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11.2


§11.2 用样本估计总体
一、选择题
1.用样本频率分布估计总体频率分布的过程中,下列说法正确的是 A.总体容量越大,估计越精确 C.样本容量越大,估计越精确 B.总体容量越小,估计越精确 D.样本容量越小,估计越精确 ( D.频数 ) ( )

2.频率分布直方图中,小长方形的面积等于 A.组距 B.频率 C.组数

3.一个容量为 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表 组别 频数 (0,10] 12 (10,20] 13 (20,30] 24 (30,40] 15 (40,50] 16 (50,60] 13 ( ) (60,70] 7

则样本数据落在(10,40)上的频率为 A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64

4. 一个容量为 35 的样本数据,分组后,组距与频数如下: [5,10),5 个; [10,15),12 个; [15,20),7 个; [20,25), 5 个;[25,30),4 个;[30,35),2 个.则样本在区间[20,+∞)上的频率为 A.20% B.69% C.31% D.27% ( )

5.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重 (单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是 [96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102), [102,104), [104,106],已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重 大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 A.90 B.75 C.60 ( ) D.45

6.对某校 ??? 名学生的体重(单位: kg )进行统计,得到如图所示的频率分布直方图,则学生体重在 ?? kg 以上的人数为( ) A. ??? B. ??? C. ?? D. ?? 7.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值 为 1,则样本方差为( A. 6 5 6 B. 5 ). C. 2 D.2

8.为了了解某地区 10 000 名高三男生的身体发育情况,抽查了该地 区 100 名年龄为 17~18 岁的高三男生体重(kg),得到频率分布直方 图如图.根据图示,请你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是( )

A.40 C.4 000

B.400 D.4 400

9.如图是根据某校 10 位高一同学的身高(单位:cm)画出的 茎叶图, 其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位 数字和十位数字,右边的数字表示学生身高的个位数字,从 图中可以得到这 10 位同学身高的中位数是 ( A.161 cm C.163 cm B.162 cm D.164 cm ) 8题

10.从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度,其茎叶图如图.根据茎叶图,下列描述正确的是(

)

A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,且甲种树苗比乙种树苗长得整齐 B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,但乙种树苗比甲种树苗长得整齐 C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 11.对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查,所得样本的频率分布直方图如图所示,由图可知,这一批电子 元件中使用寿命在 100~300 h 的电子元件的数量与使用寿命在 300~600 h 的电子元件的数量的比是( )

A.

1 2

1 B. 3

1 C. 4

1 D. 6

12.一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上 60,得到一组新数据,则所 得新数据的平均数和方差分别是( A.57.2,3.6 二、填空题 1 1 13.一个容量为 n 的样本,分成若干组,已知甲组的频数和频率分别为 36 和 ,则容量 n=__,且频率为 的乙组 4 6 的频数是___. B.57.2,56.4 ) C.62.8,63.6 D.62.8,3.6

14. 为了帮助班上的两名贫困生解决经济困难, 班上的 20 名同学捐出了自己的零花钱, 他们捐款数(单位: 元) 如下: 19,20,25,30,24,23,25,29,27,27,28,28,26,27,21,30,20,19,22,20.班主任老师准备将这组数据制成 频率分布直方图,以表彰他们的爱心.制图时先计算最大值与最小值的差是________.若取组距为 2,则应 分成________组;若第一组的起点定为 18.5,则在[26.5,28.5)内的频数为________. 15.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为 2∶3∶ 4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n=________. 16.如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据图可知________.

① 甲运动员的成绩好于乙运动员;②乙运动员的成绩好于甲运动员;③甲、乙两名运 动员的成绩没有明显的差别;④甲运动员的最低得分为 0 分.

0 8 9 10 3 5

18 题

17 题

17.甲、乙两名同学学业水平考试的 9 科成绩如茎叶图所示,请你根据茎叶图判断谁的平均分高________.(填 “甲”或“乙”) 18. 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图 ,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 ___. (注:方差

s2 ?

1 ? ( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? n

? ( xn ? x ) 2 ? ? ,其中 x 为 x1,x2,?,xn 的平均数)

19.某中学为了解学生数学课程的学习情况,在 3 000 名学生中随机抽取 200 名,并统计这 200 名学生的某次 数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图推测,这 3 000 名学生在该次数学 考试中成绩小于 60 分的学生数是________. 19 题 20 题

20.某校开展“爱我青岛,爱我家乡”摄影比赛,9 位评委为 参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示. 记分员在去掉一个最高 分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清,若记分员 计算无误,则数字 x 应该是________. 三、解答题

21.(2013·合肥高一检测)在某电脑杂志的一篇文章中,每个句子的字数如下:10,28,31,17, 23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17 在某报纸的一篇文章中,每个句子的字数如下:27,39,33,24,28,19, 32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22 (1)将这两组数据用茎叶图表示; (2)将这两组数据进行比较分析,你会得到什么结论? 22 题

22.(创新拓展)如图是一个样本的频率分布直方图,且在[15,18)内频数为 8.(1)求样本容量; (2)若[12,15)一组的小长方形面积为 0.06,求[12,15) 一组的频数;(3)求样本在[18,33)内的频率. 23.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产 品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产 品的质量指标值,得到下面试验结果:

A 配方的频数分布表
指标值 分组 频数 [90,94) 8 [94,98) 20 [98,102) 42 [102,106) 22 [106,110] 8

B 配方的频数分布表
指标值 分组 频数 [90,94) 4 [94,98) 12 [98,102) 42 [102,106) 32 [106,110] 10

(1)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; -2,t<94, ? ? (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位: 元)与其质量指标值 t 的关系式为 y=?2,94≤t<102, ? ?4,t≥102. 估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润. 24.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100), [100,110),?,[140,150)后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在[120,130)内的频率; 100+110 (2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:组区间[100,110)的中点值为 =105.)作为这组数据 2 的平均分,据此,估计本次考试的平均分; (3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中 25 题

