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广东省罗定市廷锴纪念中学2014-2015学年高二上学期数学测试题16 (部分)


廷锴纪念中学高二上学期理科数学测试(16)2015.1 1. 已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支 ). D. 150? ) )

2. 直线 x ? y ? tan 30? ? 1 ? 0 的倾斜角是( A. 30? B. 60?

C. 120?

3. 设 l ,m 是不同的直线,? ,? ,? 是不同的平面, 则下列命题正确的是 ( A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? 或 l // ? C.若 l // ? , m // ? ,则 l // m 或 l 与 m 相交 D.若 l // ? , ? ? ? ,则 l ? ? 或 l ? ?

B.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l // ? 或 l ? ?

4.已知焦点在 y 轴上的椭圆 A. 4 B.

x2 y2 3 ? ? 1 ,其离心率为 ,则实数 m 的值是( m 1 2
1 4
D.

)

1 4

C. 4 或

1 2

5. 一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体 的表面积(单位: cm )为( A. 84 B. 104 C. 124
2

) D. 144

6.若过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点且垂直于 a 2 b2


1 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 a ,则该椭圆的离心率为( 2 3 1 1 3 A. B. C. D. 4 2 4 2


? → ? → ? 7.如图,四面体 OABC 中,OA= a ,OB= b ,OC= c ,点 M 在 OA 上,且
→ 1 OM= MA,N 为 BC 中点,则MN等于( 2 A. 1 ? 2? 1? a- b+ c 2 3 2 )

1? 1? 1? B.- a + b + c 3 2 2

C.

1 ? 1? 2? a+ b- c 2 2 3

D.

2? 2? 1? a+ b- c 3 3 2

8. 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1, A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范 4 3


围是 ??2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是 ( A. ? , ? 8 4

?3 3? ? ?

B. ? , ? 2 4

?1 3? ? ?

C. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

D. ? , 1?

?3 ? ?4 ?

题号 答案 班别:

1

2

3

4

5

6

7

8

姓名:

座号:

成绩: .

9. 命题“ ?x ? 1, x 2 ? 1 ? 0 ,”的否定是 10.已知以原点为顶点,坐标轴为对称轴的抛物线的准线为 y=2,则抛物线的方程为

11.矩形 ABCD 的长为 3,宽为 6,则其直观图的面积是

2 12. 已知直线 l : y ? kx ? 1 与抛物线 C : y ? x ,则“ k ? 0 ”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不

同交点”的 填空)

条件. (用“充分不必要,必要不充分,充要,不充分也不必要”

13. 已知 P(3,5)为圆 x ? y ? 10 y 内一点,则过点 P 的弦长的范围是
2 2

.

14.点 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 , F2 是椭圆的焦点,且 ?F1PF2 ? 30? ,则 4 5

S?F1PF2 ?

.

15 . 若 P 是 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1 的 右 支 上 一 点 , M , N 分 别 是 圆 ( x ? 10)2 ? y 2 ? 4 和 36 64

( x ?10)2 ? y 2 ? 1 上的点,则 | PM | ? | PN | 的最大值为______.

16.已知 ab 提示: a
3

? 0 ,证明 a ? b ? 1 的充要条件是 a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 0

? b3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )

15. 一条光线从点 P(6, 4)射出,与 x 轴相交于点 Q(2, 0),经 x 轴反射,求入射光线 和反射光线所在的直线方程.

16.写出原命题“如果 a, b 都是奇数,则 ab 为奇数”的逆命题、否命题、逆否命题,分别判断 四种命题的真假.

17. 已知两个定点 O ? 0,0? , A ? 3,0? , 动点 M 满足 MO ? (I)求 C 的方程; (II)求直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被 C 截得的弦长.

1 MA , 记动点 M 的轨迹为 C . 2

18. (本小题满分 14 分) 在如图所示的四棱锥 P ? ABCD

中,已知 PA⊥平面 ABCD, AB // DC , ?DAB ? 90 , PA ? AD ? DC ? 1, AB ? 2 , M 为
?

PB 的中点.
(1)求证:平面 PAC ? 平面 PBC ; (2)求二面角 A ? PB ? C 的平面角的正切值.

19. (14 分) 如图, 在长方体 AC1 中,AB ? BC ? 2, AA1 ? 2 , 点 E、F 分别是面 A1C1 、面 BC1 的中心. (1)求异面直线 AF 和 BE 所成的角; (2)求直线 AF 和平面 BEC 所成角的正弦值.

D1 A1 D A

E B1 F

C1

C B

x2 y 2 ??? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点, A 是椭圆 C 的 20. 已知点 F 1 , F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 a b
? 上顶点, B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点, ?F 1 AF 2 ? 60 .

(I)求椭圆 C 的离心率; (II)已知 ?AF1B 的面积为 40 3 ,求 a , b 的值.

17. 已知两个定点 O ? 0,0? , A ? 3,0? , 动点 M 满足 MO ? (I)求 C 的方程; (II)求直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被 C 截得的弦长.

1 MA , 记动点 M 的轨迹为 C . 2

解:(I)设 M ? x, y ? , 由 MO ?

1分

1 1 MA ,得 x 2 ? y 2 ? 2 2

? x ? 3?

