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2018届高三数学一轮复习第二章函数第二节函数的单调性与最值课件理_图文

理数
课标版

第二节 函数的单调性与最值

教材研读

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数 定义 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 ① 增函数 图象 描述 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 ② 减函数

?
自左向右看图象是③ 上升的

?
自左向右看图象是④ 下降的

(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的)⑤ 单调性 ,区间D叫做函数y=f(x)的⑥ 单调区间 . 2.函数的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足

条件 (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论 M为函数y=f(x)的⑦ 最大值

(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M M为函数y=f(x)的⑧ 最小值

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=?的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).?(×) (2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调
1 x

性.?(×)
(3)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数.?(×) (4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞). (×) (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函 数在定义域上是增函数.?(×) (6)所有的单调函数都有最值.?(×)

?

1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是? ( A.y=|x| B.y=3-x C.y=?
1 x 1 x

)

D.y=-x2+4

答案 A y=3-x在R上递减,y=? 在(0,+∞)上递减,y=-x2+4在(0,+∞)上递 减,故选A. 2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则? (
1 2 1 C.m>-? 2

)

A.m>?

B.m<? D.m<-?
1 2 1 2

1 2

答案 B y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-1<0,即m<? .

3.若函数f(x)满足“对任意x1,x2∈R,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”,则满足f(2x1)<f(1)的实数x的取值范围为 .

答案 (1,+∞)
解析 由题意知,函数f(x)在定义域R内为减函数,要使f(2x-1)<f(1),则2x1>1,即x>1,∴x的取值范围为(1,+∞). 4.设定义在[-1,7]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的增区间



.

?
答案 [-1,1],[5,7]

5.已知f(x)=? ,x∈[2,6],则f(x)的最大值为
答案 2;?
2 5

2 x ?1

,最小值为

.

解析 易知函数f(x)=? 在x∈[2,6]上为减函数,故f(x)max=f(2)=2, f(x)min= f(6)=? .
2 5

2 x ?1

考点突破
考点一 确定函数的单调性(区间) 典例1 (1)判断函数f(x)=x+? (a>0)在(0,+∞)上的单调性; (2)求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间. 解析 (1)设x1,x2是任意两个正数,且x1<x2,
? a? ? a ? x1 ? x2 x ? x ? 则f(x1)-f(x2)= ? 1 x ? - ? 2 x ? =? x1 x2 (x1x2-a). 1 ? ? 2 ? ?
a x

?

?

当0<x1<x2≤?a 时,0<x1x2<a,x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,? a ]上是减函数; 当?a ≤x1<x2时,x1x2>a,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在[?a ,+∞)上是增函数.

综上可知,函数f(x)=x+? (a>0)在(0,?a ]上是减函数,在[?a ,+∞)上为增函 数.
?? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0, (2)易知f(x)= ? 2 ? ? x ? 2 x ? 1, x ? 0 ? ?( x ? 1) 2 ? 2, x ? 0, =? 2 ??( x ? 1) ? 2, x ? 0.

a x

?

?

画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1)和[0,1],单调递减 区间为[-1,0]和[1,+∞).

方法技巧 1.判断函数单调性的常用方法 (1)定义法和导数法:注意证明函数在某区间上具有单调性只能用定义 法和导数法. (2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图 象的升、降判断函数的单调性. 2.确定函数的单调区间的方法 (1)定义法:先求定义域,再利用单调区间的定义来求.

(2)图象法:由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须
是函数定义域的子集;二是图象不连续且有多个上升段(下降段)的函数, 其单调增(减)区间要分开写,用“和”或“,”连接,一般不能用“∪”连接. (3)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.

1-1 (2017安徽芜湖一中月考)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的
是? ( A.y=?
1 1? x

) B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x

答案 D 选项A中,y=? =?
1 1? x

1 1 1 的图象是将y=-? 的图象向右平移1 1 ? x ?( x ? 1) x

个单位得到的,故y=? 在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y= cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+

1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)
上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.

变式1-2 若将本例(2)中函数变为f(x)=|-x2+2x+1|,如何求解?
解析 函数y=|-x2+2x+1|的图象如图所示.由图象可知,函数y=|-x2+2x+1| 的单调递增区间为(1-?2 ,1)和(1+?2 ,+∞);单调递减区间为(-∞,1-?2 )和 (1,1+?2 ).

?

1-3 试讨论函数f(x)=? (a≠0)在(-1,1)上的单调性.
解析 解法一:(定义法) 任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
x ?1?1 ? ? 1 ? = a ? 1 ? ? ? ?, x ? 1 x ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? a ( x2 ? x1 ) 1 ? ∴f(x1)-f(x2)=a ?1 ? a . ? ? ? =? ? x1 ? 1 ? ? x2 ? 1 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? ∵f(x)=a? ?

ax x ?1

?

?

由于-1<x1<x2<1,

所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,
故当a>0时, f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a<0时, f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递增. 解法二:(导数法)
(ax) '( x ? 1) ax( x ? 1) ' a ( x ? 1) ? ax a f '(x)=? ? = ? =? 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 1)
2

.

当a>0时,在(-1,1)上, f '(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a<0时,在(-1,1)上, f '(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上递增.

考点二 求函数的最值(值域) 典例2 (1)函数y=x+?x ? 1 的最小值为 ; .
a ?1 ? ?1 ? , 2 , 2 ? ,则a= (2)函数f(x)=-? ? 上的值域为? ? ,b= ? x +b(a>0)在? 2 2 ? ? ? ? 5 答案 (1)1 (2)1;? 2 2 3 1 ? ? 2 2 t ? 解析 (1)令?x ? 1 =t,则t≥0,x=t +1,所以y=t +t+1= ? , ? +? ? 2? 4

?

