆 C 的半径为 r,根据圆心坐标写出圆的标准方程,利用点到直 线的距离公式求出圆心到直线 l 的距离即为弦心距,然后根据垂径定理得到其垂 足为弦的中点,由弦长的一半,圆心距及半径构成的直角三角形,根据勾股定理 列出关于 r 的方程,求出方程的解即可得到 r 的值,从而确定圆 C 的方程; (II)当切线方程的斜率不存在时,显然得到 x=2 为圆的切线;当切线方程的斜 率存在时,设出切线的斜率为 k,由 P 的坐标和 k 写出切线方程,利用点到直线 的距离公式求出圆心到所设直线的距离 d,根据直线与圆相切,得到 d 等于圆的 半径,列出关于 k 的方程,求出方程的解即可得到 k 的值,从而确定出切线的方 程,综上,得到所求圆的两条切线方程. 【解答】解:(I)设圆的方程为:(x﹣1)2+(y﹣1)2=r2

因为圆心 C 到直线 l 的距离:d=

=,

所以:r2=

+

=1,即 r=1,

圆的方程为:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1; (II)当切线的斜率不存在时,显然 x=2 为圆的一条切线; 当切线的斜率存在时,设切线的斜率为 k, 则切线方程为 y﹣3=k(x﹣2),即:kx﹣y﹣2k+3=0



=1,解得 k= ,

所以切线方程为 y﹣3= (x﹣2),即 3x﹣4y+6=0 综上:所求的切线方程为 x=2 和 3x﹣4y=6=0.

22.已知椭圆 C:

的离心率为 ,且过点 P(1, ),F 为其

右焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 A(4,0)的直线 l 与椭圆相交于 M,N 两点(点 M 在 A,N 两点 之间),若△AMF 与△MFN 的面积相等,试求直线 l 的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.

【分析】(Ⅰ)根据椭圆 C:

的离心率为 ,椭圆方程可化为

,又点 P(1, )在椭圆上,即可求得椭圆方程;

(Ⅱ)易知直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y=k(x﹣4),与椭圆方程联立,借 助于韦达定理,及△AMF 与△MFN 的面积相等,即可求得直线 l 的方程.

【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆 C:

的离心率为 ,

∴ ,所以 a=2c,b= c.…

设椭圆方程为

,又点 P(1, )在椭圆上,所以

c=1,…

所以椭圆方程为

.…

(Ⅱ)易知直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y=k(x﹣4),…

,解得



,消去 y 整理,得(3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0,…

由题意知△=(32k2)2﹣4(3+4k2)(64k2﹣12)>0,解得

.…

设 M(x1,y1),N(x2,y2),则

①,

②.

因为△AMF 与△MFN 的面积相等,所以|AM|=|MN|,所以 2x1=x2+4 ③…

由①③消去 x2 得 x1=



将 x2=2x1﹣4 代入②得 x1(2x1﹣4)=



将④代入⑤



整理化简得 36k2=5,解得

,经检验成立.…

所以直线 l 的方程为 y=

(x﹣4).…

2017 年 2 月 14 日


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