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高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1对数与对数运算第一课时对数课件新人教A版必修1_图文

2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算
第一课时 对 数

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课标要求 素养达成

1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质. 2.掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性 质解方程.
通过本节内容的学习,使学生感受对数的性质及应用,提 高学生逻辑推理、数学运算能力.

新知探求 课堂探究

新知探求·素养养成

【情境导学】 导入 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个…依此类推,那么1 个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少?分裂多少次得到细胞个数为8 个,16个呢? 解:1个细胞分裂x次得到细胞个数N=2x,因为23=8,24=16,所以N=8时,x=3; N=16时,x=4,即细胞分裂3次,4次分别得到细胞个数为8个,16个.

想一想 (能)

如果已知细胞分裂后的个数N,能求出分裂次数x吗?

知识探究

1.对数的概念

一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN ,

其中a叫做对数的 底数 ,N叫做 真数

.

2.常用对数与自然对数

(1)常用对数:通常我们将以10 为底的对数叫做常用对数,记作lg N

.

(2)自然对数:以e为底的对数称为自然对数,记作 ln N

.

3.对数loga N(a>0,且a≠1)具有下列简单性质 (1) 负数和零 没有对数,即N > 0;

(2)1的对数为 零

,即loga1= 0

;

(3)底数的对数等于 1

,即logaa= 1

;

(4) aloga N =

N

.

探究:为什么零和负数无对数? 答 案 : 由 对 数 的 定 义 :ax=N(a>0 且 a≠1), 则 总 有 N>0, 所 以 转 化 为 对 数 式 x= loga N时,不存在N≤0的情况.

【拓展延伸】 1.指数式与对数式的互化 (1)对数式logaN=x是由指数式ax=N而来的,两式底数相同,对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值N,而对数值x是指数式中的幂指数.对数式与指数式 的关系如图.
(2)由于正数的任何次幂都是正数,即ax>0(a>0),故N=ax>0.因此logaN只有 在a>0,且a≠1,N>0时才有意义. 在规定了a>0,a≠1,N>0后,logaN的值便随着a,N的确定而唯一确定了.根据 这一规定,我们知道并不是每一个指数式都能直接改写成对数式.如(-2)2=4, 不能写成log-24=2,只有a>0,a≠1,N>0时,才有ax=N?x=logaN.

2.对数运算性质的证明
(1)对数的运算性质的证明
设logaM=p,logaN=q. 由对数的定义可得M=ap,N=aq, 所以MN=ap·aq=ap+q, 所以loga(MN)=p+q, 即证得loga(MN)=logaM+logaN. (2)对于性质(1),可做如下推广:loga(N1·N2·…·Nn)=logaN1+logaN2+…+logaNn (Ni>0,i=1,2,3,…,n). (3)对于上述运算性质,都要注意只有当所有的对数式都有意义时,等式才能成
立.如log2[(-3)×(-5)]=log2(-3)+log2(-5)是错误的. (4)在运用对数的运算性质时,要特别注意性质的逆应用.如lg 2+lg 5=lg 10=1.

自我检测

1.(对数概念)下列选项中,可以求对数的是( C )

(A)0

(B)-5

(C)π

(D)-x2

2.(指对互化)若b=a2(a>0且a≠1),则有( D )

(A)log2b=a (B)log2a=b (C)logba=2 (D)logab=2 3.(对数概念)在对数式logx-1(3-x)中,实数x的取值范围应该是( D ) (A)(1,3) (B)(1,2)∪(2,+∞)

(C)(3,+∞) (D)(1,2)∪(2,3)

4.(性质)log2 0181+log2 0182 018=

.

答案:1

5.(性质)log33+ 3log3 2 =

.

答案:3

课堂探究·素养提升
题型一 对数的概念 【例 1】 (2017·巴彦淖尔高一期中)将下列指数形式化成对数形式,对数形式 化成指数形式. (1)54=625;
(2)( 1 )m=5.73; 3
解:(1)log5625=4.
(2) log1 5.73 =m.
3

(3)ln 10=2.303; (4)lg 0.01=-2.
解:(3)e2.303=10. (4)10-2=0.01.

误区警示

在利用ax=N(a>0,且a≠1)?x=logaN(a>0,且a≠1)进行

互化时,要分清各字母或数字分别在指数式和对数式中的位置.

即时训练 1-1:将下列指数式与对数式互化:

(1)log216=4;(2)lo g 1 27=-3;
3

(3)lo g x=6;(4)43=64; 3

(5)3-2= 1 ;(6)( 1 )-2=16.

