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集合.知识框架


集合

模块框架

高考要求
内容 集合的含义 集合的表示 基本要求
会使用符号“ ? ”或“ ? ”表示元素与集合之间的关系; 能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题; 理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如常 用数集,方程或不等式的解集等 理解集合之间包含与相等的含义, 及子集的概念. 在具体情景中, 了解空集和全集的含义; 理解两个集合的交集和并集的含义, 会求两个简单集合的交集与 并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集 的补集 掌握有关的术语和符号, 会用它们表达集合之间的关系和运算. 能 使用维恩图表达集合之间的关系和运算.

集合间的基本关系

集合的基本运算

知识内容
1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称元素,若 a 是集合 A 的元素,记作 a ? A ;若 b 不是集合 A 的元素,
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记作 b ? A ; (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者 不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因 此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 例如: {1, 2, 3, 4, 5} , {1, 2, 3, 4, 5, ?} 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 例如:大于 3 的所有整数表示为: {x ? Z | x ? 3} 方程 x2 ? 2x ? 5 ? 0 的所有实数根表示为:{ x ? R | x2 ? 2x ? 5 ? 0 } 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再 画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一 般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; * + 正整数集,记作 N 或 N ; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R。 <教师备案>⑴集合是数学中最原始的概念之一, 不能用其他的概念给它下定义, 所以集合是 不定义的概念,只能做描述性的说明. ⑵构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外,还可以是其他任何 .. 对象. 例:{小明,机器猫,哈里波特} ⑶正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征. ①任何一个对象都能确定它是不是某一个集合的元素,这是集合中元素的最 基本的特征——确定性,反例:“很小的数”,“个子较高的同学”; ②集合中的任何两个元素都是不同的对象,即在同一集合里不能重复出现相 同元素——互异性,事实告诉我们,集合中元素的互异性常被忽略,从而 导致解题出错.例:方程 ( x ? 1)2 ( x ? 2) ? 0 的解集不能写成 {1,1, 2} ,而应写 成 {1, 2} ③在同一集合里,通常不考虑元素之间的顺序——无序性 例:集合 {a, b, c} 与集合 {b, c, a} 是相同集合 ⑷用描述法表示集合,对其元素的属性要准确理解. 例如:集合 ? x y ? x 2 ? 表示自变量 x 值的全体,即 ? x x ? R? ;集合 ? y y ? x 2 ?
y 表示函数值 y 的全体, ? y y ≥ 0? ; 即 集合 ?( x, ) y ? x 2 ? 表示抛物线 y ? x 2 上

的点的全体,是点的集合(一条抛物线) ;而集合 ? y ? x 2 ? 则是用列举法表示 的单元素集. ⑸关于集合的表示方法之间的转换 6 ? ? 1 2 4 5 6 9 例如:① A ? ? x ? Z, ? N ? ,用列举法表示为 A ? ?0,, , ,, ,? x ? 3? x ?
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? a b ? ? ? a b ② A ? ? x x ? ? , ,是非零实数 ? ,用列举法表示为 A ? ??2, , ? 0 2 a b ? ? ? ?