当t≥0时,由二次函数的性质可知,当t=0时,ymin=1.
a ?1 ? , 2 ? 上是增函数, (2)∵f(x)=-? +b(a>0)在? ? x 2 ? ? ?1? 1 ? ? =? ∴f(x)min=f? , f(x)max=f(2)=2. ?2? 2

1 ? ? 2 a ? b ? , ? 5 ? 2 即? 解得a=1,b=? . a 2 ?? ? b ? 2, ? ? 2

?

方法技巧
求函数最值的三种常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)换元法:对比较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应 的方法求最值. 2-1
?1 ? , x ? 1, 函数f(x)= ? x 的最大值是 2 ? ?? x ? 2, x ? 1

?

.

答案 2
1 为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1) 解析 当x≥1时,函数f(x)=? x

=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2. 故函数f(x)的最大值为2.

2-2
答案 解析

2x2 ? 2x ? 3 函数y=? 的值域为 x2 ? x ? 1
? 10 ? ? ? 2, ? 3 ? ?

.

10 2 ? 10 ? 1 1 3 ? ? 解法一:y=2+? =2+ ? x ? ? ? ,∴2<y≤? ,∴值域为? ? 2, ? . 2 3 ? 3? x ? x ?1 2? 4 ?

?

1

解法二:函数可化为(y-2)x2+(2-y)x+y-3=0.当y-2≠0时,上述方程可看作关 于x的一元二次方程,要使其有解,
? y ? 2, ? y ? 2 ? 0, 则 ? Δ ? (2 ? y ) 2 ? 4( y ? 2)( y ? 3) ? 0, ∴ ?( y ? 2)(3 y ? 10) ? 0, ? ?

?

?

∴2<y≤? . 当y-2=0时,方程无解. ∴值域为? ? 2, ? . ? 3?
? 10 ?

10 3

2-3 用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min{4x+1,x+
4,-x+8}的最大值是 答案 6 解析 在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取 位于下方的部分得函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示. .

?
由图象可知,函数f(x)在x=2处取得最大值6.

考点三 函数单调性的应用
命题角度一 比较函数值大小 典例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1
? 1? 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f? ? ? ? ,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关 ? 2?

系为? ( A.c>a>b 答案 D

) B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c

解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是 减函数.
? 1? ?5? 所以a=f? ? ? ? =f? ? ? ,f(2)>f(2.5)>f(3),所以b>a>c. ? 2? ?2?

命题角度二 解函数不等式
典例4 (2016滨州模拟)f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(xy)= f(x)+f(y), f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,x的取值范围是? ( A.(8,+∞) C.[8,9] 答案 B 解析 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)≤2,可得f(x(x-8))≤f(9),因为
? x ? 0, ? f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,所以有 解得8<x≤9. ? x ? 8 ? 0, ? x( x ? 8) ? 9, ?

)

B.(8,9] D.(0,8)

?

命题角度三 求参数的取值范围
典例5
?(a ? 2) x ? 1, x ? 1, 已知函数f(x)= ? 其中a>0,且a≠1,若f(x)在(-∞, log x , x ? 1, ? a

?

+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为

.

答案 (2,3]
解析 要使函数f(x)在R上单调递增,
?a ? 1, ?a ? 1, ? ? 则有 ?a ? 2 ? 0, 即 ?a ? 2, ? f (1) ? 0, ?a ? 2 ? 1 ? 0, ? ?

?

?

解得2<a≤3, 即实数a的取值范围是(2,3].

方法技巧
函数单调性的应用比较广泛,可用来比较函数值的大小、解函数不等 式、求参数的范围等. (1)利用函数单调性比较两个函数值的大小 若f(x)在给定的区间A上是递增的,任取x1,x2∈A,则x1<x2?f(x1)<f(x2);若f(x) 在给定的区间A上是递减的,任取x1,x2∈A,则x1<x2?f(x1)>f(x2).若给定 的两个自变量在同一单调区间上,可直接比较其函数值的大小,否则,要 先根据奇偶性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性比 较其函数值的大小. (2)利用函数单调性解函数不等式

解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f ”,变函数
不等式为一般不等式.去掉“f ”时,要注意f(x)的定义域的限制.

(3)利用函数的单调性求参数的取值范围
依据函数单调性的定义,通过作差构造关于参数的不等式,再进行求解. 3-1 (2016泰安模拟)已知函数f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,则满足
?1? ? ?的x的取值范围是? ( f(2x-1)<f? ) ?3? ?1 2? ?1 2 ? , , ? ? ? A.? B. ? ? 3 3 3 ? ? ? 3? ?1 2? ?1 2 ? , , ? ? ? C.? D. ? ? 2 3 2 ? ? ? 3? ?2 x ? 1 ? 0, 1 2 ? 答案 D 由题意得 ?2 x ? 1 ? 1 , 解得? 2 ≤x<? 3. ? 3 ?

?

3-2

x2 ? a (2017四川六安一中月考)已知函数f(x)=?(a>0)在(2,+∞)上递 x

增,则实数a的取值范围为 答案 (0,4]

.

解析 任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2,
2 x12 ? a x2 ?a x ? x1 由已知条件,得f(x1)-f(x2)= - =(x1-x2)+a×?=(x2 1-x2)×?< x1 x2 x1 x2

??

x1 x2 ? a x1 x2

0恒成立,

易得x1x2>a恒成立.
又x1x2>4,a>0,则0<a≤4. 即实数a的取值范围是(0,4].