9

4

解:(1)24=16.(2)( 1 )-3=27. 3
(3)( 3 )6=x.(4)log464=3.

(5)log3

1 9

=-2.(6)lo g 1
4

16=-2.

【备用例 1】 求下列各式 x 的取值范围. (1)log(x-1)(x+2);
解:(1)因为 log(x-1)(x+2), ?x ? 2 ? 0,
所以 ??x ?1 ? 0, 解得 x>1 且 x≠2, ??x ?1 ? 1,
所以 x 的取值范围是{x|x>1 且 x≠2}.

(2)log(x+3)(x+3).

解:(2)因为 log(x+3)(x+3),

所以

?x ?? x

? ?

3 3

? ?

0, 1,

解得 x>-3 且 x≠-2,

所以 x 的取值范围是{x|x>-3 且 x≠-2}.

题型二 对数的简单性质 【例2】 求下列各式中x的值. (1)log5(log3x)=0; (2)log3(lg x)=1; (3)ln[log2(lg x)]=0.
解:(1)设t=log3x,则log5t=0, 所以t=1,即log3 x=1,所以x=3. (2)由log3(lg x)=1,得lg x=3, 故x=103=1 000. (3)由ln[log2(lg x)]=0, 得log2(lg x)=1,所以lg x=2,故x=102=100.

方法技巧

解决此类问题应抓住对数的两条性质loga1=0和logaa=1(a>0,

且a≠1),这是将对数式化简、求简单对数值的基础,若已知对数值求真数,

则可将其化为指数式运算求解.

即时训练 2-1:求下列各式中的 x 的值: (1) log64x=- 2 ;(2)logx8=6;
3 (3)lg 100=x;(4)-ln e2=x.

? ? 解:(1)x=

?

? 64

?2 3

=

43

?2 3

=4-2=

1

.

16

1

1

1

1

? ? ? ? (2)x6=8,所以 x= x6 6 = 86 = 23 6 = 2 2 = 2 .

(3)10x=100=102,于是x=2.

(4)由-ln e2=x,得-x=ln e2,即e-x=e2.

所以x=-2.

【备用例 2】 求下列各式中的 x 的值: (1) log?2x2?1? (3x2+2x-1)=1;
解:(1)因为 log?2x2?1? (3x2+2x-1)=1,
所以 3x2+2x-1=2x2-1, 解之得 x=-2 或 x=0, 又当 x=0 时,3x2+2x-1<0, 故 x=0 舍去,所以 x=-2.

(2)log2[log3(log4x)]=0.
解:(2)因为log2[log3(log4x)]=0, 所以log3(log4x)=1, 所以log4x=3,所以x=43=64.

题型三 对数恒等式 aloga N =N(a>0,且a≠1,N>0)的应用
【例 3】 求下列各式的值:
(1) 2log2 3 + 3log3 2 ;

(2)

22?

log

2

1 3

;

规范解答:(1)因为 2log2 3 =3, 3log3 2 =2,………………2 分 所以原式=3+2=5.……………………………………3 分

(2)原式=22×

2log

2

1 3

=4×

1

=

4

.……………………6



33

(3)101+lg 2; (4)e-1+ln 3.

规范解答:(3)原式=10×10lg 2=10×2=20.……………………9 分

(4)原式=e-1×eln 3= 1 ×3= 3 .………………………12 分

e

e

方法技巧

利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式

子转化为 aloga N 的形式.

即时训练

3-1:计算:(1)log927;(2) log4 3

81;(3) log 3 54

625.

解:(1)设 x=log927,则 9x=27,32x=33,所以 x= 3 . 2
x
(2)设 x= log4 3 81,则( 4 3 )x=81, 3 4 =34,所以 x=16.

(3)令 x= log 3 54

625,所以( 3 54

)x=625,

4x
53

=54,所以

x=3.

题型四 易错辨析——忽视底数范围致错 【例4】 已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值.

错解:由对数的性质可得x2+3x=x+3, 解得x=1或x=-3. 纠错:错解中忘记检验底数需大于0且不等于1.

?x2 ? 3x ? x ? 3,

正解:由对数的性质知

? ?

x

2

?

3x

?

0,

??x ? 3 ? 0,且x ? 3 ? 1,

解得 x=1.故实数 x 的值为 1.

即时训练4-1:方程lg(-2x-1)=lg(x2-9)的根为( )

(A)2或-4 (B)-4

(C)2

(D)-2或4

解析:由已知得-2x-1=x2-9. 即x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2. 经检验,x=2时,-2x-1<0,x2-9<0, 与对数的真数大于0矛盾,故x=2舍去. 所以原方程的根为x=-4,故选B.


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