2.集合的包含关系: (1)集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集(或 B 包含 A) , 记作 A ? B(或 A ? B ) ; 集合相等: 构成两个集合的元素完全一样。 A ? B 且 B ? A, 若 则称 A 等于 B, 记作 A=B; 若 A ? B 且 A≠B,则称 A 是 B 的真子集,记作 A B; (2)简单性质:1)A ? A;2) ? ? A;3)若 A ? B,B ? C,则 A ? C;4)若集合 A 是 n 个元素的集合,则集合 A 有 2n 个子集(其中 2n-1 个真子集) ; 3.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作 U; (2)若 S 是一个集合,A ? S,则, C S = {x | x ? S且x ? A} 称 S 中子集 A 的补集; (3)简单性质:1) C S ( C S )=A;2) C S S= ? , C S ? =S。 <教师备案>⑴强调说明,加深印象: ①表示元素和集合之间的关系:属于“ ? ”和不属于“ ? ” ②表示集合与集合之间的关系: 包含关系:如果对于任意 a ? A ? a ? B ,则集合 A 是集合 B 的子集,记为 A ? B 或 B ? A ;注意提示: A ? A , ? ? A 真子集关系:对于两个集合 A 与 B ,若 A ? B 且 A ? B ,则集合 A 是集合 B 的 . 真子集, 记作 A ? B (或 B ? A ) 相等关系: 对于两个集合 A 与 B , 如果 A ? B , .B ? A , 且 那么集合 A 与 B 相 等,记作 A ? B 注意提示:如果“ A ? B ”,那么有 A ? B 或 A ? B ,两种情况二者必居其一; 而 A ? B 是不允许 A ? B ,所以即使 A ? B , A ? B 不一定成立; 反之, A ? B 可以说 A ? B ; A ? B 也可说 A ? B 不包含关系:如果集合 A 中存在着不属于集合 B 的元素,那么集合 A 不包含 于B, 或 B 不包含 A .分别记作 A 赲B ,或 B ? A ⑵ 0 , {0} , ? , {?} 之间的区别与联系 ① 0 与 {0} 是不同的, 0 只是一个数字,而 {0} 则表示集合,这个集合中含有一 个元素 0 ,它们的关系是 0 ?{0} ② ? 与 {0} 是不同的, ? 中没有任何元素,{0} 则表示含有一个元素 0 的集合, 它们的关系是两个集合之间的关系( ? ? ?0? ) ③ ? 与 {?} 是不同的, ? 中没有任何元素, {?} 则表示含有一个元素 ? 的集 合,它们的关系是 ? ?{?} 或 ? ? {?} 或 ? ? ??? ④显然, 0?? , 0 ?{?} ⑶集合中的计数问题 当研究有限集合问题时,常有一些计数问题. 在计数时常用下列结论:设集 合 A 中元素个数为 n ,则①子集的个数为 2n ,②真子集的个数为 2n ? 1 ,③ 非空真子集的个数为 2n ? 2
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4.交集与并集: (1)一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交 集。交集 A ? B ? {x | x ? A且x ? B} 。 (2)一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集。 并集A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 。 注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集 的关键是“且”与“或” ,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、 挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。 <教师备案>1.理解两个集合的并集、交集、补集的含义,会求两个简单集合的并集与交集 ⑴能使用 Venn 图表示集合的并集、交集、补集; ⑵能使用数轴表示不等式或不等式组的解集和表示集合 A 的补集 ?R A 2.基础知识点拨: ⑴交集的概念:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合, 称为 A 与 B 的交集,记作 A ? B (读作“ A 交 B ”) ,即 A ? B ? {x | x ? A, 且 x ? B} ① 数学符号表示: A ? B ? {x | x ? A, 且 x ? B} ② Venn 图反映:

A B

A

B

A

B

A B

⑵并集的概念:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合, 称为集合 A 与 B 的并集,记作 A ? B (读作“ A 并 B ”) ,即 A ? B ? {x | x ? A, 或 x ? B} ① 数学符号表示: A ? B ? {x | x ? A, 或 x ? B} ② Venn 图反映:

B

A

A B

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A

B

⑶补集的概念: 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素, 那么就称这个集合为全集,通常记作 U 补集:对于一个集合 A ,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 称为集合 A 相对于全集 U 的补集,记作 ? A ,即 ? A ? {x | x ? , 且 U U U x ? A} ①数学符号表示: ? A ? {x | x ?U , 且 x ? A} U ②Venn 图反映:

U A

U

A

A ? (? A) ? U ; A ? (? A) ? ? ; 痧( U A) ? A U U U 3.公式定理小结: ⑴ A ? A;? ? A ; ⑵若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ;若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ;

⑶ A? B ? B ? A; ⑷ A? B ? A; A? B ? B ; ⑸ A?? ? ?; ⑹ A? B ? B ? A; ⑺ A ? A? B ; B ? A? B ; ⑻ A?? ? A ⑼ A ? (? A) ? ? ; A ? (? A) ? U ; U U ⑽ 痧( U A) ? A U 5.集合的简单性质: (1) A ? A ? A, A ? ? ? ?, A ? B ? B ? A; (2) A ? ? ? A, A ? B ? B ? A; (3) ( A ? B) ? ( A ? B); (4) A ? B ? A ? B ? A; A ? B ? A ? B ? B ; (5) C S (A∩B)=( C S A)∪( C S B) C S (A∪B)=( C S A)∩( C S B) , 。 6.集合元素个数公式: n( A ? B) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) .

