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拉格朗日中值定理的应用


拉格朗日中值定理的 应用

总结拉格朗日中值定理的应用
以罗尔定理、 拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个 微分学的理论基础, 尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的 定量联系, 因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在 于理论分析和证明,例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等 项重要函数性态提供重要理论依据,从而把握函数图像的各种几何特征。总之, 微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁, 是利用导数的局部性质推断 函数的整体性质的工具。 而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下 的一个定理, 我们需要对其能够熟练的应用,这对高等数学的学习有着极大的意 义! 拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面: 利用拉格朗日中值定理证明 (不)等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问 题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。 凑导数法。 : 这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式, 凑出适当的函数做为辅助函数,即将要证的结论中的 凑成 F’(X),由此求出辅助函数 F(x).如例 1. 换成 X,变形后观察法

常数值法:在构造函数时;若表达式关于端点处的函数值具有对称性,通 常用常数 k 值法来求构造辅助函数,这种方法一般选取所证等式中含 的部分

作为 k,即使常数部分分离出来并令其为 k,恒等变形使等式一端为 a 与 f(a)构 成的代数式,另一端为 b 与.f(b)构成的代数式,将所证式中的端点值(a 或 b) 改为变量 x 移项即为辅助函数 f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定 k, 一 般来说,当问题涉及高阶导数时,往往考虑多次运用中值定理,更多时要考虑 用泰勒公式.如例 3.

倒推法::这种方法证明方法是欲证的结论出发,借助于逻辑关系导出已 知的条件和结论.如例 4。

乘积因子法:对于某些要证明的结论,往往出现函数的导数与函数之间关 系的证明,直接构造函数往往比较困难.将所证结论的两端都乘以或除以一个 恒正或恒负的函数,证明的结论往往不受影响, 子.如例 5. ( 为常数)是常用的乘积凶

介值法:证明中,通过引入辅助函数 g(x)=f(x)-x 将原问题转化为(a,b)可导 函数 g(x)的最大值或最小值至少有一个在必在内点达到, 从而可通过 g(x)在 (a,b) 可导条件,直接运用费马定理,完成证明。如例 6。

一拉格朗日中值定理证明(不)等式
在不等式的证明中, 关键是选取适当的辅助函数f (x) 和区间 (a, b) , 通过ξ 的范围, 根据导函数f′确定f′ (ξ ) 和分式的范围, 得证。 如例题 7。 例 7.

例 8:

例 9:

二利用拉格朗日中值定理求极限
求极限的方法有很多,常见的有利用洛必达法则,利用重要极限等,而对于一些 极限也可用拉格朗日中值定理或者只能用这种方法来求解,如例 10,11. 例 10:

例 11:

三研究函数在区间上的性质
因为拉氏中值定理沟通了函数与其导数的联系,很多时候。我们可以借助其 导数, 研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识。比如研究 函数在区间上的符号、单调性、一致连续性,凸性等等,都可能用到拉氏中值定 理的结论。 通过对函数局部性质的研究把握整体性质,这是数学研究中一种重要 的方法。如例 12:

四估值问题
证明估值问题, 一般情况下选用泰勒公式证明比较简便。特别是二阶及二阶 以上的导函数估值时。但对于某些积分估值,可以采用拉氏中值定理来证明。

五证明级数收敛
例 13:


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