任取 2 人,求至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率. 分组 [39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01) [40.01,40.03] 合计 频数 10 20 50 20 100 频率

25.某制造商 3 月生产了一批乒乓球,随机抽取 100 个进行检查,测得每个球的直径(单位:mm),将数据进行 分组,得到如下频率分布表: (1)补充完成频率分布表(结果保留两位小数),并在上图中画出频率分布直方图; (2)若上述频率作为概率,已知标准乒乓球直径为 40.00 mm,试求这批乒乓球的直径误差不超过 0.03 mm 的概率; (3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是 40.00)作为代表.据 此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数). 26.某市 2010 年 4 月 1 日~4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. 样本频率分布表: 分组 [41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91) [91,101) [101,111] 2 2 30 频数 2 1 4 6 10 频率 2 30 1 30 4 30 6 30 10 30 (1)完成频率分布表; (2)作出频率分布直方图; (3)根据国家标准,污染指 数在 0~50 之间时,空气 质量为优;在 51~100 之 间时,为良;在 101~150 之间时,为轻微污染;在 151~200 之间时,为轻度 污染. 请你依据所给数据和上述 标准,对该市的空气质量 给出一个简短评价.

CBCCA BDCBD CD 13. 144 24; 14. 11 6 5;15 60;16.①;17.乙

18. 解: x ?

_

1 1 (8 ? 9 ? 10 ? 13 ? 15) ? 11,s 2 ? [(8 ? 11) 2 ? (9 ? 11)2 ? (10 ? 11)2 ? (13 ? 11)2 ? (15 ? 11)2 ] ? 6.8 5 5

1 [?89-90?2+?87-90?2+?90-90?2+?91-90?2+?93-90?2=2. 5 20.解:根据样本的频率分布直方图,成绩小于 60 分的学生的频率为(0.002+0.006+0.012)×10=0.20,所 19.解:平均数为 x =90,则标准差为 s= 以可推测 3 000 名学生中成绩小于 60 分的人数为 600 名. 89+89+92+93+92+91+94 640 89+89+92+93+92+91+x+90 21.解:x≥4 时, = ≠91,∴x<4,则 =91, 7 7 7 ∴x=1.

22.解 (1) (2)电脑杂志上每个句子的字数集中在 10~30 之间;而报纸上每个句子的字数集中在 20~40 之间.还可以 看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数要少. 说明电脑杂志作为科普读物需要通 俗易懂、简明. 4 4 4 23.解 (1)由图可知[15,18)一组对应的纵轴数值为 ,且组距为 3,则[15,18)一组对应的频率为 ×3= . 75 75 25 8 又已知[15,18)一组的频数为 8,所以样本容量 n= =50. 4 25 (2)[12,15)一组的小长方形面积为 0.06,即[12,15)一组的频率为 0.06,且样本容量为 50,所以[12,15)一 组的频数为 50×0.06=3. (3)由(1)、(2)知[12,15)一组的频数为 3,[15,18)一组的频数为 8,样本容量为 50,所以[18,33)内频数为 39 50-3-8=39,所以[18,33)内的频率为 =0.78. 50 22+8 24.解析 (1)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 =0.3,所以用 A 配方生产的产品的 100 优质品率的估计值为 0.3. 32+10 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 =0.42,所以用 B 配方生产的产品的优质品率的 100 估计值为 0.42. (2)由条件知,用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 当且仅当其质量指标值 t≥94,由试验结果知,质量指标 值 t≥94 的频率为 0.96.所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96. 用 B 配方生产的产品平均一件的利润为 1 ×[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元). 100 25.解析 (1)分数在[120,130)内的频率为 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3.

(2)估计平均分为

x =95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121.
(3)由题意,[110,120)分数段的人数为 60×0.15=9(人).[120,130)分数段的人数为 60×0.3=18(人). ∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴需在[110,120)分数段内抽取 2 人,并分别记为 m,n; 在[120,130)分数段内抽取 4 人,并分别记为 a,b,c,d;设“从样本中任取 2 人,至多有 1 人在分数段[120,130)内”为事件 A,则基本事件共有(m,n), (m,a),?,(m,d),(n,a),?,(n,d),(a,b),?,(c,d)共 15 种. 则事件 A 包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n,c),(n,d)共 9 种. 9 3 ∴P(A)= = . 15 5 26.解析 (1)频率分布表如下: 分组 [39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01) [40.01,40.03] 合计 频率颁布直方图如图: 频数 10 20 50 20 100 频率 0.10 0.20 0.50 0.20 1

(2)误差不超过 0.03 mm,即直径落在[39.97,40.03]内, 其概率为 0.2+0.5+0.2=0.9. (3)整体数据的平均值为 39.96×0.10+39.98×0.20+40.00×0.50+40.02×0.20=40.00(mm). 27.解析 (1)频率分布表:

分组 [41,51)

频数 2

频率 2 30

[51,61) [61,71) [71,81) [81,91) [91,101) [101,111] (2)频率分布直方图:

1 4 6 10 5 2

1 30 4 30 6 30 10 30 5 30 2 30

(3)答对下述两条中的一条即可: 1 13 ①该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平, 占当月天数的 .有 26 天处于良的水平, 占当月天数的 . 15 15 14 处于优或良的天数共有 28 天,占当有月数的 .说明该市空气质量基本良好. 15 1 ②轻微污染有 2 天, 占当月天数的 .污染指数在 80 以上接近轻微污染的天数有 15 天, 加上处于轻微污染的天 15 17 数,共有 17 天,占当月天数的 ,超过 50%.说明该市空气质量有待进一步改善. 30


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