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竞赛知识
1.集合的概念 集合是一个原始的概念,是数学中一个不定义的概念.尽管如此,对于一个具体的集合 而言,很多情况下我们可以通过采用列举或者描述的方法给出它的一个准确而清晰的表示. 2.集合的描述法 对任给的一个性质 P ,存在一个集合 S ,它由恰好是具有性质 P 的所有对象构成,即 S ? {x | P( x)} , 其中 P( x) 表示“ x 具有性质 P ” . 3.元素与集合的关系 一个集合的元素是完全确定的, 同时其包含的元素之间具有无序性和互异性. 对于一个 确定的对象 x 和一个确定的集合 A , x ? A ”与“ x ? A ”有且仅有一个成立.如果对象 x 满 “ 足描述集合 A 的性质,则有“ x ? A ”,此时称对象 x 为集合 A 的元素. 集合的元素个数为有限数的集合称为有限集, 元素个数为无限的集合称为无限集. 空集 ? 不含任何元素. 思考: {?} 是不是空集,它的元素是什么? 4.集合与集合的关系 集合 A 包含于集合 B ,即“ A ? B ” ? “ ?x ? A ,有 x ? B .( ? ” ”“ :任给, ?x ? A ” “ 即“任给集合 A 中的元素 x ”; ) 集合 A 真包含于集合 B , “ A ? B ”? ?x ? A , x ? B . 且 ?x ? B , 即 “ 有 ”“ 使得 x ? A . ” ( ?” “ :存在, ?x ? B ”即“存在集合 B 中的元素 x ”; “ ) 集合 A 与集合 B 相等,即“ A ? B ” ? “ A ? B ”且“ B ? A ” . 思考:如何利用“ ? ”和“ ? ”通过数学语言叙述命题“对任何自然数 a ,都存在整数 ,使得 a ? b 是质数. ” b 5.集合与集合的运算 集合的交集、并集、补集三种基本运算是通过元素与集合的关系来定义的.有时,我们 还要用到集合的差集的概念.下面给出这四种运算的定义: 交集: A ? B ? {x | x ? A ,且 x ? B } , 并集: A ? B ? {x | x ? A ,或 x ? B } , 补集:如果有 A ? B ,则 A 对 B 的补集 ?B A ? {x | x ? B ,且 x ? A }(注意前提条件,如 . 果 A ? B 不成立,就 A 对 B 的补集运算就无从谈起.,当给定全集 U 时, ? A 常记做 A . ) U 差集: A \ B ? {x ? A ,且 x ? B } . 利用维恩图可以直观的理解集合与集合的运算,例如交集和并集:

A

B

A

B

思考:补集运算与差集运算的联系,画出补集和差集的维恩图表示. 6.子集以及摩根定律 如果集合 A 与集合 M 间满足关系: A ? M ,那么称集合 A 是集合 M 的子集.特别的, 规定空集 ? 是任何集合的子集. 摩根定律:如果集合 A 、 B 都是集合 M 的子集,那么 痧 ( A ? B) ? M A ? M B , 痧 ( A ? B) ? M A ? M B . M M
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另外,如果集合 A 、 B 都是集合 M 的子集,那么 A \ B ? A ? ?M B . 7.给定一个有限集,写出其所有子集的方法 写出给定有限集的所有子集的方法有很多种, 在这里我们通过一个实际的例子介绍通过 添加给定集合元素得到给定集合所有子集的添加元素法: 例:对给定集合 {1 , 2 , 3} 写出其所有子集. ⑴写出空集 ⑵将前一步得到的所有集合照抄,然后将给定集合中第一个元素添加到那些集合 中,得到一些新的集合.把照抄的集合和新的集合放在一起,作为该步得到的集 合. ⑶与⑵类似,不过这次添加的元素为集合中的第二个元素.重复操作,直到将给定 集合的所有元素都添加完毕,就得到了给定集合的所有子集. ? ?? , {1} ? ? , {1} , {2} , {1 , 2} ? ? , {1} , {2} , {1 , 2} ? ? , {1} , {2} , {1 , 2} , {3} , {1 , 3} , {2 , 3} , {1 , 2 , 3 } . 思考:写出集合 {1 , ?} 的所有子集. 8.有限集的阶 如果集合 A 为有限集, 那么集合 A 的元素的数目叫做这个集合的阶, 记做 | A | . 特别的, 定义空集 ? 的阶为 0 . 思考:如果使用维恩图表示集合,那么可以用面积表示有限集的阶. 9.子集族 某些集合的元素是集合,例如 A ? {? ,{1} ,{1 , 2} ,{2}} 就是一个含有 4 个元素(每 个元素都是集合)的集合.特别的,将集合 M 的若干子集作为元素构成的集合 M * 叫做集合 M 的一个子集族.最简单的子集族是由有限集 M 的全体子集所构成的子集族,简称为 C 族.知识提要 7 给出的方法,其实就是得到有限集 M 的 C 族 M * 中所有元素的方法. C 族的基本性质:如果集合 M 的阶为 n ,那么集合 M 的 C 族 M * 的阶为 2n . 思考:通过写出给定有限集的所有子集的添加元素法的步骤理解 C 族的基本性质. 10.覆盖和集合的分划 覆盖:如果对于一个集合 M , n 个非空集合 A1 , A2 ,?, An 满足 ? Ai ? M ,则称 A1 ,
i ?1 n

A2 ,?, An 是集合 M 的一个覆盖.

集合的分划:如果 A1 , A2 ,?, An 是集合 M 的一个覆盖,若 A1 , A2 ,?, An 两两间 交集为空集,即“ ?1≤ i ? j ≤ n , Ai ? Aj ? ? .,那么这些集合的全体叫做集合 M 的一个 ”

n -分划. 集合 M 的覆盖 A1 , A2 ,?, An 构成的集合 M * 一定是集合 M 的一个子集族.例如集合 A ? {1,2,3,4,5} 可以写成 {1 , 2} ? {2 , 4 , 5} ? {3 , 4} ,记 A1 ? {1 , 2} , A2 ? {2 , 4 , 5} , A3 ? {3 , 4} .所以 A1 , A2 , A3 是集合 A 的一个覆盖,它们所构成的集合是集合 A 的一个 子集族,但不是集合 A 的一个分划. 思考:集合 A 的子集族 {? , {1} , {2 , 3} , {4 , 5} }中的元素是否构成集合 A 的一个 分划,给出集合 A 的一个 5-分划.
11.分类与加法原理 分类:对于某个问题,设所研究的对象的全体形成集合 M ,那么对集合 M 的一个 n 分划又叫做研究对象的全体的一个 n -分类,其中每一个子集叫做所研究对象的一个类.从 集合的分划的定义,我们可以看到分类的原则:无重复(两两交集为空集)以及无遗漏(覆 盖) .
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加法原理:如果 A1 , A2 ,?, An 是有限集 M 的一个 n -分划,那么 | M |? ? | Ai | .
i ?1

n

特别的,对于有限集 M 的一个 2-分划 A ,?M A ,有 | M | ? A| ? ?M A .由于补集运算对 | | | 交集和并集有摩根定律 痧 ( A ? B) ? M 形 | ?M A |?| M | ? | A | . 12.容斥原理 如果 A1 , A2 为集合 M 的一个覆盖,那么 | M |?| A1 | ? | A2 | ? | A1 ? A2 | ,考虑到集合的覆 盖的定义, 我们有 | A1 ? A2 |?| A1 | ? | A2 | ? | A1 ? A2 | . 由该公式在计算左端集合的元素个数时, 右端采用了将“应该有的”包含进来, “不应该有的(或者重复的) ”排斥出去的思想方法, 所以称其为容斥原理. 思考:画出容斥原理的维恩图表示. 13.极端原理 最小数原理:设集合 M 是实数集的一个有限非空子集,则 M 中必有最小数. 推论:设集合 M 是实数集的一个有限非空子集,则 M 中必有最大数. 最小数原理以及其推论称为极端原理.
M

A?

M

B 以及 痧 ( A ? B) ? M

M

A?

M

B ,我们常用到变

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