2

? y2 ,

3分 5分

化简得 x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 .
2 (II) x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,即 ? x ? 1? ? y ? 4 . 2

6分 7分

C 是以 ? ?1,0? 为圆心, 2 为半径的圆.

d?

?1 ? 2 2
2

?

1 , 2
2

8分

弦长为 2 r ? d ? 2 4 ?

1 ? 14 . 2

10 分

18. 已知点 F 1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1??? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点, A 是椭圆 C 的 a 2 b2

? 上顶点, B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点, ?F 1 AF 2 ? 60 .

(I)求椭圆 C 的离心率; (II)已知 ?AF1B 的面积为 40 3 ,求 a , b 的值.

解:(I)由题意知 ?AF1 F2 为正三角形,

1分 3分 4分

a ? 2c , e ?

c 1 ? . a 2

(II)直线 AB 的方程为 y ? ? 3 ? x ? c ?

? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 b ? ? 3a 2 ? b 2 ? x 2 ? 6a 2 cx ? 3a 2 c 2 ? a 2b 2 ? 0 (1) ?a ? y ? ? 3 ? x ? c? ?
由 a ? 2c ,得 a ? 4c , b ? a ? c ? 3c .
2 2 2 2 2 2

5分

代入(1)中得 5x ? 8cx ? 0 ,
2

x ? 0或x ?

8c , 5

得 A 0, 3c , B ?

?

?

? 8c 3 3 ? ? 5 ,? 5 c? ?. ? ?

AB ?

16c .(或用弦长公式求) 5

7分

由 ?AF1B 的面积为 40 3 ,得

1 1 16c 3 AB AF1 sin 60? ? 40 3 , ? ?a ? 40 3 , 2 2 5 2
(或

8分

1 1 16c AB d ? 40 3 , ? ? 3c ? 40 3 ) 2 2 5
10 分

解得 c ? 5 , a ? 10 , b ? 5 3 .

19. (本小题满分 14 分) 在如图所示的四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA⊥平面 ABCD, AB // DC , ?DAB ? 90 ,
?

PA ? AD ? DC ? 1, AB ? 2 ,
M 为 PB 的中点.
(1)求证:平面 PAC ? 平面 PBC ; (2)求二面角 A ? PB ? C 的平面角的正切值.

21.解: (1) 取 AB 的中点 H, 连接 CH , 则 CH ? AB ∵PA ⊥平面 ABCD, ∴PA⊥BC , ∵ AB // DC ,?DAB ? 90 ,
?

G H

? AC ? BC ? 2
又 AC ? BC ? 2 ? 2 ? AB ? AC ? BC ,
2 2 2

∴BC⊥平面 PAC,? BC ? 平面 PBC ,

? 平面 PAC⊥平面 PBC ?????????.7 分
(2)取 AB 的中点 H,连接 CH,则由题意得

CH ? AB ,又 PA⊥平面 ABCD,所以 PA ? CH ,
则 CH ? 平面 PAB.所以 CH ? PB ,过 H 作 HG ? PB 于 G,连接 CG,则 PB ? 平面 CGH, 所以 CG ? PB, 则 ?CGH 为二面角 A ? PB ? C 的平面角??????????10 分

? PA ? 1?CH ? 1, AB ? 2, PB ? PA2 ? AB2 ? 5.
则 GH ? BH sin ?PBA ? BH ? 分 故 二 面 角

CH PA 1 ? 5 ????????13 , ? tan ?CGH ? ? GH AB 5

A ? PB ? C



















5. ???????????????????????14 分

19.(14 分)如图,在长方体 AC1 中, AB ? BC ? 2, AA1 ? 2 ,点 E、F 分别是面 A1C1 、面 BC1 的 中心.以 D 为坐标原点,DA、DC、DD1 所为直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,试用向 量方法解决下列问题: (1)求异面直线 AF 和 BE 所成的角; (2)求直线 AF 和平面 BEC 所成角的正弦值.

D1

E B1 F

C1

A1 D A

C B

19. 解:(1)A(2,0,0),F(1,2,

2 ), 2

B(2,2,0),E(1,1, 2 ),C(0,2,0).
???? ? 2 ??? ), BE ? (?1, ?1, 2) , ∴ AF ? (?1, 2, 2

??(4 分) ??(6 分) ??(7 分)

∴ AF ? BE ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 . 所以 AF 和 BE 所成的角为 90 ? .

?

?

? (2)设平面 BEC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ), ??? ? ??? ? 又 BC ? (?2,0,0), BE ? (?1, ?1, 2),

? ??? ? ? ??? ? 则: n ? BC ? ?2 x ? 0 , n ? BE ? ? x ? y ? 2z ? 0 .

∴ x ? 0 , 令 z ? 1 ,则: y ? 2 ,∴
???? ? ???? ? AF ? n COS ? AF , n ?? ???? ? ? AF ? n

?

n ? (0, 2,1) .

????(10 分)



5 2 5 33 2 ? . 33 22 ? 3 2
5 33 . 33

?????(12 分)

设直线 AF 和平面 BEC 所成角为 ? ,则: Sin? ?

即 直线 AF 和平面 BEC 所成角的正弦值为

5 33 . 33

?????(14 分)


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